福建省永春县第一中学2017届高三下学期第2次校质检数学(文)试题

永春一中2017届高三年第2次校质检（文科）数学试卷（2017.05）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1．已知集合{}{}12,02A x x B x x =-<<=<<，则 ＝（ ）
A ．()1,0-
B ．(]1,0-
C ．()0,2
D ．[)0,2
2．某班级为了进行户外拓展游戏，组成红、蓝、黄3个小队．甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，则他们选到同一小队的概率为（ ）
A ．13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。

若918S =，则357a a a ++=（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．设向量a ＝（2，m ），b ＝（3，－1），若(2)a a b ⊥-，则实数m ＝（ ）
A ．2或－4
B ．2
C ．14-
或1
2
D ．－4 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人， 他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今 仍是比较先进的算法．右图的程序框图是针对某一多项式求值的 算法，如果输入的x 的值为2，则输出的v 的值为（ ）
A ．129
B ．144
C ．258
D ．289 6．函数()x x
f x e
=的图像大致为（ ）
7．已知双曲线的中心在原点O ，左焦点为F 1，圆O 过点F 1，且与双曲线的一个交点为P 。

若直线PF 1的斜率为
1
3
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y x =±
B ．3y x =±
C ．4y x =±
D ．2
y x =± 8．若x ，y 满足约束条件11
223
x y x y -≤-≤⎧⎨
≤+≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>在(,)62ππ上单调，且满足()()062
f f ππ
+=，则ω＝（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．右图是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图， 该几何体的顶点都在半径为R 的球面上，则R ＝（ ）
A ．1
B D 11．已知ln m a b b =+，ln n b b a =+，若0a b >>， 则m ，n 的大小关系是（ ）
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．大小不确定
12．已知椭圆E ：22
221x y a b +=（0a b >>）与过原点的直线交于A ，B 两点，右焦点为F ，
120AFB ∠=︒。

若△AFB 的面积为E 的焦距的取值范围是（
A ．[2,)+∞
B ．[4,)+∞
C ．)+∞
D ．)+∞
第II 卷（非选择题，必做部分，共90分）
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13．若复数i 1i z -=+，则z ＝ ．
14．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱和六个面的对角线共24条，其中与体对角线AC 1垂直的 有 条．
15．递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(21)2n n S a λλ+=+，
则实数λ的取值范围是 ．
16．设函数()()()()f x x a x b x c =---（其中1a >，1b >），0x =是()f x 的一个零点，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线平行于x 轴，则a b +的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在．．答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．。

17．（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，tan 2sin b A a B =． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若a = 24b c -=，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，2AD =， 60DAB ∠=︒． （Ⅰ）证明：AD PB ⊥； （Ⅱ）求三棱锥C —PAB 的高．
19．（本小题满分12分）
城市发展面临生活垃圾产生量逐年剧增的困扰，为了建设宜居城市，2017年1月，某市制定《生活垃圾分类和减量工作方案》，到2020年，生活垃圾无害化处理率达到100%。

图1是该市2011年—2016年生活垃圾年产生量（单位：万吨）的柱状图；表1是2016年年初与年末对该市四个社区各随机抽取1000人调查参与垃圾分类人数的统计表：
（Ⅰ）由图1可看出，该市年垃圾产生量y 与年份代码t 之间具有较强的线性相关关系，
B
P
C
D
A
运用最小二乘法可得回归直线方程14.8y t a =+，预测2020年该市生活垃圾的产生量； （Ⅱ）已知2016年该市生活垃圾无害化年处理量为120万吨，且全市参与度每提高一个百分点，都可使该市的生活垃圾无害化年处理量增加6万吨，用样本估计总体的思想解决以下问题：
（ⅰ）由表1的数据估计2016年该市参与度的年增加值。

假设2017年该市参与度的年增加值与2016年大致相同，预测2017年全市生活垃圾无害化处理量；
（ⅱ）在2017年的基础上，若2018年至2020年的参与度逐年增加5个百分点，则到2020年该市能否实现生活垃圾无害化处理率达到100%的目标？ 20．（本小题满分12分）
已知△ABC 的直角顶点A 在y 轴上，点(1,0)B ，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴． （Ⅰ）求点C 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ，以CE 为直径的圆交y 轴于点M ，N ，记圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x =，1
()g x x ax
=+（0x >）都在0x x =处取得最小值． （Ⅰ）求00()()f x g x -的值；
（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，()h x 的极值点之和落在区间(,1)k k +，k ∈N ，求k 的值．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2
219
x y +=．以坐标原点为极点，以x 轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （Ⅰ）写出1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数3
()2f x x x a a
=+
+-．
（Ⅰ）证明：()f x ≥
（Ⅱ）若0a >，且(2)5f <，求a 的值．
永春一中2017届高三年第2次校质检（文科）数学科答案（2017.05）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13
．6 15．1
(1,)2
-- 16．6 三、解答题：（第22、23题10分，其他每题12分，共70分）
17．本小题考查正弦定理、余弦定理、三角求值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．
【解析】（Ⅰ）因为tan 2sin b A a B =，所以sin tan 2sin sin B A A B =， ····· 2分
因为sin sin 0A B ≠，所以1
cos 2A =， ··················· 4分
因为()0,πA ∈，所以π3
A =
． ······················ 6分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-
，a =227b c bc =+-， ··· 8分 因为24c b =-，所以()()2
272424b b b b =+---，解得1b =，或3b =． ··· 9分 又因为222
c
b =+
>，所以3,2b c ==，
················· 10分
所以ABC
△
的面积
1
sin
2
S bc A
==················ 12分
18．本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．
【解析】（Ⅰ）取AD中点O，连结,
OP OB，···············1分因为PAD
△为等边三角形，所以PO AD
⊥．···············2分因为四边形ABCD为菱形，所以AB AD
=，
又因为60
DAB
∠=︒，所以ABD
△为等边三角形，
所以BO AD
⊥．
分因为OP OB O
=，所以AD⊥平面PBO，················5分因为PB⊂平面PBO，所以AD PB
⊥．·················6分（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD
=，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
所以PO为三棱锥P ABC
-的高．····················8分所以PO BO=
所以PB，
又因为2
AP AB
==，所以
1
2
PAB
S==
△
因为2,180120
AB BC ABC DAB
==∠=︒-∠=︒，
所以
1
22sin120
2
ABC
S=⨯⨯⨯︒
△
10分设三棱锥C PAB
-的高为h，
因为
C PAB P ABC
V V
--
=，所以
11
33
PAB ABC
S h S PO
⋅=⋅
△△
，
=，解得h=．················ 12分19．
B
22．本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思
想、化归与转化思想等．满分10分．
【解析】（Ⅰ）1C 的参数方程为3cos ,
sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）， ········· 3分
2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2
241x y +-=． ······· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2C 的图象是以2C ()0,4为圆心，1为半径的圆． ···· 6分 设()3cos ,sin P ϕϕ，则
2PC =
= ···················· 8分
当1
sin 2ϕ=-时，2PC ············· 9分
又因为21PQ PC +…，当且仅当2,,P Q C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．
所以max 1PQ =． ······················· 10分。