人教版数学七年级上册3.4.1实际问题与一元一次方程-------工程问题教案 (1)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯
《3.4实际问题与一元一次方程（一）》教学设计
工程问题
【教材分析】
本节内容是人教2011课标版中学数学七年级上学期第三章第四节第二课时的内容，是学生学习了有理数、代数式和一元一次方程的解法之后理论联系实际的重要内容。

也是一元一次方程在实际问题中的应用和拓展巩固。

理论上所有列方程解应用题的基本
方法都与一元一次方程应用题相同，这一节也是方程应用题初中起步的第二课时，对后
期方程应用题的学习具有非常重要的指导意义。

同时一元一次方程应用题又是实际问题
问题与数学问题的有机联系，是对学生把实际问题转化成数学问题的重要知识和数学能力，可以培养学生较好的转化能力，分析解决问题的能力，举一反三的数学逻辑思维能
力和计算能力。

本节课主要学习内容是“工程问题”，是具有代表意义类型的实际问题。

【学情分析】
七年级的学生具有刚从小学升入初中的特点，他们思想活跃，兴趣广泛，对数学思
考跃跃欲试。

同时数学知识上也是刚由“数的学习向式的学习”顺利过渡。

一方面具有
较好的数学探究的积极性，另一方面也具有去算术化，代数思想和方程思想尚需慢慢规
范构建的不稳定性。

虽然在上一节课刚学习了产品“配套问题”，学习了列方程解应用
题的一般步骤，但学生对工程问题一般都理解不透彻，因此这节课的学习对他们具有一
定的时效性和挑战性。

【教学目标】
知识与技能：能掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤；能找出“工程问题”的基本相等关系，能用一元一次方程解决“工程问题”；
数学思考：让学生经历分析题意、找相等关系、设未知数列方程解决实际问题的过程，培养学生运用一定的策略，按照步骤分析解决问题的思维方式和能力；经历把实际
问题转化成数学问题充分体会一元一次方程重要的模型作用，渗透数学建模思想；
问题解决：通过自主探究、合作探究，交流展示，让学生经历提出问题、分析问题、解决问题的数学过程;培养学生抽象、分析、概括和解决问题的能力；
情感态度价值观：培养学生学习读题，审题的方式方法，和列方程解决实际问题中
规范的过程，培养学生严谨、细致、规范的习惯，以及独立思考、合作交流、反思质疑
的习惯；体会到自主探究与合作学习的成功与快乐。

【重难点分析】
重点：能把实际问题转化成数学问题，掌握分析应用题的一般步骤；理解掌握“工
程问题”的核心相等关系；
难点：能通过审题，找出“工程问题”的相等关系，能建立方程解决实际问题。

【教学过程】
本节课的教学流程分为六个环节：
教学过程
环
节
问题与情境师生活动设计意图
情境导入1.小调查：班上喜欢关注身边时事新
闻的有哪些？
2.哪些同学知道这几张图片是最近宜
昌前不久发生的一件什么大事？
3. 例1. “宜马”比赛中残疾人比赛所
需的特殊装备上有一道工序，若由甲独
做完成需要24小时，若由乙独做完成需
要12小时.
（1）甲的工作效率是，乙的工
作效率是，两人合做效率
是；
（2）若由甲先做6小时，乙再加入合做
一起完成了这项工作，问两人合做了多
长时间？
教师小调查；
观看图片，学生说图片；
学生举手回答例1的（1）问，
并解说怎么求出来的？
师生回顾：
工作效率=工作量÷工作时间；
工作量= ；
工作时间= ；
常把总工作量当做“单位1”；
（2）生：需要用一元一次方程
来解决；
引出本解节课题
3.4实际问题与一元一次方
程（一）工程问题
学生阅读本节课学习目标；
（板书课题）
师生回顾列一元一次方
程节应用题的一般步骤：
①审题，②设未知数，③列
方程，④解方程⑤检验作答.
以小调查，和“首
届宜昌市万人马拉松
比赛”引入本节学习
内容—“宜马”中的
数学问题；以“宜马”
中残疾人装备中的工
程问题引入本节课
题。

一是第（1）中简
单的工程问题，学生
已于解决，容易上手，
导入容易；二是用身
边的大事情引入课
题，学生熟悉，极大
调动学生学习探究的
热情和积极性；引发
学生探究欲望，让学
生感受数学与现实生
活的紧密联系，也体
现了数学来源于生活
也为生活服务，数学
无处不在。

1.尝试解决：
例1中的（2）中.
分析：本题的相等关系是：；
解：设两人合作的时间为x小时，依
题意得：
；
自主探究：
1.学生在一般步骤地指引
下，尝试解决，找等量关系；
尝试设未知数，列方程；
2.学生代表上台演板，设，和列；
3.学上代表讲解如何找“等量关
系”，所列“一元一次方程”的
来由；
4.师生归纳翻译：
放手让学生在列一
元一次方程解应用题
一般步骤地指引下，
自主尝试解决，一是
因为例1的设计难度
不大，学生能够自主
解决，给学生一个空
间，尝试解决；二是
发现学生在解决工程
自主探究
合作探究3.学生展示：
学生演板，上台讲解
3.反思质疑：
甲先前也工作了，后来合作中甲也
在工作，能换一种思路列方程吗？
甲先前工作量+甲、乙合作工
作量=1 .
（标出原文句子）
111
6()1
242412
x
⨯++⋅=
5. 出示规范解答格式；
6.师生质疑：
方法二：
甲的工作量+乙的工作量=1；
11
(6)1
2412
x x
⨯++⋅=
7.归纳：不同分段方法：
一是按照时间顺序分；二是
按照工作对象分.
问题中存在的问题，
教师及时引导，点拨；
三是教师在学生展示
的基础上引导学生反
思质疑，从而形成工
程问题不同的理解分
段方法，达到突出重
点，形成新知.
同时；引导学生“划
句子”翻译“相等关
系”；画线段图，理
解不同分段，做到数
形结合，学生易于理
解.
1.例
2.据报道：本次“宜马”比赛
赛事设有“全城马拉松、半程马拉
松、健康跑、迷你跑”四个比赛项
目.开赛前夕，宜昌市体育局网络平
台承担了各种报名的统计工作.其
中某个项目若由一个人独做需要
40小时完成，假定公司所有人员工
作效率都相同.
（1）快速抢答：
①本题中1个人的工作效率是；
②1个人工作了3小时完成了；
③5个人工作1小时完成了；
④5个人工作了4小时完成了；
⑤2个人先做了3小时，又加进来1
个人一起合作了4小时，一共完成
了 .
2.（2）现在计划先由一部分人做4
h，然后加进来2人与他们一起做了
8h，完成了这项工作.问具体应先安
排多少人工作？
3.尝试自己填写表格；找出本体的
相等关系，并设未知数，列方程；
1.例2（1）采用学生分组抢答
完成；
师生回顾：
（单人）工作量=（单人）工作
效率×工作时间；
（多人）工作量=人均效率×
×；
2.（2）师：本题是单人工作量
问题？还是多人工作量问题？
本题工作量问题是一次性做
完，还是分段做完？
表格分析提示：
3.学生自主填写表格，并尝试完
成设未知数，列方程；
4.小组内合作，充分交流；
5.教师利用希沃白板，和上课助
手，拍摄部分学生表格，和方程，
和屏幕同步，让学生上台讲解；
展示.
6.出示本题规范解答；
先前工作量+后来工作量=1；
归纳：
（多人）工作量=人均效率×
×；
各部分工作量之和=总工作量.
“配套问题”虽
说学生有生活经验，
但设未知数的技巧，
和一元一次方解决
“配套比例”应用题，
学生仍有较大困难，
因此两个变式练习可
以让发学生举一反
三，抓重破难，融会
贯通.
小组互助学习可
以实现学生学习中的
互助，“生帮生”、
“兵教兵”，使优生
更透彻，使有困难学
生适时及时得到帮助
变式探究变式探究：
1.例2中，有不同的列方程的方法吗？
2.例2问题改为：若先安排2人工作了
2h，再加进来一些人一起合作了4h，完
成了这项工作的
9
10
，问中途加进来几个
人？
1.先前人员工作量+加入人员工
作量=1
2.采用学生即时问答的方式完
成；
先前工作量+后来工作量=
9
10
.
变式的目的是让
学生更加熟练的理解
运用两种分段方式列
方程，和多人工作量
问题不同的设问中，
相同的等量关系的理
解和掌握.使学生能
够做到举一反三，触
类旁通.
归纳总结
自我归纳小结：
本节课我学到了哪些数学知识？数学
思想方法？还有那些不足？
在学生充分总结发言的基础
上，教师引导归纳出：
1.问题一元一次方程
方程的解方程的解
2. 工程问题常用等量关系：
多人工作量= ；
各部分工作量之和= .
3.辅助工具运用：
划句子—翻译等量关系；
列表格—明确各量之间关系；
线段图—总工作量分段理解；
4.数学思想：
方程思想，建模思想，数形结
合思想；分类思想等
鼓励学生大胆总结出
自己所学，知识方法，
收获和不足；
教师在此基础上总
结；旨在让达到学生
知识自我构建，方法
思想促进生成；形成
体系，和经验.
学生的困惑让学生
相互解答，由点及面，
去伪存真.
当堂检测
据本节课内容，精选编拟4
道不同类型的题目，作为一组
当堂检测题；
学生独立解决，请学生代表上
台核对答案，学生自我批改，自
我评价；
教师统计对错情况.
布置作业:
书本:
P101,练习:T1;T2.
一节课的学习尽
可能地让学生体会到
学有所获，达到自我
检测、查漏补缺，
当堂过关；已达到知
识方法思想的构建和
生成，吐故纳新；让
学生看到当堂的学习
成果；检验当堂的不
透不足；调动和优化
自我评价机制。

【教学反思】
本节课在设计上我还是想要力图结合现实生活情境，源于教材但不拘泥于教材的宗旨，把一节数学应用题课变成一节实际问题的解决，列方程应用的的数学知识方法生成，学生参与面广但不枯燥的数学活动课。

在实际的课堂上还是尽量体现到了这一点。

我反思有以下优点与不足：
一是能做到情景创设更加生活化，数学学习更加有效化。

二是做到目标出示通俗化，更讲实效性。

就是要用好一个工具--“一元一次方程”，解决一个目标--“工程问题”。

三是能做到小组学习生本化，任务单可操作性强。

小组学习内容具体，要求具体，兼顾各个阶层学生，能做到小组学习承包化，合作学习同伴化，个体学习责任化。

四是能做到释疑解惑时机化，精析精讲抓重破难，更高效。

在学生展示表达的同时，对于一元一次方程学生审题过程中的表格运用，线段图分析，分段策略等等，尽可能的把握时机，在“疑”时启，“惑”时导，“难”时讲，让学生不断地纠正错误，明确本质，逐层地建构认知体系。

五是能做到达标检测当堂化，评价及时更高效。

个体学习怎样，学生落实怎样，能力提升怎样，还需怎样纠正，调整，都需要一组体现核心知识，能力，但又不易过难的大众达标检测题。

我设计的一组达标检测题很好体现了上述意图。

融入了大众学习与个体学习需求，做到了大众成长和个体成长相结合。

六是能做到技术融合更灵活，更富时效性。

通过多次数形结合几何画板课内演示，让给学生有更直观的认识和体验。

通过视频、电子白板的互动功能让师生交流更近，更好。

尤其是手机介入希沃授课助手，让课堂及时展演预评价，更具灵活的融合，让教学变得更时效，更高效，使学生成长的平台更广阔。

当然，每一节课总是一个不完美的艺术作品，还有许多需要思考改进的方面，如语言表达艺术，环节衔接艺术，群体与个体兼顾技巧等都是回避不了的话题。

包括目标的达成，课堂生成性等等，都是值得我继续努力思考的方向！
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

这位习惯观察思考
的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。

在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。

于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。