2017-2018学年人教A版数学五课时达标检测(四)正、余弦定理在三角形中的应用含答案

课时达标检测（四) 正、余弦定理在三角形中的应用
一、选择题
1．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ,则cos θ是（ ）
A 。

35
B ．－错误!
C ．±错误!
D ．±错误!
解析：选C ∵S △ABC ＝错误!AB ·BC sin ∠ABC
＝错误!×2×5×sin θ＝4，
∴sin θ＝45
. 又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±错误!＝±错误!.
2．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8,b ＝83，则△ABC 的面积为( ）
A ．32错误!
B ．16
C ．323或16
D ．323或16错误!
解析：选D 在△ABC 中，由正弦定理错误!＝错误!，得
sin B ＝错误!＝错误!＝错误!,
又b ＞a ，∴B ＝60°或120°。

当B ＝60°时，C ＝180°－30°－60°＝90°，
∴S△ABC＝错误!×8×8错误!＝32错误!；
当B＝120°时，C＝180°－30°－120°＝30°，
∴S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×8×8错误!×错误!＝16错误!。

3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且S△ABC＝错误!,则边BC的长为（)
A.错误!B．3
C。

错误!D．7
解析：选A ∵S△ABC＝1
2
AB·AC sin A＝错误!，
∴AC＝1,由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A
＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.
即BC＝3。

4．△ABC的周长为20,面积为103,A＝60°，则BC的边长等于( ）
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 如图,由题意得
错误!
由②得bc＝40，
由③得a2＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc
＝（20－a）2－3×40，∴a＝7.
5．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为错误!m2,则此人这时离开出发点的距离为（）
A．3 m B。

错误!m
C．2错误!m D.错误!m
解析：选D 在△ABC中,S＝错误!AB×BC sin B，
∴错误!＝错误!×x×3×sin 30°，∴x＝错误!。

由余弦定理，得
AC＝错误!
＝错误!＝错误!(m)．
二、填空题
6．△ABC的两边长分别为2，3,其夹角的余弦值为错误!，则其外接圆的半径为________．
解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝错误!,
则a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝9，∴a＝3。

又∵sin A＝错误!＝错误!，
∴外接圆半径为R＝错误!＝错误!＝错误!.
答案：错误!
7．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则经过错误!h,该船实际航程为________km。

解析：如图所示，在△ACD中,
AC＝2错误!，CD＝4错误!，∠ACD＝60°,
∴AD2＝12＋48－2×2错误!×4错误!×错误!＝36，
∴AD＝6,即该船实际航程为6 km。

答案：6
8．在△ABC中,a＝b＋2,b＝c＋2，又知最大角的正弦等于错误!,则三边长为________．
解析：由题意知a边最大，sin A＝错误!，
∴A＝120°,∴a2＝b2＋c2－2bc cos A。

∴a2＝(a－2)2＋（a－4）2＋（a－2)（a－4）．
∴a2－9a＋14＝0，a＝2(舍去），a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3。

答案:a＝7，b＝5，c＝3
三、解答题
9．在△ABC中，若c＝4，b＝7,BC边上的中线AD的长为错误!，求边长a.
解：∵AD是BC边上的中线，
∴可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x。

∵c＝4，b＝7，AD＝错误!，
在△ACD中，有cos C＝错误!，
在△ABC中，有cos C＝错误!,
∴错误!＝错误!，
解得x＝错误!.∴a＝2x＝9。

10．在△ABC中，角A，B,C所对应的边分别为a，b,c.求证：错误!＝错误!.
证明：法一:由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得a2－b2＝b2－a2＋2c（a cos B－b cos A),
即a2－b2＝c(a cos B－b cos A)，
变形得错误!＝错误!＝错误!cos B－错误!cos A，由正弦定理错误!＝错误!＝
错误!
得错误!＝错误!，错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!
＝错误!。

法二：错误!＝错误!
＝错误!cos B－错误!cos A,
由正弦定理错误!＝错误!＝错误!，
得:错误!＝错误!,错误!＝错误!，
由余弦定理推论得，
cos B＝错误!,cos A＝错误!,
代入上式得
错误!＝错误!·错误!－错误!·错误!
＝错误!－错误!
＝错误!＝错误!.
∴原等式成立．
11．（全国甲卷）△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，已知2cos C（a cos B＋b cos A）＝c.
（1）求C；
（2）若c＝错误!,△ABC的面积为错误!,求△ABC的周长．解：（1）由已知及正弦定理得
2cos C（sin A cos B＋sin B cos A）＝sin C，
即2cos C sin（A＋B)＝sin C，
故2sin C cos C＝sin C。

可得cos C＝错误!，所以C＝错误!。

（2）由已知得错误!ab sin C＝错误!.
又C＝π
3
,所以ab＝6。

由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
所以△ABC的周长为5＋错误!。

12．在△ABC中,内角A,B，C的对边分别为a，b，c。

已知错误!＝
错误!.
（1）求错误!的值；
(2)若cos B＝1
4
，b＝2,求△ABC的面积．
解：(1)由正弦定理得a＝2R sin A, b＝2R sin B,c＝2R sin C，
所以错误!＝错误!＝错误!，
即sin B cos A－2sin B cos C＝2sin C cos B－sin A cos B，
即有sin（A＋B)＝2sin(B＋C），
即sin C＝2sin A，所以错误!＝2.
（2）由（1)知:错误!＝错误!＝2,即c＝2a，又因为b＝2，所以由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2ac cos B，即22＝4a2＋a2－2a×2a×错误!，解得a＝1，所以c＝2。

又因为cos B＝错误!，所以sin B＝错误!.故△ABC 的面积为错误!ac sin B＝错误!×1×2×错误!＝错误!.。