2017-2018学年高中数学 阶段质量检测(四)模块综合检测 苏教版选修2-2

阶段质量检测(四) 模块综合检测
[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i
1＋i ＝________.
2．函数y ＝1
1－cos x
的导数是________．
3．已知函数f (x )＝x e x
＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．
4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．
5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n
×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．
6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式
f x
e
x
＞2的解集为________．
7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2
是实数，则z 2＝________.
8．函数y ＝sin 2
x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．
9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.
10．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.
11．对于等差数列{a n}有如下命题：“若{a n}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)a t－(t－1)a s＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n}相应的一个正确命题是：____________________________________.
12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．
13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．
14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，
D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随
机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z.
16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．
17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3
－3(a ＋1)x 2
＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．
18．(本小题满分16分)已知数列8·112·32，8·2
32·5
2，…，
8·n
n －
2
n ＋
2
，…，
S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081
.
观察上述结果，推测出S n (n ∈N *
)，并用数学归纳法加以证明．
19.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2
－x 3
，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；
(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．
20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .
(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图像相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1
x
有唯一的公共点；
(3)设0＜a <b ，比较f b －f a
2
与
b －a
b ＋a
的大小，并说明理由．
答 案
1．解析：2－2i
1＋i ＝
－2
＋
－
＝(1－i)2
＝－2i.
答案：－2i 2．解析：y ′＝－cos x －
－cos x
－cos x
2
＝
－sin x －cos x
2
.
答案：y ′＝
－sin x －cos x
2
3．解析：∵f ′(x )＝e x
(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1
，
由题意得c －e －1
＜0，得c ＜e －1
. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，1e 4．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除
5．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，
∴增加了
k ＋
k ＋
k ＋1
＝2(2k ＋1)．
答案：2(2k ＋1) 6．解析：令g (x )＝f x
e
x
，∴g ′(x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫f x e x ′＝f
x －f x
e
x
＞0，∴g (x )
为增函数．
由
f x
e
x
＞2得
f x
e
x
＞
f
e
，所以g (x )＞g (0)，∴x ＞0.
答案：(0，＋∞)
7．解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.
∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i
8．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2
x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，14处的切线的
斜率k ＝sin π3＝3
2
.
答案：
32
9．解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝
n ＋
＋n ＋
2
＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12
×2 015×2 018＝2 015×1 009.
答案：2 015×1 009
10．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋b
－＝－a ＋b ＋，
a 2
＋b 2
＝2，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.
答案：1－i 或－1＋i
11．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1
t
t t －1s
＝1
12．解析：f ′(x )＝3x 2
－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0，即2p ＋q ＝3. ①
因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.②
由①②，得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3
－2x 2
＋x .f ′(x )＝3x 2
－4x ＋1.令3x 2
－4x ＋1＝0，解得x 1＝1
3
，x 2＝1.
当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：
所以当x ＝13时，f (x )取得极大值4
27；当x ＝1时，f (x )取得极小值0.
答案：4
27
13．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8
14．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠
⎛1
－1－x 2d x 2
2
＝8
34＝23
. 答案：23
15．解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2
＋b 2
＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，
则
3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝1，
3a －4b ＝0，
4a ＋3b ≠0
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝45
，b ＝3
5
或
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4
5，b ＝－35.
∴z ＝45－35i 或－45＋3
5
i.
16．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax
2
＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为1
6
，∴f ′(1)＝3a ＋
b ＝－6，解得a ＝2.∴a ＝2，b ＝－12，
c ＝0.
(2)由(1)知f (x )＝2x 3
－12x .f ′(x )＝6x 2
－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，
x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：
∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18，∴f (x )1,3]上的最大值是18，最小值是－8.
17.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3
－6x 2
＋6x ，则f ′(x )＝6x 2
－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2
－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．
令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a .当a >1时，列表：
比较f (0)＝0和f (a )＝a 2
(3－a )的大小可得g (a )＝⎩
⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，
a 2
－a ，a >3.当a <－1时，
列表：
⎩⎪⎨⎪
⎧
3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.
18．解：推测S n ＝
n ＋2－1n ＋
2(n ∈N *
)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1
＝
＋2
－1＋2＝8
9
，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝k ＋2－1
k ＋2
，那么
当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋
k ＋k ＋
2
k ＋
2＝
k ＋2－1
k ＋2
＋
k ＋k ＋2
k ＋
2
＝
k ＋2
－k ＋
2
＋
k ＋
k ＋
2
k ＋
2
＝k ＋
2
k ＋2－k ＋2＋
k ＋
k ＋2
k ＋
2
＝
k ＋
2
k ＋
2
－k ＋
2
k ＋
2
k ＋
2
＝
k ＋2－1
k ＋2＝
k ＋＋1]2－1
k ＋＋1]2
.也就是说，当
n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．
19．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2
. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a
3
，x 1<x 2.
所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．
(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a
3处取得最大
值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．
20．解：(1)f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1
x 0
＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1
＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.
(2)令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x .则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2
＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－3
4
x
2
＜0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0， ∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．
(3)f b －f a b －a ＝ln b －ln a b －a ＝ln
b a b －a ，要比较ln
b
a b －a 与2
a ＋b
的大小．∵b －a ＞0，∴
只要比较ln b a 与
b －a a ＋b 的大小．∵ln b
a
－
b －a b ＋a ＝ln b a －2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫b
a －1b
a
＋1，构造函数φ(x )
＝ln x －
x －
x ＋1
，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x
－
4x ＋2＝
x －2x x ＋
2
，显然φ′(x )＞0，
∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴当x ＞1时，φ(x )＞0，即ln x －
x －x ＋1
＞0.则有ln b a ＞
b －a b ＋a
成立，即
ln b －ln a b －a ＞2
a ＋b
成立．即得
f b －f a b －a ＞2a ＋b .∴f b －f a 2＞b －a
b ＋a
.。