高中数学第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系bb高一数学

2021/12/12
第二页，共二十五页。
2021/12/12
新知 探求 (xīn zhī)
课堂 探究 (kètáng)
第三页，共二十五页。
新知探求·素养(sùyǎng)养成
点击进入 情境导学
知识(zhī shi)探
究
1.空间直角坐标系
(1)为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数
2021/12/12
第六页，共二十五页。
【拓展延伸】
空间中的对称问题
空间中点关于坐标(zuòbiāo)平面,点关于轴,点关于点的对称点如下: A(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点为A1(x,y,-z); A(x,y,z)关于坐标平面yOz对称的点为A2(-x,y,z); A(x,y,z)关于坐标平面xOz对称的点为A3(x,-y,z); A(x,y,z)关于x轴对称的点为A4(x,-y,-z); A(x,y,z)关于y轴对称的点为A5(-x,y,-z); A(x,y,z)关于z轴对称的点为A6(-x,-y,z); A(x,y,z)关于原点对称的点为A7(-x,-y,-z).
)
(A)x轴上 (B)xOy平面上
(C)yOz平面上 (D)xOz平面上
解析:由于(yóuyú)y=0,故该点在xOz平面上,故选D.
2021/12/12
第十一页，共二十五页。
4.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,3)在xOy平面上的投影的坐标(zuòbiāo)为
,在z
轴上的投影的坐标为
,关于原点的对称点为
第十四页，共二十五页。
方法(fāngfǎ)技巧 ①求空间一点M的坐标,常用方法是:过M作MM1垂直于xOy平面,垂足 为M1,求出M1的x坐标和y坐标,再求出点M的z坐标,于是得到M点的坐标(x,y,z),注意z坐标的正
负.②由本题看出,借助长方体写出空间坐标很 方便.
2021/12/12
第十五页，共二十五页。
2021/12/12
第七页，共二十五页。
因此,我们可以总结(zǒngjié)出如下规律:
某面对称某不变,如A(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点为A1(x,y,-z),这里x,y的符号不变; 某轴对称某不变,如A(x,y,z)关于y轴对称的点为A5(-x,y,-z),这里y的符号 不变; 原点对称均相反,如A(x,y,z)关于原点对称的点为A7(-x,-y,-z),这里x,y,z都变为其相反数. 这些规律要结合图形记忆,不能死记硬背.
构成的(x,点0,0集) ,z轴是坐标形如 的点构成的点集.其中,x(,0y,,zy为,0)任意的实数.
3.空间结构
(0,0,z)
三个坐标平面把空间分为 部分,每一部分称为一个
,在坐标平面xOy上方,分别
(fēnbié)对应该坐标平面上四个象八限的卦限称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦卦限限,在下方的卦限称为第 Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由空间直角坐标系的画法知(3)错误,x轴与y轴应互换;(1)、(2)、(4)均正确 (zhèngquè)(即符合右手直角坐标系).故选C.
2021/12/12
第十页，共二十五页。
3.在空间直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)系中,点A(1,0,1D)在(
.
解析:在xOy平面上的投影(tóuyǐng)坐标为(1,-2,0), 在z轴上投影的坐标为(0,0,3), 关于原点的对称点为(-1,2,-3). 答案:(1,-2,0) (0,0,3) (-1,2,-3)
2021/12/12
第十二页，共二十五页。
课堂探究(tànjiū)·素养提升
类型(lèixín点g)的一坐标与点的位置的相互(xiānghù)确定
④在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标可写为(a,0,c).
其中正确的个数是(
)C
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由空间(kōngjiān)直角坐标系中各坐标的定义知, ①错误,应为(a,0,0);②③④均正确.故选C.
2021/12/12
第九页，共二十五页。
2.在如图所示的空间(kōngjiān)直角坐标系的直观图中,正确的个数为( ) C
【例1】 设长方体ABCD-A′B′C′D′,如图所示,长、宽、高分别为|AB|= 4 cm,|AD|=3 cm,|AA′|=5 cm,N是线段CC′的中点.分别以AB,AD,AA′所在的直线为x轴,y轴,z轴,以1 cm 为单位长,建立空间直角坐标系.
2021/12/12
第十三页，共二十五页。
(1)求点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标(zuòbiāo); (2)求点N的坐标.
A′(0,0,5),B′(4,0,5),C′ (4,3,5),D′(0,3,5).
(2)N是线段CC′的中点,有向线段CN的方向与z轴正方向相同,|CN|=2.5,因此N的z坐标为2.5,C在 xOy平面内的平面坐标为(4,3),这就是N的x,y坐标,故N的空间坐标为(4,3,2.5).
2021/12/12
和原点的对称点的坐标.
解:过M作MA⊥平面xOy于点A,
并延长MA到点B,使|MA|=|AB|, 则M点与B点关于平面xOy对称,
所以B(1,-2,-3), 即点M关于xOy平面的对称点的坐标为(1,-2,-3).
同理,点M关于xOz平面的对称点的坐标为(1,2,3),
点M关于yOz平面的对称点的坐标为(-1,-2,3).
2.4 空间(kōngjiān)直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系
2021/12/12
第一页，共二十五页。
目标(mùbiāo)导航
课标要求 素养达成
理解空间直角坐标系的有关概念,会根据坐标描出点 的位置,由点的位置写出点的坐标.
学生通过学习空间直角坐标系的有关概念,丰富数形 结合思想方法的认识,促进直观想象、数学运算等数 学核心素养的达成.
因为 E 点的 z 坐标为 1 ,所以 E(1,0, 1 ).
2
2
F 在 xOy 平面上的投影为 BD 的中点 G,z 坐标为 1,
所以 F( 1 , 1 ,1). 22
2021/12/12
第十六页，共二十五页。
法二 如法一所建空间直角坐标系,
因为 B1(1,0,1),D1(0,1,1),B(1,0,0), E 为 BB1 的中点,F 为 B1D1 的中点,
解:(1)A,B,C,D都在平面xOy内,z坐标都为0,它们在x轴,y轴所组成的直角坐标系中的坐标分 别 是 (0,0),(4,0),(4,3),(0,3), 因 此 空 间 ( k ō n g j i ā n ) 坐 标 分 别 是 A(0,0,0), B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0).A′,B′,C′,D′同在一个垂直于z轴的平面内,这个平面与z轴的交点A′的z坐 标 是 5, 故 这 四 点 的 z 坐 标 都 是 5. 从 这 四 点 分 别 作 xOy 平 面 的 垂 线 交 xOy 平 面 于 A,B,C,D 四 点 , 故 A′,B′,C′,D′ 的 x,y 坐 标 分 别 与 A,B,C,D 的 相 同 , 由 此 可 知 它 们 的 空 间 坐 标 分 别 是
2021/12/12
第二十一页，共二十五页。
方法技巧 当动点P(x,y,z)的坐标分量中有两个是常数时,它表示两个平面的交线,即一 条线;若三个坐标分量都是常数,它就表示三个平面的公共点,即一个(yī ɡè)定点.
2021/12/12
第二十二页，共二十五页。
变式训练3-1:在空间直角坐标系中,求出经过点A(2,3,1)且平行于坐标平面 (píngmiàn)yOz的平面(píngmiàn)α的方程.
解:因为坐标平面yOz⊥x轴,而平面α与坐标平面yOz平行,所以平面α也与x轴垂直,所 以平面α内的所有点在x轴上的射影(shèyǐng)都是同一点,即平面α与x轴的交点, 所以平面α内的所有点的横坐标都相等. 因为平面α过点A(2,3,1), 所以平面α内的所有点的横坐标都是2, 所以平面α的方程为x=2.
/12/12
第十八页，共二十五页。
过M作MC⊥x轴于点C,并延长MC到点D,
使|MC|=|CD|,
则M点与D点关于x轴对称,所以D(1,2,-3). 即点M关于x轴对称的点的坐标(zuòbiāo)为(1,2,-3). 同理:点M关于y轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3), 点M关于z轴对称的点的坐标为(-1,2,3). 连接MO并延长到点E,使|MO|=|OE|, 则M点与E点关于原点对称, 所以E(-1,2,-3), 即点M关于原点对称的点的坐标为(-1,2,-3).
A点关于xOz平面的对称点为(-3,-1,-4).
2021/12/12
第二十页，共二十五页。
类型(lèixín空g)间三轨迹(guǐjì)问题
【例3】 设x为任意(rènyì)实数,相应的所有点P(x,2,3)构成的集合是什么图形? 5
解:取点A(0,2,0),过点A作与y轴垂直的平面α, 则该平面上每一点的y坐标都是2. 取点B(0,0,3),过点B作与z轴垂直的平面β, 则该平面上每一点的z坐标都是3. 由α∩β=l,可知直线l与平面yOz交于点C(0,2,3),且直线l上任意一点的坐标均可写 成(x,2,3)的形式. 故所有点P(x,2,3)表示的集合是过点C(0,2,3)且与x轴平行的直线.
它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的 .过点P作一个平面平行x坐于标平面xOz,这个
平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点(Pzu的òbiāo) .过点P作 一个平面平行于坐标平面xOy,这个y平坐面标与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个
数z就叫做点P的 ,这样,我们对空间(zu中òb的iā一o)个点,定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,
变式训练1-1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点(zhōnɡ diǎn),棱长为1, 建立空间直角坐标系,求E,F点的坐标.
解:法一 如图,以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系,E 点在 xOy 平面上的投影为 B(1,0,0),
2021/12/12
第八页，共二十五页。
自我(zìwǒ)检测
1.有下列叙述: ①在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标(zuòbiāo)一定是(0,b,0); ②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记为(0,0,c);
故 E 的坐标为( 11 , 0 0 , 1 0 )=(1,0, 1 ),
22 2
2
F 的坐标为( 1 0 , 0 1 , 11 ),即( 1 , 1 ,1).
2 22
22
2021/12/12
第十七页，共二十五页。
类型(lèixí空ng)间二(kōngjiān)中点的对称问题 【例2】 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3).求它分别关于(guānyú)坐标平面、坐标轴
2021/12/12
第十九页，共二十五页。
变式训练2-1:已知点A(-3,1,-4),分别写出点A关于(guānyú)原点,x轴,y轴,z轴和xOz平面的对 称点.
解:A(-3,1,-4)关于原点的对称点为(3,-1,4), A点关于x轴,y轴,z轴的对称点分别(fēnbié)为
(-3,-1,4),(3,1,4),(3,-1,-4),
记作 z坐标,每两条坐标轴分别确定的平面 , , 叫做坐标平面. P(x,y,z)
yOz
xOz
xOy
2021/12/12
第五页，共二十五页。
2.空间特殊平面与特殊直线
xOy平面是坐标形如 的(x点,y,构0)成的点集,xOz平面是坐标形如 的点构成的点集(,xy,O0,zz平) 面是 坐标形如 的点构成的点集,x轴是坐标形(如0,y,z) 的点构成的点集,y轴是坐标形如 的点
轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都
互相垂直 ;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿
逆
时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这时,我们说在空间建立(jiànlì)了一个
空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.
2021/12/12
第四页，共二十五页。
(2)过空间中的任意(rènyì)一点P,作一个平面平行于平面yOz,这个平面与x轴的交点记为Px,