推荐-高中数学人教A版选修2-2课件2.1.1.2 类比推理

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1.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较
合适( )
A.三角形
B.梯形 C.平行四边形 D.矩形
解析:从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方
面考虑,用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适.
答案:C
2.平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比到空间中我们可
������
=
-√13-1 2
舍去
.
答案:C
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3 变式训练 解决问题“求方程 3x+4x=5x 的解”有如下的思路:
方程 3x+4x=5x 可变为
3 5
������
+
4 5
������
体积为 V,则 r=
()
A.������1+������2+������������3+������4 C.������1+������23+������������3+������4
B.������1+������22+������������3+������4 D.������1+������24+������������3+������4
1 + 1 + √1 + …=x,两边同时平方,得 1+ 1 + 1 + √1 + …=x2,
由极限的概念,上式可以化为 1+x=x2,解得 x=1+2√5(负值舍去).类比
上述方法,可求得 1+2+1+121+1…的值为(
)
A.√13+1 B.√13-1
C.√123-1
D.√132+1
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分析:这是解题方法上的类比问题,分析已经给出的问题的解题
方法与步骤可知,应首先设出欲求值的式子,然后根据式子的循环
与周期性进行求解.
解析:设 1+2+1+121+1…=x,则显然有 x>0,且 x=1+2+1������,
即 x2+x-3=0,于是 x=√1Hale Waihona Puke 3-1探究一探究二
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解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,
那么这个平行六面体是直平行六面体.
证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 若对角线A1C与AC1相等, 则四边形ACC1A1是矩形, 因此A1A⊥AC. 同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形, 因此D1D⊥DB,即A1A⊥DB. 又因为AC与BD相交,
明确的结论.
做一做2 在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面
积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则
它们的体积比为
.
解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相
似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积
之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
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平面与空间的类比 【例1】 我们知道,在平面中,如果一个平行四边形的两条对角 线相等,那么这个平行四边形是矩形.将这一结论类比推广到空间 中,我们可以得到怎样的结论?如何证明该结论的准确性? 分析:由平面向空间类比推广时,平行四边形与平行六面体是类 比对象,矩形则与直平行六面体是类比对象,平行四边形的对角线 与平行六面体的体对角线是类比对象.
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)类比推理是由一般到特殊的推理. ( × ) (2)由直线与圆相切时,圆心与切点的连线和直线垂直,想到平面 与球相切时,球心与切点连线与平面垂直,这是运用了类比推理.
(√ ) (3)类比推理得到的结论不一定是正确的. ( √ ) (4)合情推理在数学证明和数学发现中具有重要作用. ( √ )
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做一做1 下面使用类比推理正确的是( ) A.“若a·3=b·3,则a=b”类推出“a·0=b·0,则a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”
C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“������+������ ������
以得到( )
A.空间中平行于同一直线的两直线平行
B.空间中平行于同一平面的两直线平行
C.空间中平行于同一直线的两平面平行
D.空间中平行于同一平面的两平面平行
解析:利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.故选D.
答案:D
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3.在等差数列 ������������ 中,有结论������1+������2+8 …+������8 = ������4+2������5,类比该结论,在等
然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3
或x<-1.
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
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盲目进行类比推理导致结果错误 典例平面几何中有结论:“如果一个角的两边分别垂直于另一个 角的两边,则两角相等或互补”;类比这一结论,在立体几何中,“当一 个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面 时”,则两个二面角( ) A.互补 B.相等 C.互补或相等 D.此两二面角的关系不定 错解:由类比推理,可知两个二面角相等或互补,故选C. 正解:当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两 个半平面时,这两个二面角没有任何大小关系,故选D.
第2课时 类比推理
-1-
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学习目标
思维脉络
1.了解类比推理的含义,了解类比 推理的方法与步骤.
含义
2.能够运用类比推理解决简单问 类比推理 特点
题. 3.了解合情推理的含义.
方法与步骤→应用
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1.类比推理 (1)类比推理的含义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (2)类比推理的特点: ①类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; ②类比是以原有知识为基础,猜测新结论; ③类比能发现新结论,但结论具有猜测性,它的准确性需要证明.
比数列 ������������ 中,可有结论( )
A.������1+������2+8 …+������8
=
������4+������5 2
B.8 b1 + b2 + … + b8 = b4 + b5
C. b1b2…b8 = b4b5
D.8 ������1������2…������8 = ������4������5
解析:将△ABC 的三条边长 a,b,c 类比到四面体 P-ABC 的四个面
面积 S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数12,类比到三棱锥体积公式 中系数13,从而可知选 C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心 O 为 顶点的各三棱锥体积的和为 V,所以 V=13S1r+13S2r+13S3r+13S4r,故 r=������1+������23+������������3+������4.
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答案:������������������-������ ·������������������-������ ·������������������-������ =1
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答案:C
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解题方法的类比问题
【例 3】 求 1 + 1 + √1 + …的值时,采用了如下的方法:令
解析:因为 b1b8=b2b7=b3b6=b4b5,所以8 ������1������2…������8 = 8 (������4������5)4 =
������4������5,故选 D.
答案:D
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再见
2019/11/23
答案:1∶8
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3.合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统 称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 做一做3 下列说法正确的是( ) A.合情推理的结论一定正确 B.合情推理的结论一定不正确 C.归纳推理和类比推理都属于合情推理 D.合情推理是一般到特殊的推理 答案:C
所以A1A⊥底面ABCD, 故平行六面体是直平行六面体.
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变式训练 1 设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为
S,内切圆半径为 r,则 r=������+2������������+������;类比这个结论可知:四面体 P-ABC 的 四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,四面体 P-ABC 的
=1,考察函数 f(x)=
3 5
������
+
4 5
������
可
知,f(2)=1,且函数 f(x)在 R 上单调递减,所以原方程有唯一解 x=2.类
比上述解法,可得到不等式 x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2 的解集
是
.
解析:将不等式化为x6+x2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显
=
������ ������
+
������������(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 解析:只有C选项中的类比是正确的,其余均错. 答案:C
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2.类比推理的一般步骤
(1)明确两类对象;
(2)找出两类对象之间的相似性或者一致性;
(3)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个