浙江省杭州市西湖区绿城育华2024届数学八年级第二学期期末质量检测模拟试题含解析

浙江省杭州市西湖区绿城育华2024届数学八年级第二学期期末质量检测模拟试题 请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列图形，是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知直线y ＝（k ﹣2）x +k 经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ≠2
B ．k ＞2
C ．0＜k ＜2
D ．0≤k ＜2
3．点(1,m)为直线21y x =-上一点,则OA 的长度为
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
4．若m ＞n ，则下列各式错误的是（ ）
A ．2m ＜2n
B ．－3m ＜－3n
C ．m ＋1＞n ＋1
D ．m －5＞n －5
5．如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是( )
A ．三角形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
6．如图，已知菱形ABCD 的周长为24，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC +BD ＝16，则该菱形的面积等于（
）
A ．6
B ．8
C ．14
D ．28
7．若关于x 的方程33x m x -=+的解为负数，则m 的取值范围是（ ）
A ．3m >-
B ．3m <-
C ．3m ≥-
D ．3m ≤-
8．分式方程12
1x x =+的解为（ ）．
A ．3x =
B ．2x =
C ．1x =
D ．1x =-
9．如图，七边形ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线交于点O ，若1∠、2∠、3∠、4∠对应的邻补角和等于225︒，则BOD ∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．40︒
C ．45︒
D ．50︒
10．已知第一象限内点(4,1)P a +到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．－5
D ．3或－5
11．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A ．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
B ．调查市场上某品牌电脑的使用寿命，采用普查的方式
C ．调查嘉陵江的水质情况，采用抽样调查的方式
D ．要了解全国初中学生的业余爱好，采用普查的方式
12．下列各点一定在函数y=3x-1的图象上的是( )
A ．(1，2)
B ．(2，1)
C ．(0，1)
D ．(1，0)
二、填空题（每题4分，共24分）
1381____．
14．一个弹簧不挂重物时长10cm ，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg 的物体后，弹簧伸长3cm ，则弹簧总长y(单位：cm)关于所挂重物x(单位：kg)的函数关系式为_____(不需要写出自变量取值范围)
15．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE .过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，连接BP .若1AE AP ==，5PB APD AEB ∆≅∆；②EB ED ⊥；③点B 到直线AE 2；④16APD APB S S ∆∆++=，其中正确的结论有_____________（填序号）
16．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=9，则EF的长为______．
17．甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：
22
====
x x S S
10.5,?10.5,?0.61,?0.50
，则成绩较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）．
甲乙甲乙
18．正比例函数y＝mx经过点P（m，9），y随x的增大而减小，则m＝__．
三、解答题（共78分）
19．（8分）为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为1y（元），节假日购票款为2y（元）．1y与2y之间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a=；b=；m=；
（2）直接写出1y，2y与x之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？
20．（8分）已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，AD＝AE．
（1）如果∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，那么∠EDC＝°．
（2）如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么∠BAD＝°，∠CDE＝°．
（3）设∠BAD＝α，∠CDE＝β猜想α，β之间的关系式，并说明理由．
21．（8分）某市现在有两种用电收费方法： 分时电表
普通电表 峰时（8:00～21:00）
谷时（21:00到次日8:00） 电价0.55元/千瓦·时 电价0.35元/千瓦·时 电价0.52元/千瓦·时
小明家所在的小区用的电表都换成了分时电表.
解决问题：
（1）小明家庭某月用电总量为a 千瓦·时（a 为常数）；谷时用电x 千瓦·时，峰时用电()a x -千瓦·时，分时计价时总价为1y 元，普通计价时总价为2y 元，求1y ，2y 与用电量的函数关系式.
（2）小明家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢？
（3）下表是路皓家最近两个月用电的收据：
谷时用电（千瓦·时）
峰时用电（千瓦·时） 181
239
根据上表，请问用分时电表是否合算？ 22．（10分）解不等式组：()3242113x x x x ⎧--⎪⎨+>-⎪⎩
，并将解集在数轴上表示出来，且写出它的整数解. 23．（10分）先化简()222a 2a 1a 1a 1a 2a 1
+-÷++--+，然后a 在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值． 24．（10分）某校为了解学生“体育课外活动”的锻炼效果，在期末结束时，随机从学校1200名学生中抽取了部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图，请根据统计图提供的信息，回答下列问题．
(1)这次抽样调查共抽取了多少名学生的体育测试成绩进行统计？
(2)随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的众数是多少？女生体育成绩的中位数是多少？
(3)若将不低于40分的成绩评为优秀，请估计这1200名学生中成绩为优秀的学生大约是多少？
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC上一点，且EC=AD，连接AC.
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB=5，EC=2，求AE的长，
26．如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M．
（1）直接写出AM=；
（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=x．
①AP=，AQ=；
②以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与△ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x 的取值范围．(直接写出，不需要写过程)
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解题分析】
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

【题目详解】
根据中心对称图形的概念，只有D为中心对称图形. A、B、C均为轴对称图形，但不是中心对称图形，故选D.
【题目点拨】
本题考查中心对称图形的概念.
2、C
【解题分析】
由一次函数经过的象限确定其图象的增减性，然后确定k的取值范围即可．
【题目详解】
∵一次函数y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、四象限，
∴k-2＜0且k＞0；
∴0＜k＜2，
故选C．
【题目点拨】
考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
3、C
【解题分析】
根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得OA的长．
【题目详解】
【∵点A（1，m）为直线y=2x-1上一点，
∴m=2×1-1，
解得，m=1，
∴点A的坐标为（1，1），
故OA==
故选：C．
【题目点拨】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和勾股定理解答．
4、A
【解题分析】
按照不等式的性质逐项排除即可完成解答。

【题目详解】
解：∵m＞n
∴2m＞2n ，故A错误；’－3m＜－3n则B正确；m＋1＞n＋1,即C正确；m－5＞n－5，即D正确；故答案为A; 【题目点拨】
本题考查了不等式的基本性质，即给不等式两边同加或减去一个整数，不等号方向不变；给不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变；给不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变；
5、B
【解题分析】
此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．
【题目详解】
由题意可得：四边形的四边形相等，故展开图一定是菱形．
故选B．
【题目点拨】
此题主要考查了剪纸问题，对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．
6、D
【解题分析】
AO BO的值，最后结合三角形的面积首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出·
公式即可求出答案．
【题目详解】
解：四边形ABCD是菱形，
AC BD
===，
∴⊥，AB BC CD DA
菱形ABCD的周长为24，
∴==，
AD AB
6
+=，
AC BD
16
∴+=，
8
AO BO
22264
∴++=，
AO BO AO BO
222 AO BO AB
+=，
·14
AO BO
∴=，
∴菱形的面积4
=⨯三角形AOD的面积
1
41428
2
=⨯⨯=，
故选D．
【题目点拨】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出·
AO BO的值．
7、B
【解题分析】
先把m当作已知条件求出x的值，再根据x的值是负数列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【题目详解】
解：∵1x-m=1+x，
∴x=
3 2
m+
，
∵关于x的方程1x-m=1+x的解是负数，
∴
3
2
m+
＜0，
解得m＜-1．
故选：B．
【题目点拨】
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
8、C
【解题分析】
试题分析：去分母得：x+1=2x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故选C.
考点：解分式方程．
9、C
【解题分析】
由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和，可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【题目详解】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为225°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+225°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=495°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-495°=45°，
故选：C．
【题目点拨】
本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
10、A
【解题分析】
根据平面直角坐标系内点的坐标的意义即可解答．
【题目详解】
P a+到两坐标轴的距离相等，
解：第一象限内点(4,1)
a
∴+=，
14
a=．
解得3
故选：A．
【题目点拨】
本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的符号及点的坐标的几何意义，注意横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
11、C
【解题分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【题目详解】
解：A、调查你所在班级同学的身高，应采用全面调查方式，故方法不合理，故此选项错误；
B、调查市场上某品牌电脑的使用寿命，采用普查的方式，方法不合理，故此选项错误；
C、查嘉陵江的水质情况，采用抽样调查的方式，方法合理，故此选项正确；
D、要了解全国初中学生的业余爱好，采用普查的方式，方法不合理，故此选项错误；
故选C．
【题目点拨】
本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般
来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
12、A
【解题分析】
分别把x=1、2、0代入直线解析式，计算出对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【题目详解】
解：A、当x=1时，y=2，故选项正确；
B、当x=2时，y=5≠1，故选项错误；
C、当x=0时，y=-1≠1，故选项错误；
D、当x=1时，y=2≠0，故选项错误；
故选：A．
【题目点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，将点的横坐标代入解析式求出函数值判断是否等于纵坐标是解决此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、±3
【解题分析】
，
±.
∴9的平方根是3
故答案为±3.
14、y=3x+1
【解题分析】
根据题意可知，弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系，可设y=kx+1．代入求解．
【题目详解】
弹簧总长y(单位：cm)关于所挂重物x(单位：kg)的函数关系式为y=3x+1，
故答案为y=3x+1
【题目点拨】
此题考查根据实际问题列一次函数关系式，解题关键在于列出方程
15、①②④
【解题分析】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等；
②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB ，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
③过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF ；
④连接BD ，求出△ABD 的面积，然后减去△BDP 的面积即可。

【题目详解】
解：
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD ，
又∵AE=AP ，AB=AD ，
∵在△APD 和△AEB 中，
AE AP EAB PAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△APD ≌△AEB （SAS ）；
故此选项成立；
②∵△APD ≌△AEB ，
∴∠APD=∠AEB ，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP ，∠APD=∠AEP+∠PAE ，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB ⊥ED ；
故此选项成立；
③过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，
∵AE=AP ，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又22523BE BP PE =-=-= 62BF EF ∴==
∴点B 到直线AE 的距离为
62
故此选项不正确；
④如图，连接BD ，
在Rt △AEP 中，
∵AE=AP=1，
2EP ∴=又5PB =3BE ∴=∵△APD ≌△AEB ，
3PD BE ∴==ABP ADP ABD BDP S
S S S ∴+=- = 12 S 正方形ABCD 11116(46)332222DP BE -⨯⨯=⨯+-=+故此选项正确．
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
16、1
【解题分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长
【题目详解】
解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF=1
2
AB=1.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=1
2
BC=4.5，
∴EF=DE-DF=1，
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17、乙．
【解题分析】
方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
【题目详解】
解：∵S甲2=1．61＞S乙2=1．51，∴成绩较稳定的是是乙．
【题目点拨】
本题考查方差的意义．方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
18、－1
【解题分析】
直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【题目详解】
解：把x=m，y=9代入y=mx中，
可得：m=±1，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m=-1，
故答案为-1．
【题目点拨】
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx （k ≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 值随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 值随x 的增大而减小．
三、解答题（共78分）
19、（1）6a =，8b =，10m =；（2）130y x =，250,01040100,10x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩
；（3）A 团有40人，B 团有10人 【解题分析】
（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a 的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b 的值，由图可求m 的值；
（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x ≤10与x>10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x 的函数关系式即可；
（3）设A 团有n 人，表示出B 团的人数为（50-n ），然后分0≤n ≤10与n>10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可．
【题目详解】
解：（1）在非节假日，人数为10人时，总票价为300，所以人均票价为300÷10=30，因为30÷50=0.6，所以打了6折，a =6.
在节假日，如图x=10时，票价开始发生变化，所以m =10，人数从10人增加到20人，总票价增加了400元，所以此时人均票价为400÷10=40，因为40÷50=0.8，所以打了八折，b=8.
故6a =，8b =，10m =，
（2）在非节假日，设11y k x =，将（10,300）代入，可得130010k =，解得k 1=30，故130y x =.
在节假日，当010x ≤≤时，250y x =，当10x ≥时，设22y k x b =+将（10,500），（20,900）代入，可得225001090020k b k b =+⎧⎨=+⎩
，解得240100
k b =⎧⎨=⎩，故240100y x =+ 所以250,01040100,10
x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩. （3）设A 团有n 人，B 团有(50)n -人，
则当010n ≤≤时，根据题意5030(50)1900n n +-=
解得：2010n =>，∴20n =不合要求.
当10n >时，根据题意4030(50)1900n n +-=
解得：4010n =>，∴5010n -=
∴A 团有40人，B 团有10人.
【题目点拨】
本题考查一次函数的应用，（1）结合图象，理解图象上的点代表的意义是解决本题的关键;(2)y 1为正比例函数，在图象上找一点代入一般式即可，y 2为分段函数，第一段为正比例函数，第二段为一次函数，找到相应的点代入一般式即可求出解析式；（3）设A 团有n 人，利用方程思想，列出表达式求解即可.
20、（1）5（2）20，10（3）α＝2β，理由见解析.
【解题分析】
（1）先求出∠BAC=40°，再利用等腰三角形的性质求出∠B ，∠ADE ，根据三角形外角的性质求出∠ADC ，减去∠ADE ，即可得出结论；
（2）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE ，进而求出∠BAD ，即可得出结论；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形外角和定理即可得出结论．
【题目详解】
（1）∵∠BAD ＝10°，∠DAE ＝30°，
∴∠BAC ＝∠BAD+∠DAE ＝40°，
∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ＝12
（180°﹣∠BAC ）＝70°． ∵AD ＝AE ，∠DAE ＝30°， ∴∠ADE ＝∠AED ＝
12（180°﹣∠DAE ）＝75°． ∵∠B ＝70°，∠BAD ＝10°，
∴∠ADC ＝∠B+∠BAD ＝80°，
∴∠EDC ＝∠ADC ﹣∠ADE ＝5°．
故答案为5；
（2）∵AB ＝AC ，∠ABC ＝60°，
∴∠BAC ＝60°，
∵AD ＝AE ，∠ADE ＝70°，
∴∠DAE ＝180°﹣2∠ADE ＝40°，
∴∠BAD ＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC ＝∠BAD+∠ABD ＝60°+20°＝80°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为20，10；
（3）猜想：α＝2β．理由如下：
设∠B＝x，∠AED＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠C＝∠B＝x，∠ADE＝∠AED＝y．
∵∠AED＝∠CDE+∠C，
∴y＝β+x，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β．
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和为180°的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
21、（1）y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；（2）当x＞3
20
a时，使用分时电表比普通电表合算；当x=
3
20
a时，两种电
表费用相同；当x＜3
20
a时，使用普通电表比普通电表合算；（3）用分时电表更合算.
【解题分析】
（1）根据题意解答即可；
（2）根据题意列不等式解答即可；
（3）根据（1）的结论解答即可．
【题目详解】
解：（1）根据题意得：y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；（2）小明家庭使用分时电表不一定比普通电表合算．
当y1＜y2，即0.35x+0.55（a-x）＜0.52a，解得x＞3
20
a，
即x＞3
20
a时，使用分时电表比普通电表合算；
当y1=y2，即0.35x+0.55（a-x）=0.52a，解得x=3
20
a，
即x=320a 时，两种电表费用相同； 当y 1＞y 2，即0.35x+0.55（a-x ）＞0.52a ，解得x ＜
320a ， 即x ＜320
a 时，使用普通电表比普通电表合算； （3）用分时电表的费用为：0.35×181+0.55×239=194.8（元）；
使用普通电表的费用为：0.52×（181+239）=218.4（元）．
所以用分时电表更合算．
【题目点拨】
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
22、不等式组的解集为14x <；整数解为123、、.
【解题分析】
分别求出每一个不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来，继而可得不等式组的解集．
【题目详解】
解：解不等式()324x x --得：1x ≥，
解不等式2113
x x +>-得：4x <， 解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为14x <；
∴整数解为123、、.
【题目点拨】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23、5
【解题分析】
解：原式=()()()()
22a 1a 1a 112a 1a 3a 1a 1a 1a 1a 1a 1++-++⋅+=+=-+----． 取a=2，原式23521
+==-． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a 的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可．
24、 (1)100名；(2)男生体育成绩的众数40分；女生体育成绩的中位数是40分；(3)756名.
【解题分析】
(1)将条形图中各分数的人数相加即可得；
(2)根据众数和中位数的定义求解可得；
(3)总人数乘以样本中优秀人数所占比例可得．
【题目详解】
解：(1)抽取的学生总人数为5+7+10+15+15+12+13+10+8+5＝100(名)；
(2)由条形图知随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的众数40分，
∵女生总人数为7+15+12+10+5＝49，其中位数为第25个数据，
∴女生体育成绩的中位数是40分；
(3)估计这1200名学生中成绩为优秀的学生大约是1200×
1512131085100
+++++＝756(名)． 【题目点拨】
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．
25、（1）证明见详解；（2）4
【解题分析】
（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D=90°，从而判定矩形；
（2）求得BE 的长，在直角三角形ABE 中利用勾股定理求得AE 的长即可．
【题目详解】
解：（1）证明：∵AD ∥BC ，EC=AD ，
∴四边形AECD 是平行四边形．
又∵∠D=90°，
∴四边形AECD 是矩形．
（2）∵AC 平分∠DAB ．
∴∠BAC=∠DAC ．
∵AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠BAC=∠ACB．
∴BA=BC=1．
∵EC=2，
∴BE=2．
∴在Rt△ABE中，AE=．
【题目点拨】
本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．
26、（1）22；（2）①2x，x；②S222
x x
=-+(0＜x≤22)．
【解题分析】
（1）根据勾股定理可得AC=42，进而根据正方形对角线相等而且互相平分，可得AM的长；
（2）由中点定义可得AP=2PQ，AQ=PQ，然后由正方形与△ABD公共部分可得是以QM为高的等腰直角三角形，据此即可解答．
【题目详解】
解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴对角线AC2
2AB
==42，
又∴AM
1
2
AC
==22．
故答案为：22．
（2）①Q是AP的中点，设PQ=x，∴AP=2PQ=2x，AQ=x．
故答案为：2x；x．
②如图：
∵以PQ为对角线作正方形，
∴∠GQM=∠FQM=45°
∵正方形ABCD对角线AC、BD交于点M，∴∠FMQ=∠GMQ=90°，
∴△FMQ和△GMQ均为等腰直角三角形，∴FM=QM=MG．
∵QM=AM﹣
x，
∴S
1
2
=FG•
QM()
1
2
2
x x
=⋅，
∴
S2x
=-+，
∵依题意得：
x
x
⎧⎪
⎨
⎪⎩
＞
＞
，
∴0＜x≤
综上所述：
S2x
=-+(0＜x≤
)，
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解答本题要充分利用等腰直角三角形性质解答．。