广东省中山市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析

广东省中山市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）
A ．01a <<或a e =
B ．1a e <<
C ．01a <<或1e a e =
D ．01a << 【答案】C
【解析】
【分析】 根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln x a x =
；构造函数()ln x g x x =，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围.
【详解】
由log a x x =得，ln ln x a x =
. 令()ln x g x x
=， 则()21ln x g x x -'=
， 令()0g x '=，解得x e =，
所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增；
当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减；
所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e =
=， 则()ln x g x x
=的图象如下图所示：
由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e
=
， 解得01a <<或1e a e =.
【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.
2．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．823
π 【答案】A
【解析】
【分析】 将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE V 中，计算半径OB 即可.
【详解】
由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．
将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，
可得1BE =．又12
BC OE ==，故在Rt OBE V 中，2OB = 此即为外接球半径，从而外接球表面积为8π．
故选：A
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于
3．如图，设P为ABC
∆内一点，且
11
34 AP
AB AC
=+
u u u v u u u v u u u v
，则ABP
∆与ABC
∆的面积之比为
A．
1
4
B．
1
3
C．
2
3
D．
1
6
【答案】A
【解析】
【分析】
作//
PD AC交AB于点D，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP
S
∆
与ABC
S
∆
的比例，再由ADP
S
∆
与APB
S
∆
的比例，可得到结果.
【详解】
如图，作//
PD AC交AB于点D，
则AP AD DP
=+
u u u r u u u r u u u r
，由题意，
1
3
AD AB
=
u u u r u u u r
，
1
4
DP AC
=
u u u r u u u r
，且180
ADP CAB
∠+∠=o，
所以
11111
||||sin||||sin
223412
ADP ABC
S AD DP ADP AB AC CAB S
∆∆
=∠=⨯⨯∠=
又
1
3
AD AB
=
u u u r u u u r
，所以，
1
3
4
APB ADP ABC
S S S
∆∆∆
==，即
1
4
APB
ABC
S
S
∆
∆
=，
所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 4．函数()cos2
x
f x
π
=与()
g x kx k
=-在[]
6,8
-上最多有n个交点，交点分别为(),x y（1
i=，……，
n），则()
1
n
i i
i
x y
=
+=
∑（）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C
【解析】
【分析】 根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.
【详解】
由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0
且()cos 2x f x π=在[]
6,8-是关于()1,0对称 如图
通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点
同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称
所以()9
12419i i
i x y =+=⨯+=∑ 故选：C
【点睛】
本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.
5．()cos sin x
e f x x
=在原点附近的部分图象大概是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{}
,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()cos cos sin sin x x
e e
f x f x x x
--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项； 当0πx <<时，cos 0x e
>，sin 0x >，则()cos 0sin x e f x x
=>，排除B 选项. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．设复数z 满足31i i z =+，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122
i -- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数运算，即可容易求得结果.
【详解】
3(1)1111(1)(1)222
i i i i z i i i i ----====--++-. 故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属基础题.
7．已知x，y满足不等式
2
24
x
y
x y t
x y
≥
⎧
⎪≥
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪+≤
⎩
，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范
围（）
A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 【答案】B
【解析】
【分析】
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.
【详解】
画出不等式组
24
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+=
⎩
所表示的可行域如图△
AOB
当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在
2
24
x y t
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的交点（
824
33
t t
--
，）处取得最大值，此时Z＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6
故选：B．
【点睛】
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.
8．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )
A ．85
B ．65
C ．45
D ．25
【答案】B
【解析】
【分析】 由题意知，3~(5,
)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】 由题意知，3~(5,)3
X B m +， 3533
EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3~(5,)5
X B ∴， 336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用． 9．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．[1,)+∞
D ．(,e)-∞
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即
可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)x g x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可.
【详解】
由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.
0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;
当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >,
因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.
设()e (0)x
g x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增, 因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln x m x >. 设ln ()(0)x h x x x
=>,则21ln ()(0)x h x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减,
从而max 1()(e)e h x h ==
，故1e
m >. 故选:A.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 10．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+u u u u v u u u v u u u v (,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．22
【答案】C
【解析】
【分析】 建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x y +的表达式，进而得到最大值.
【详解】
以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到011sin 6022l r S AB AC ⨯⨯==⨯⨯⨯周长，
可得到内切圆的半径为1;
可得到点的坐标为：()()()()()3,0,3,0,0,3,0,0,cos ,1sin B C A D M θθ-+
(
)
cos 3,1sin ,BM θθ=++u u u u v ()()3,3,3,0BD BA ==u u u r u u u v 故得到 ()()cos 3,1sin 33,3x BM y x θθ=++=+u u u u v 故得到cos 333,sin 31x y x θθ=+-=-
1sin 3sin 2
333x y θθ+⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩
，()sin 4242sin 2.33333x y θθϕ+=++=++≤ 故最大值为：2.
故答案为C.
【点睛】
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
11．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．240
B ．264
C ．274
D ．282
【答案】B
【解析】
【分析】 将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.
【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，
延长BE 交DF 于A 点，
其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =，
所以表面积()34
36536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=.
故选B 项.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 12．要得到函数1
cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（
） A ．横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度
B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π
个单位长度
C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π
个单位长度
D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π
个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】
为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭，
将1
sin 223y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
故可得1
sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π
⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π
个单位长度，
故可得1
11
sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．利用等面积法可以推导出在边长为a 的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值
3a
，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______ 【答案】63
a 【解析】 【分析】
计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果. 【详解】
作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC ∆的重心 如图
3sin sin 602
AD AB ABD a a =⋅∠=⋅=
o 则2333
AO AD a =
=， 所以226
PO AP AO =
-=
设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x 则11633ABC ABC S x S PO x ∆∆⋅⋅=
⋅⋅⇒= 故答案为：
63
a
本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题. 14．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =，3AC =，
E ，
F 分别为AC ，PB 的中点，3
2
EF =，则球O 的体积为______. 【答案】43π 【解析】 【分析】
可证90ABC ∠=︒，则E 为ABC ∆的外心，又PA PB PC ==则PE ⊥平面ABC 即可求出PB ，PE 的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得. 【详解】
解：2AB =Q ，5BC =
，3AC =
222AB BC AC ∴+=
90ABC ∴∠=︒，因为E 为AC 的中点，所以E 为ABC ∆的外心，
1322
BE AC ∴=
=
因为PA PB PC ==，所以点P 在ABC ∆内的投影为ABC ∆的外心E ， 所以PE ⊥平面ABC ，
BE ⊂Q 平面ABC PE BE ∴⊥，
所以23PB EF ==， 所以223
32
PE PB BE =
-=
， 又球心O 在PE 上，设PO r =，则2
2
2
33322r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以3r =O 体积，34
433
V r ππ==.
故答案为：3π
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．
15．设,x y 满足约束条件220
10210
x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩
，则12x z y +=+的取值范围是______. 【答案】1111,⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
作出可行域，将目标函数12x z y +=
+整理为12
1
y z x +=+可视为可行解(),x y 与()1,2--的斜率，则由图可知11k z ≤或21
k z
≥，分别计算出1k 与2k ，再由不等式的简单性质即可求得答案. 【详解】
作出满足约束条件220
10210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪++≥⎩
的可行域，
显然当1x =-时，z=0； 当1x ≠-时将目标函数12x z y +=
+整理为12
1
y z x +=+可视为可行解(),x y 与()1,2--的斜率，则由图可知11k z ≤或21
k z
≥ 显然21k =，联立4220321053x x y x y y ⎧=-⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩
，所以()()
152311413k --=
=---- 则
1
11z ≤-或11z
≥，故1011z -≤<或01z <≤ 综上所述，1,111z ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
故答案为：1111,⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
16．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】
由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是241
4
x y x -+=
+，可得
()24149
4644
x x y x x x x -++=+
=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.
【详解】
解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，
∴2414
x y x -+=
+，
∴()()24149
49
4646844
4
x x y x x x x x x -++=+
=++-≥+⋅
=+++. 当且仅当3x =时取等号.
∴x y +的最小值为8.
故答案为：8. 【点睛】
本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数22()ln ()f x x mx m x m =--∈R . （1）讨论函数()f x 的极值；
（2）记关于x 的方程()22
0f x m x +=的两根分别为(),p q p q <，求证：ln ln 2p q +>.
【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】
（1）对函数求导，对参数m 讨论，得函数单调区间，进而求出极值；
（2）,p q 是方程()22
0f x m x +=的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可
解. 【详解】
（1）依题意，222
112(1)(12)()2mx m x mx mx f x m m x x x x
'
--+-=--==
； 若0m =，则1
()0f x x
'=
>，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 此时函数()f x 既无极大值，也无极小值； 若0m >，则10mx +>，令()0f x '=，解得12x m
=， 故当1
(0,)2x m
∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1
(
,)2x m
∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 此时函数()f x 有极大值22111113()ln ()ln 222224
f m m m m m m m =-⋅-=-，无极小值； 若0m <，则120mx ->，令()0f x '=，解得1
x m
=-，
故当1
(0,)x m ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当1
(,)x m ∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
此时函数()f x 有极大值2
211111ln()()()ln()f m m m m m m m ⎛⎫-=--⋅---=- ⎪
⎝⎭
，无极小值； （2）依题意，ln 0x mx -=，则ln p mp =，ln q mq =， 故ln ln ()q p m q p -=-，ln ln ()p q m p q +=+； 要证：ln ln 2p q +>，即证()2m p q +>，
即证：
ln ln ()2q p p q q p -+>-，即证2()
ln q q p p p q
->+，
设
()1q t t p =>，只需证：2(1)ln (1)1
t t t t ->>+， 设2(1)()ln 1
t g t t t -=-+，则22(1)()0(1)t g t t t '
-=
>+， 故()g t 在()1,+∞上单调递增，故()()10g t g >=，
即()21ln 1
t t t ->
+，故ln ln 2p q +>.
【点睛】
本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.
证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式
()()f x g x >的基本方法：
(1)若()f x 与()g x 的最值易求出，可直接转化为证明min max ()()f x g x >；
(2)若()f x 与()g x 的最值不易求出，可构造函数()()()h x f x g x =-，然后根据函数()h x 的单调性或最值，证明()0h x >.
18．已知函数()()2
cos f x ax x a R =+∈
（1）当1
2
a =
时，证明()'0f x ≥，在[0,)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】 （1）根据()2
1cos 2
=
+f x x x ，求导()' f x x sinx =-，令()h x x sinx =-，用导数法求其最小值. ()2设()()'2,g x f x ax sinx ==-研究在0x =处左正右负，求导()'2.g x a cosx =-，分12
a ≥
12a ≤-，11
22
a -<<，三种情况讨论求解.
【详解】 （1）因为()2
1cos 2
=
+f x x x ， 所以()' f x x sinx =-，
令()h x x sinx =-，则()'10h x cosx =-≥，
所以()h x 是[0,)+∞的增函数， 故()()00h x h ≥=， 即()'0f x ≥.
()2因为()()'2,g x f x ax sinx ==-
所以()'2.g x a cosx =-， ①当1
2
a ≥
时，()'10g x cosx ≥-≥， 所以函数()'f x 在R 上单调递增. 若0x >，则()()''00;f x f >= 若0x <，则()()''00,f x f <=
所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(,0)-∞， 所以()f x 在0x =处取得极小值，不符合题意， ②当1
2
a ≤-
时，()'10,g x cosx ≤--≤ 所以函数()'f x 在R 上单调递减. 若0x >，则()()''00,f x f <= 若0x <，则()()''00;f x f >=
所以()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，单调递增区间是(,0)-∞， 所以()f x 在0x =处取得极大值，符合题意. ③当11
22
a -
<<时，()00,x π∃∈，使得02cosx a =， 即()0'0g x =，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >即()'0,g x < 所以函数()'f x 在()00,x 上单调递减，
所以()()''00f x f <=，即函数()f x )在()00,x 上单调递减，不符合题意 综上所述，a 的取值范围是1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 19．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男
性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.
（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b
d -=++++其中n a b c d =+++
临界值表：
【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K
的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望. 【详解】 （1）
因为22
60(3015510)616
13.71402035257
K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，
13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）ξ服从153,
60B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3
033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 2
1
13
3127(1)4464
P C ξ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12
23319(2)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0
3
33
311(3)4464
P C ξ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
所以ξ的分布列如下
ξ的期望()0123646464644
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.
20．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”. （1）当1
2
p q ==
时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13
p =
，2
3q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，
，的概率. 【答案】（1）见解析，0（2）80
2187
【解析】 【分析】
（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道
答错2道,3道题都答错,进而求解即可；
（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解. 【详解】
解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为12
p q ==
, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,3
11(3)28
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2
23113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,2
23113
(1)228
P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,
所以ξ的分布列为：
所以()(3)(1)308888
E ξ=-⨯
+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题, 又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，
此时的概率为()
5
3
33
6587
12308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
（或802187）. 【点睛】
本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想. 21．已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .
（2）若2c M >，求证：c a c <<【答案】（1）+a b .（2）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；
（2）利用分析法，只需证明||a c -<
，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证.
（1）()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+…，当且仅当()()0x a x b +-…时取等号， ∴()f x 的最小值M a b =+； （2）证明：依题意，20c a b >+>，
要证22c c ab a c c ab --<<+-，即证2||a c c ab -<
-，即证222
2a ac c c ab -+<-，即证
220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不
等式成立. 【点睛】
本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．
22．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求m 的值；
（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计
100
()2P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
【答案】（1）0.025m =（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系
【分析】
（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m 的值.
（2）根据表格数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 【详解】
（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m ⨯++++⨯=，解得0.025m =. （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030⨯⨯=. 完善列联表如下：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(800300) 4.76250503070
⨯-=≈⨯⨯⨯，
对照表格可知，4.762 6.635<，
不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 【点睛】
本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题.
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin a αα
=r ，cos ,sin 44b ππαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭r ，其中
02
π
α<<
.
（1）求()
b a a -⋅r r r 的值； （2）若()1,1
c =r
，且()
b c +r r P a r ，求α的值.
【答案】（1）1
2
-（2）512πα=. 【解析】 【分析】
（1）根据()
2b a a a b a -⋅=⋅-r r r r r r ，由向量a r ，b r 的坐标直接计算即得；（2）先求出b c +r r
，再根据向量平
行的坐标关系解得α. 【详解】
（1）由题，向量()cos ,sin a αα=r ，cos ,sin 44b ππαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭r ，
则()
2b a a a b a -⋅=⋅-r r r r r r
()22cos cos sin sin cos sin 44ππαααααα⎛⎫⎛
⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos 1142π⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭
.
（2）()1,1c =r Q ，cos 1,sin 144b c ππαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭r r .
()
b c a +r r r Q ∥，
cos 1sin sin 1cos 044ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫∴++-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
整理得sin cos sin cos cos sin 44ππαααααα⎛
⎫
⎛
⎫-=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
sin 44ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
02
π
α<<Q ，4
4
4
π
π
π
α∴-
<-
<
，
4
6
π
π
α∴-
=
，即512
π
α=
. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.。