高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.2.1.2 分析法 精讲优练课型

3 2 7 6
A.( 3 2)2 ( 7 6)2 B.( 3 7)2 ( 2 6)2 C.( 3 6)2 ( 7 2)2 D.( 3 2 7)2 ( 6)2
【解析】选C.要证
成立,
3 2 7 6
即证
成立,
3 6 7 2
因两数均为正数,故只需证
【证明】要证明 a b c .
只需证明
a

am b－
b c
m
0
c即可m ,
所以 a m b m c m
a b－c
am bm cm
ab mc m ba mc m－ca mb m 因 为a>0,b>0,ca>0,mm>0b,所m以c(am+m)(b+m)(c+m)>0.
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等,Q表示要证 明的结论.
【补偿训练】已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证: a b
bc
ca
logx 2 logx 2 logx 2 logxa logxb logxc.
【解题指南】首先利用对数运算法则和对数函数的性 质转化为证明整式不等式问题,然后运用分析法、综合 法进行证明.
2
2
2
所以 a b b c c a a2b2c2 abc. 222
即 a b b c c a abc成立. 222
所以logx
a
2
b

logx
b
2
c

logx
c
2
a

logxa

logxb

logxc，成立.
自我纠错 分析法与综合法的应用
【典例】求证: 2 10 2 6.
3.(2016·郑州高二检测)已知非零向量a⊥b,求证:
ab 2.
ab
【解题探究】1.典例1中的条件“a2+b2-1-a2b2如何变 形? 提示:因式分解. 2.典例2中,如何探求a,b满足的条件? 提示:采用分析法.
3.典例3中可采用什么方法来证明? 提示:可采用分析法,逐步探寻不等式成立的充分条件.
从图中可以看出,逆向书写分析过程,同样可以完成证 明,这就是综合法.由此使我们想到,用分析法探路,用 综合法书写,也是一种很好的思维方式.
2.分析综合法 分析法与综合法是两种思路相反的推理方法,分析法是 倒溯,综合法是顺推.因此常将二者交互使用,互补优缺 点,从而形成分析综合法,其证明模式可用框图表示如 下:
【知识探究】 探究点 分析法 1.分析法的证明过程是“由因导果”还是执果索因? 提示:分析法证明过程是执果索因,一步步寻找结论成 立的充分条件.
2.分析法的优越性是什么? 提示:(1)环环相扣:从结论出发,要证……,只要证…… 过程严密紧凑. (2)步步可逆:每一步都在寻找充分条件,因此整个过程 倒过来即是综合法证明.
【解析】1.选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-a2b2)+(b2-1) =a2(1-b2)+(b2-1)=(a2-1)(1-b2) =-(a2-1)(b2-1).
2.a a b b a b b a a a a b b a b b
a a b b a b a b a b 0 2
只需证5<9, 5
5
因为5<9显然成立,故不等式
成立.
2 10 2 6
成立.
( 3 6)2 ( 7 2)2
2.用分析法证明:欲使①A>B,只需②C<D.这里①是②的
()
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.分析法的本质是证明结论的充分条件成 立,即②⇒①,所以①是②的必要条件.
3.将下面用分析法证明 a2 b2≥ab的步骤补充完整:要 2
即只需证:(|a|-|b|)2≥0,它显然成立.
故原不等式得证.
【方法技巧】分析法证明不等式的方法与技巧
特别提醒:逆向思考是分析法证明的立体思路,通过反 推,逐步探寻使结论成立的充分条件,正确把握转化方 向,使问题得以解决.切记“逆向”“反推”,否则会出 现错误.
【拓展延伸】分析法证明问题的注意事项 (1)对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等 式(等式)的命题不便于用综合法证明时,常常考虑用分 析法证明. (2)分析法证明命题成立必须保证步步有理有据,转化 合理,得到的结果必须是显然的,如已知条件、定理、 定义、公理等.
只需证a2-5aa2<a52-a 5a+a62, 5a 6， 即证:0<6,此不等式恒成立.所以原不等式成立.
类型二 分析法与综合法的应用 【典例】已知a,b,c表示△ABC的三边长,m>0,求证:
a b c. am bm cm
【解题探究】本例中a,b,c满足什么关系? 提示:任意两边之和大于第三边.
因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)
=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2 =2abm+am2+abc+bm2-cm2 =2abm+abc+(a+b-c)m2. 因为△ABC中任意两边之和大于第三边, 所以a+b-c>0,所以(a+b-c)m2>0,
【变式训练】已知a>5,求证: a 5 a 3 a 2 a.
【证明】要证 a 5 a 3 a 2 a，
只需证 a 5 a a 2 a 3，
只需证
即
( a 5 a )2 ( a 2 a 3)2，
即只2a需 2证a2 5a 5 2a 5 2 a2 5a 6，
证 a2 b2 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证________, 即证_2_______,由于________显然成立,因此原不等式
成立.
【解析】分析法就是要证结论成立的充分条件.即应 填:a2+b2-2ab≥0,(a-b)2≥0,(a-b)2≥0. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
类型一 分析法证明不等式
【典例】1.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 ( )
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-
≤0
a4 b4
C.
-1-2a2b2≤0
D.((aa2-1b))2(b2-1)≥0
2
2.(2016·淄博高二检测)如果
,则
a ab b a bb a
实数a,b应满足的条件是________.
a b a b 0
故只需a≠b,且a≥0,b≥0即可.
答案:a≥0,b≥0且a≠b
3.因为a⊥b,所以a·b=0
要证: a b
2，
只需证:a|ab|+|b|≤ |a-b|
平方得|a|2+|b|2+2|a2|·|b|≤2(|a|2+|b|2)
只需证:|a|2+|b|2-2|a|·|b|≥0成立.
【<l证og明xa+】lo要gx证b+llooggx xac2,b

logx
b
2
c

logx
c
2
a
只需证明logx 又0<x<1.
(ab 2
bc 2
ca) 2
<logx(abc),
故只需证明 因为a,b,c是a不全b b相等c c的 正a 数ab.c.
222
所以 a b ab 0, b c bc 0, c a ca 0.
所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0, 所以 a b c .
am bm cm
【延伸探究】1.本例增加条件“三个内角A,B,C成等差 数列”求证: 1 ＋ 1 ＝ 3 .
ab bc abc
【证明】要证 1 ＋ 1 ＝ 3 ，即证 a b c＋a b c＝3，
第2课时 分析法
【自主预习】
分析法
(1)概念:从_____________出发,逐步寻求使结论成立 要证明的结论
的_________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一 个明充显分成条立件的条件.
(2)思维过程 用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图 表示为:
【即时小测】
1.要证
成立只需证 ( )
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是解题步骤错误.把要证的结论
当成已知条件了,不符合分析法的步骤. 正确2 解1答0 过2 程6 如下:
【解析】因为
2
10和2
都是正数. 6
所以要证 2 10 2 6
只要证明
展开得12+(4 2 <1204),2 即 (2 6<)23,
【归纳总结】 1.分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢 “已知”,其逐步推理的过程,实际上是寻找使结论成 立的充分条件.
(2)分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直 至归结为已知条件、定义、公理、定理等.
2.用分析法书写证明过程时的格式 “要证……, 只需证……, 只需证……, …… 由于……显然成立(已知,已证…), 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.
3.分析法与综合法的关系 (1)综合法是由因导果,步骤严谨、逐层递进、步步为 营,书写表达过程条理清晰、形式简洁,宜于表达推理 的思维轨迹.缺点是探路艰难、困于思考、不易达到所 要证明的结论. (2)分析法是执果索因,方向明确、利于思考、思路自 然,便于寻找解题思路.缺点是思路逆行、易表述出错.
易错警示:用分析法证明问题时,证明过程中“要 证……;只需证……,只需证……,……,由于……显然 成立,故原结论成立”的关联词 c . 1a b 1c
【证明】要证 a b c . 1a b 1c
只需证a+b+(a+b)c>(1+a+b)c.即证a+b>c. 而a+b>c显然成立.所以
ab c . 1a b 1c
【方法技巧】 1.分析法与综合法的关系 分析法与综合法的关系可表示为下图:
ab bc abc
ab bc
即证 c ＋ a ＝1.
即证ca(bb+c)b+a(c a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.
因为△ABC三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60°.
由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°,
即b2=c2+a2-ac. 所以c2+a2=ac+b2成立,命题得证.