一、高斯定理文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量

一、 高斯定理
文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．
数学表达式为
Φe ⎰∑===n
i i
q dS D 1cos θ （9-18）
不严格的证明：
第一种情况：点电荷的电场,闭合曲面（称高斯面）是以点电荷为球心、以r 为半径的球面：
球面上各点电位移的大小相等，方向均向外（设），与面积元d S 的方向相同，所以
Φe
⎰⎰
==⋅==q r r q dS r q dS D 2
2
2440cos 4cos πππθ
若点电荷为负电荷，即q=-∣q ∣，则
⎰⎰
=-=-
=⋅==Φq
q r r q dS r q dS D e 22
2
44cos 4cos ππππθ
与r 无关，即与球面的半径无关.
第二种情况：点电荷的电场,任意闭合曲面：
S ’为任意闭合曲面，S 为球面，S 和S ’包围同一点电荷Q ，S ’与S 之间并无其他自由电荷．由于电位移线的连续性，可以看出通过闭合曲面S ’的电位移线的数目和通过球面S 的电位移线的数目是一样的．因此通过闭合曲面S ’的电通量Φe 的量值也等于q ．
第三种情况：点电荷在任意闭合曲面外：
点电荷q 在闭合曲面S ”的外面时，可以看到进入该曲面的电位移线的数目与穿出该曲面的电位移线的数目也是相等的．因为我们规定穿出为正、进入为负，因此通过该闭合曲面的总电通量为零．
第四种情况：点电荷系的电场：
设空间有（n+m ）个点电荷时，其中n 个在闭合曲面内，m 个在
闭合曲面外.
根据电场叠加原理：m n n n D D D D D +++++++=
11，可得：
∑⎰⎰⎰⎰⎰=++=++++=∙++∙+∙++∙=∙=Φn
i i
n m n n n e q q q S d D S d D S d D S d D S d D 11110
式中m 为空间自由点电荷的总数，而n 为闭合曲面内包围的自由点电荷的数目，（m-n ）为闭合曲面外的自由点电荷的数目，因此可得通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．
可以证明 高斯定理是普遍成立的. 注：
1.物理意义：说明静电场是有源场（静电场的特性之一），静电场的源就是正电荷和负电荷（负源）.
2.要注意区分通过闭合曲面的电通量（D 的通量）与闭合曲面上每一点的D ：
(1) 通过任一闭合曲面的电通量只与闭合曲面内的自由电荷有关，但闭合曲面上每一点的D 却与空间（闭合曲面内、外）的所有电荷有关.
（2）0
=∙⎰S d D
，不一定曲面上每一点的D 都是零；也不一定曲面内没有自由电荷，只不过曲面内自由电荷的代数和为零（即净电荷为零）罢了.
3.高斯定理是普遍成立的，但用来求电场时只能用于具有某些对称性的电场.
四、高斯定理的应用 1.均匀带电球体的电场
设有一电介质球体，半径为R ，均匀带电，电荷体密度为ρ，总电荷为q ，如图9-16.现在计算球内和球外任意点p 1和p 2处的电位移．设球体的介电系数为ε1，球外电介质的介电系数为ε2.
先研究球内p 1处的情况．通过p 1点作半径为的同心球面S 1(r 1<R)，面积等于4πr 12．由于对称关系，球面S 1上各点的电位移应与球面相垂直且有相同的量值，假定为D 1，相应地通过球面S 1的电通量为4πr 12 D 1.已知球面S 1所包围的电荷为（4/3）πr 31ρ.所以由高斯定理，得
331
12
111343
44cos R q r D r dS D dS D e πππθ=
===Φ⎰⎰
相应地，因D 1=ε1E 1，得
1
3
111
14r R q
D E πεε=
=
(9-19a) 由此可见，对均匀带电球体来说．球内任何点的场强与该点到球心的距离成正比，在球心处场强为零.
再来研究球外p 2点处的情况．通过p 2点作半径为r 2的同心球面S 2(r 2> R)，面积为4πr 22．同理，设球面S 2上电位移的量值为D 2．相应地，通过球面S 2的电通量为4πr 22 D 2．已知球面S 2所包的电荷为q ，所以按高斯定理得
4πr 22 D 2 =q
所以
2
224r q
D π=
相应地，因D 2=ε2E 2，得
2
2222
24r q
D E πεε=
=
(9-19b) 上式与点电荷的场强公式完全相同，可见均匀带电球体在球外一点产生的场强，相当于全部电荷集中在球心上时点电荷产生的场强 .
场强与距离r 的关系，以及电位移与距离r 的关系，分别如图9-17所示（有何区别？为什么？）
2．均匀带电球面的电场
设有一个球面，半径为R ，表面均匀带电，电荷面密度为σ，总电量为q ，即q=4πR 2σ．显然，可用与带电球体相同的方法，求得球内任一点的电位移和场强均为零；即
D=0，E=0 (均匀带电球面内) (9-20a)
而球外任一点的电位移和场强则与带电球体的球外电场相同，即在球外任一点(与球心相距为r)处，
2
24r
q D π=
2
224r q
E πε=
式中ε2.是球外电介质的介电系数．
均匀带电球面内外的场强与r 的关系如图9-18所示. 3．无限大均匀带电平面的电场
设有无限大均匀带电平面，平面的电荷面密度为σ．在靠近平面中部而距离平面不远的区域内，由于对称关系，可以确定电场是均匀的，而且场强垂直于平面(田9-19)．局限在上述区域内的电场，称为无限大均匀带电平面的电场．为了计算这个电场的场强，可通过平面上一小面积ΔS ，作一封闭柱面S ，柱面的轴线和平面正交，两底面的面积都等于ΔS ，按高斯定理，通过整个S 面的电通量应等于S 面所包围的自由电荷的代数和，即
Φe =∮Dcos θdS=∫底面1Dcos θdS+∫底面2Dcos θdS+∫侧面Dcos θdS = D （ΔS ） + D （ΔS ）+0=∑q 这里，通过柱体侧面的电通量等于零（因为侧面上各处θ=π /2）.通过两底面的电位移线都与底面正交，而且都是向外的(设σ为正值)，所以θ=0，cos θ=1．设D 为两底面上的电位移，可知通过两底面的电通量等于D(ΔS) + D （ΔS)．
已知s 面所包围的总电荷为σ(ΔS)，所以 D (ΔS) + D (ΔS) =σ(ΔS)
从而求得 D=σ/2
或
02εσ
=
E （真空中）
εσ2=
E （无限大均匀电介质中） 可见在无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与离开平面的距离
无关．(上述结果与例题9—2中用积分计算所得的结果一致，但这里的计算简单得多．)
4．无限长均匀带电圆柱面的电场
设有无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为σ(设σ为正)．由于电荷分布的轴对称性，可以确定，在靠近圆柱面中部离开圆柱面轴线的距离比圆柱面的长度小得多的地方（在这些地方才可以将圆柱面看成是无限长的），带电圆柱面产生的电场也具有轴对称性，即离开圆柱面轴线等距离各点的场强大小相等，方向都垂直于圆柱面而向外，如图9—20所示．局限于上述区域的电场称为无限长均匀带电圆柱面的电场．
为了求无限长圆柱面外任一点p 处的场强，可过p 点作一封闭圆柱面，柱面高为l ，底面半径为r ，轴线与无限长圆柱面的轴线相重合．由于封闭圆柱面的侧面上各点电位移D 的大小相等，方向处处与侧面正交，所以通过该侧面的电通量是2πrlD ；通过两底面的电通量为零．而圆柱面所包围的电荷为σ2πRl,所以按高斯定理得
2πrlD=σ2πR l 由此算出 D=R σ/r 相应地，由D=εE ，得 E=R σ/r ε
式中ε是圆柱面外电介质的介电系数．如果令
λ=2πR σ
表示圆柱面每单位长度的电量，则上两式可化为
D=λ/2πr E=λ/2πεr
由此可见，无限长均匀带电圆柱面在柱外各点产生的场强，相当于其电荷全部集中在其轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强 (参看例题9—1)．
根据同样的讨论，可知带电圆柱面内部的场强等于零．各点的场强随各该点到带电圆柱面轴线的距离r 的变化关系．如图9—20所示．
小结：从上面几个例子中可以看出，在有些情况下，利用高斯定理计算带电系统的场强是很方便的．问题的关键在于找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，显然，当带电系统均匀带电并具有如上
各例的对称性时，就能做到这一点．
用高斯定理求场强的步骤： 1.选高斯面（闭合曲面）：找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，例如使电场强度都垂直于这个闭合面的全部或一部分，而且大小处处相等（这时D 可以提出积分号外）；或者使一部分场强与该面平行，因而通过这部分面积的电通量为零．
1. 求Φe ⎰=dS D θcos
2. 求Σq i 内
3. 求D 的大小和方向
4. 求E =D /ε（记忆：D =εE ）。