目前流行的几种排课算法的介绍

2 目前流行的几种排课算法的介绍
2．1. 自动排课算法
1 .问题的描述
我们讨论的自动排课问题的简化描述如下:
设要安排的课程为{ C1 , C2 , ., Cn} ,课程总数为n , 而各门课程每周安排次数(每次为连续的2 学时> 为{ N1 , N2 , ., Nn} 。

每周教案日共5 天,即星期一～星期五。

每个教案日最多安排4 次课程教案,即1 ～ 2 节、3 ～ 4 节、5 ～ 6 节和7 ～ 8 节(以下分别称第1 、2 、
3 、
4 时间段> . 在这种假设下,显然每周的教案总时间段数为
5 ×4 = 20 ,并存在以下约束关系:b5E2RGbCAP
n ≤20 , (1>
N = 6n， i =1， Ni ≤20. (2>
自动排课问题是:设计适当的数据结构和算法, 以确定{ C1 , C2 , ., Cn } 中每个课程的教案应占据的时间段,并且保证任何一个时间段仅由一门课程占据.p1EanqFDPw
2 .主要数据结构
对于每一门课程,分配2 个字节的“时间段分配字”(无符号整数> :{ T1 , T2 , ., Tn} . 其中任何一个时间段分配字(假设为Ti > 都具有如下格式:DXDiTa9E3d
Ti 的数据类型C 语言格式定义为:unsigned int . Ti 的最高位是该课程目前是否是有效的标志,0 表示有效,1 表示无效(如停课等> 。

其它各位称为课程分配位, 每个课程分配位占连续的3 个位(bit> ,表示某教案日(星期一～星期五> 安排该课程的时间段的值,0 表示当日未安排,1 ～ 4 表示所安排的相应的时间段(超过4 的值无效> .RTCrpUDGiT
在这种设计下, 有效的时间段分配字的值应小于32 768 (十六进制8000> , 而大于等于32
768 的时间段分配字对应于那些当前无效的课程(既使课程分配位已设置好也如此> , 因此很容易实现停课/ 开课处理.5PCzVD7HxA
3 .排课算法
在上述假设下,自动排课算法的目标就是确定{ C1 , C2 , ., Cn} 所对应的{ T1 , T2 , .,
Tn} .jLBHrnAILg
从安排的可能性上看,共有20 !/ (20 - N> !种排法( N 的含义见(2> 式> . 如果有4 门课,每门课一周上2 次,则N = 8 ,这8 次课可能的安排方法就会有20 !/ (20 - 8> ! = 5 079 110 400 ,即50 多亿种. 如果毫无原则地在其中选择一种方案,将会耗费巨大量的时间. 所以排课的前提是必须有一个确定的排课原则. 我们采用轮转分配法作为排课原则:从星期一第1 时间段开始按{ C1 , C2 , ., Cn} 中所列顺序安排完各门课程之后(每门课安排1 次> ,再按该顺序继续向后面的时间段进行安排,直到所有课程的开课次数符合{ N1 , N2 , ., Nn} 中给定的值为止. 在算法描述中将用{ C[1 ] , C[2 ] , ., C[ n ]} 表示{ C1 , C2 , ., Cn} , 对{ N1 , N2 , .,
Nn}xHAQX74J0X
和{ T1 , T2 , ., Tn} 也采用同样的表示法.
算法1 排课算法
输入{ C1 , C2 , ., Cn} 、{ N1 , N2 , ., Nn} .
输出{ T1 , T2 , ., Tn} .
①初始化:
星期值week = 1
时间段值segment = 1
{ T [1 ] , T [2 ] , ., T [ n ]} 中各时间段分配字清零
②新一轮扫描课程:
置继续处理标志flag = 0
对课程索引值c-index = 1 ,2 , ., n 进行以下操作:
如果N[c-index ] > 0 ,则做以下操作:
把segment 的值写入T[c-index ]的第(week - 1> 3 3～week 3 3 - 1 位中N[c-index ]的值减1LDAYtRyKfE
如果N[c-index ] > 0 ,则置flag = 1
如果week = 5 并且segment = 4
则:置flag = 1 并转③
否则:如果segment = 4
则:置segment = 1 且week 增1
否则:segment 增1
检测是否已全部安排完毕:
如果flag = 1
则:转②
否则:转③
③检测是否成功:
如果flag = 1
则:开课次数过多
否则:课程安排成功
④算法结束
显然,本算法的时间复杂度为O ( N> ( N 为每周总开课次数, 见(2> 式> , 而存储时间段分配字所用空间为2 n 个字节( n 为课程门数> .Zzz6ZB2Ltk
4 .冲突检测算法
有时在自动排课完毕后,需要人工调整某些课程的安排时间,如把第i 门课程在人工干预下改成星期数为week 、时间段为segment 的位置,则根据上述数据结构需做如下运
算:dvzfvkwMI1
T [ i ] = T [ i ] &(～ (7 << (week - 1> * 3> > + (segment << (week -
1>*3> ,rqyn14ZNXI
其中&、～和n 分别为按位与、按位取反和按位左移运算符(下同> .
问题是如何判断是否已有其它课程安排在同一个时间段上. 设人工调整的时间段分配
字为T[1 ] ,则该问题描述为:判断时间段分配字T [1 ] 与{ T[2 ] , T [3 ] , ., T [ n ]} 中的某个分配字是否存在相同课程分配位上的相等的非零时间段值, 或者说{ T [2 ] , T [3 ] , .,T[ n ]} 中是否存在与T [1 ] 冲突的时间段分配字. 为简化起见,在以下算法描述中假设所有时间段分配字的最高位为0.EmxvxOtOco
算法2 冲突检测算法
输入T1 和{ T2 , ., Tn} .
输出与T1 冲突的{ T2 , ., Tn} 中的时间段分配字.
①对c-index = 2 ,3 , ., n 做以下操作:
初始化屏蔽字mask = 7
对星期值week = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 做以下操作:
如果T[1] & mask 等于T[c-index] & mask ,而且二者不等于0
则: T[ 1 ]与T[c-index ]相冲突,转①
mask 左移3 位(或乘8>
②算法结束
本算法时间复杂度为O ( n> ( n 为课程门数>
5.算法分析
此算法以课程为中心，进行搜索匹配，取最先匹配的值；具有占有空间少，运算速度快的特点。

但其未对数据进行择优选取，所以不能对教案资源<教师、教室）合理分配，也不能满足一些特殊要求<比如有些老师喜欢上午上课，有些老师偏向于集中式上课；有些课程安排到上午会更合适些，有些课程不能安排到上午等）。

SixE2yXPq5
2．2 基于优先级的排课算法
从数学上讲, 排课问题是一个在时间、教师、学生和教室四维空间, 以教案计划和各种特殊要求为约束条件的组合规划问题。

其实质就是解决各因素之间的冲突。

在设计算法时, 为了降低课程调度的算法复杂性, 我们主要采用了化整为零的思想及优先级算法:6ewMyirQFL 1．排课的预处理
1．等价类的划分
将具有共同听课对象的任务划分在同一等价类中, 在每个等价类之间只存在地点上的冲突, 而没有时间上的冲突。

然后按照的大小, 从大到小进行处理。

等价类的划分可以先按年级分, 然后再按系别分, 如下所示:kavU42VRUs
听课对象等价类的划分
自控系机械系化工系管理系.
99 级N 1 子类1 子类2 子类3 子类4 .
98 级N 2 子类5 子类6 子类7 子类8 .
97 级N 3 子类9 子类10 子类11 子类12 .
96 级N 4 子类13 子类14 子类15 子类16 .
这样, 先按年级分为四个类: 99 级(N 1> , 98 级(N 2> , 97 级(N 3> , 96 级(N 4> , 而对每一个等价类N 1、N 2、N 3、N 4 又可以按院系分为若干个子类, 然后对每个子类分别进行排课处理, 这样做就可以大大降低算法的复杂性y6v3ALoS89
2．教室分类
为了合理使用教室, 我们采用了教室分类的办法, 以便尽可能在课程编排过程中避免上课人数少的课程盲目强占容量大的教室现象。

M2ub6vSTnP
首先将教室按照其类型分为若干个等价类, 如下所示,然后, 根据教室的容量再分别对每个教室等价类进行划分: 如分为0～ 30 人、30～ 60 人、60～90 人、90～ 120 人、120～ 180 人等若干种0YujCfmUCw
教室等价类的划分:
教室类型等价类R 教室类型等价类R
普通教室R1 听力教授R5
投影教室R2 物理实验室R6
多媒体教室R3 化学实验教室R7
制图教室R4 计算机实验教案R8
3.时间预处理
1> 构造时间模式库
时间模式是根据教务人员的经验, 为各种周学时数不同的课程指定的一种时间组合方式.例如, 一门课程的周学时数为4, 那么它的时间组合方式可以有:“11”,“41”。

表示该课程一周上两次, 分别为周一的12 节和周四的12 节L同时, 为了达到较好的上课效果, 也要对这些时间模式进行分级.如下所示eUts8ZQVRd
时间模式分级举例
周学时优先级周一周二周三周四周五
4 1 11 41
∶∶
4 2 22 43
: :
其中, 将周一至周五用数字1～ 5 表示, 上课节次: 12 节、34 节、56 节、78 节、晚12 节、晚34 节分别用数字1～ 6 表示。

例如数字“42”表示周四的34 节sQsAEJkW5T
这个时间单元。

这样, 对于每种周学时数, 可以将所有合理的时间组合形式存入模式库中。

以便进行时间处理时可以用时间模式库中的各种模式进行匹配。

GMsIasNXkA
2> 时间数组
为了表示班级、教师、教室的可排课时间, 分别为他们建立一维数组L例如, 某位教师的初始可排课时间数组为(123456 123456 123456 123456 123456>。

其中共有五组数据, 分别表示一周中的五天。

而一组数据共有6 个字符“1、2、3、4、5、6”分别表示一天中的六个时间单元。

当为某位教师分配时间后, 相应的那位字符就置为0L 例如, 某位教师的可排课时间数组为( 020456 103456 003456 120456 023456> , 则表示这位教师在周
一的12 节和56 节, 周二的34 节, 周三的12 节和34 节, 周四的56 节, 周五的12 节已经安排了课程, 如果要再安排课程的话, 就应该安排在非0 的时间单元L对于班级和教室也可以进行同样的处理, 分别标出可排课时间。

TIrRGchYzg
2．每一子类的排课处理
在对每个子类的排课处理中, 我们结合了分治法、贪婪法、回溯法三者的思想L首先, 根据分治法的思想把整个排课过程分成时间分配和教室分配两个阶段。

然后, 依据贪婪法的算法思想, 在时间分配时,总是在尚未分配的时间单元中选择上课效果最好的7EqZcWLZNX
单元。

而在时间分配发生死锁时, 会向上回溯搜索到发生冲突的最近一个记录, 然后对它进行重排以解决冲突。

具体处理过程如下:lzq7IGf02E
1．设定优先级
对子类中的课程计算优先级L设优先级函数为:
D (g > = J (g >*C1 + T (g > * C2 + P (g > * C3 ( 1 >zvpgeqJ1hk
其中, J (g > 表示课程级别, 选修课的课程级别设置为1, 必修课的课程级别设置为2。

T (g > 表示该课程的周学时数。

P (g > 表示该课程的参与人数。

C1、C2、NrpoJac3v1
C3 是可以调整的参数。

由式(1> 可以看出课程级别越高、周学时越多、参加人数越多的课程, 其D (g >值越大, 其优先级也越高。

反之, D (g > 值越小, 其优先级越低。

这样, 就可以根据计算的优先级的高低对课程进行排序, 优先级高的优先调度。

1nowfTG4KI
2．查询可用时间单元
第1 步, 初始化某门课程的最大可安排时间数组, 为( 123456 123456 123456
123456 123456>。

第2 步, 找出参加该课程学习的所有班级。

第3 步, 查询每个班级的时间数组, 得到班级的已排课时间, 并将其与课程的最大时间数组相“与”, 从而得到该课程不
能安排的时间单元。

第4 步, 依次处理教师时间数组和相关教室时间数组, 这样, 该课程最终的可安排时间数组就是班级、教师、教室可排课时fjnFLDa5Zo
间的交集。

3．查找适当的时间模式
找到可排课时间后, 就应根据课程的周学时数在时间模式库中匹配适当的时间模式。

完成以上工作后, 就确定了课程的上课时间和地点。

如果在处理中发生死锁, 则可根据回溯法的思想向上回溯搜索到发生冲突的最近一个记录, 然后对它进行重排以解决死锁, 如果仍不能解决死锁问题, 则可以将该课程信息输出到冲突列表中。

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3．人工干预的处理
计算机自动排课也需要进行人工干预, 以便可以使得各个高校能够根据自己的具体要求对排课算法中的一些参数进行设置和调整, 并对计算机排出的课表进行调整L本算法所设计的人工干预过程有:HbmVN777sL
等价类划分中参数的设置, 教室类型的设置, 时间模式库的设置, 优先级函数中参数的设置。

用户可以根据自己的具体要求对这些参数和库进行设置。

另外,对于计算机排出的课程表, 用户也可以通过人机交互进行适当调整, 从而得到用户满意的课程表。

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4．性能分析
此算法对班级及教室划分等价类，对学校资源进行了合理的利用。

但对一些特殊要求还是无法具体体现出来。

3 基于时间片优先级排课算法描述与分析
排课问题实质上是时间、教师、班级、教室、课程这五维关系的冲突问题，要合理的解决这个问题首先要了解排课中的一些基本原则以及排课的一些基本要求。

83lcPA59W9
3．1排课中的基本原则
在课程的编排中应遵循一定的规则, 只有按照基本规则来进行课程的编排才能够减少冲突的发生, 这些基本规则主要有以下几条:mZkklkzaaP
1> 同一班级的学生在同一时间(某些特定的选修课时间除外> 不能安排两门课程
2> 同一教师在同一时间不能安排两门课程
3> 同一教室在同一时间不能安排两门课程
4> 同一时间安排的课程总数不能大于所能提供的教室总数
5> 某一课程参加学习的总人数不应大于所安排教室的座位数
6> 所提供教室的属性与课程所需教室的属性一致
在时间、教师、班级、教室、课程这五维关系中, 时间、教师、班级三者之间存在着紧密关系。

相对而言, 教室与它们关系就不那么密切。

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3．2排课的基本要求
课程的安排不是任意的, 为了达到最好的教案效果应遵循一定的要求。

这些要求主要有:
1> 要尽量为所排课程安排上该类课效果最好的时间
2> 课程在一周上多次时, 要有一定的间隔性
3> 公共课等涉及面广、学时多的课程应优先处理
4> 对同一教师, 同一上课对象应尽量选择相对固定的几个教室
5> 对同一个班级的课程应选择相对固定的教室
6> 连着的课的教室选择不应相隔太远
7）同一天有几门课时尽量把课分散
8> 优先满足一些特殊要求<比如有些教室喜欢上上午的课，可以优先满足）
3．3基于时间片优先级排课算法描述
在描述算法之前我们把一些概念先讲清楚。

在这里我们把从行政角度分的班叫自然班，把在同一个教室上课的班叫做排课班。

在大学里有些公共课是几个排课班通过多媒体来一起上的，我们把这个排课班的总和叫做公共班。

班级、教室、教师、课程都维护着自己的一张课表。

对课表的每个表元<如星期一的第一节课）在这里称做时间片。

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基于时间片优先级排课算法以排课班为单位，围绕着各对像(自然班、教室、教室>的时间表选择合适的时间片。

<!--[if !supportLists]-->1．<!--[endif]-->算法流程图
<!--[if !vml]--><!--[endif]-->
<!--[if !supportLists]-->2．<!--[endif]-->算法的伪代码描述
输入：教师<teacher1,teacher2,…………….teachern）
教室<room1,room2,…………………roomn）
班级<class1,class2,………………….classn）
课程<course1,course2,………………coursen）
各教师、教室、班级、课程时间片的优先级
排课班(schudel_class1,schudel_class2………schudel_classn>2MiJTy0dTT
输出：已经排好课表的教师、教室、班级
Procedure schudeling(teacher,room,class,course,schudel_class,public_class>gIiSpiue7A
//初始化一张空的时间表，对该时间表的每个时间片的优//先级初始化为高级
Init Time_table
//对排课班进行处理
For every schudel_class do:
If(!Check_Have_despose(schudel_class>> //假如该排课班尚未排课uEh0U1Yfmh Begin:
Time_table=Time_table & get_all_class_time_table(schudel_class>IAg9qLsgBX Time_table=Time_table & get_room(schudel_class>。

Time_table=Time_table & get_teacher(schudel_class>。

WwghWvVhPE
Course=get_course(schudel_class>。

//假设只有两节连堂及三节连堂那种课
Int iCount2=0。

//那门课两节连堂的次数
Int iCount3=0。

//那门课三节连堂的次数
//得到课程每周的课时数
Int course_count=get_couse_count(Course>。

//得到每周的连课情况
Parse_couse_count(course_count,&iCount2,&iCount3>。

//根据iCount2,iCount3,以及Time_table为该排课班选择N个
//(N=iCount2+iCount3>适当的时间片,保存在CPoint变量中
CPoint po。

LList<CPoint>* cp
Int priority[7]=0。

//得到每天的优先级的总和
Loop:I=0 until I=6 do:
Loop: J=0 until J=6 do:
Begin:
Priority[I] =Priority[I]+ Time_table.time_piece[I][j]asfpsfpi4k End Begin
//得到优先级总和最大的那天，我们认为那一时间最闲
//适宜安排课程
int number=get_number(priority[7]>。

BOOL fail
While iCount2>0 do:
Begin:
fail=Get_Time_Pieces(2,&number,po>。

if(!fail> then do
begin:
iCount2--。

cp->append_list(po>。

end begin
else
break。

End Begin
While iCount3>0 do:
Begin:
fail=Get_Time_Pieces(3,&number,po>。

if(!fail> then do:
begin:
ICount3--。

Cp->append_list(po>。

End begin
Else
Break。

End Begin
//根据*cp的数据及schudel_class的数据对schudel_class中的自然班，所得到的教室，ooeyYZTjj1
// 老师的课表进行回写
if(!fail> do
WriteBack(schudel_class,cp>。

Else then
RollBack(schudel_class,cp>。

//把先前选好的教室，老师给”擦除”掉
End Begin
End Schudeling
算法里面有到的一些函数解释：
BOOL check_for_dispose(schudel_class>:以排课班为参数，判断该排课班是否已经排好课，排好了返回treu，否则返回false BkeGuInkxI
‘&’操作:该操作是对两个课表的运算，返回一个新课表；得到的课表的时间片为所运算的课表对应时间片的较小值PgdO0sRlMo
CTime_table& get_all_class_time(schudel_class>:以排课班为参数，得到该排课班所有自然班课表的&，返回得到的新课表3cdXwckm15
CTime_table& get_room(schudel_class>:以排课班为参数，为该排课分配所有合适的教室，并把所得到的教室的课表求&，返回新课表h8c52WOngM
CTime_table& get_teacher(schudel_class>:以排课班为参数，为该排课班选择一合适的教师，并返回该教师的课表v4bdyGious
Ccourse get_course(schudel_class>:以排课班为参数，得到该排课班的课程，并返回之J0bm4qMpJ9
Int get_course_count(Ccourse>:以课程为参数，得到该课程每周所需上的课时数，并返回之XVauA9grYP
Parse_course_count(int&,int&,int&>:分析get_course_count所返回的数值，把该数值以2节连堂和3节连堂分开(在这里假设只有2节连堂和3节连堂两种情况>bR9C6TJscw
Int GetNumber(int*>:传进一整型数组，得到该整型数组中的最大值的下标，并返回之
WriteBack(schudel_class,Llist<CPoint>*>:根据Llist<CPoint>* 中的时间片值，更新public_class中的教师，班级，教室的时间表信息pN9LBDdtrd
RollBack(schudel_class,Llist<CPoint>*>:擦除前面步骤在排课班、教师、班级、教室中写下的数据DJ8T7nHuGT
计算机排课是个复杂的过程，在数据量大，约束条件多的条件下，通过人工干涉达到合理排课是非常重要的。

人工干涉包括在排课前的一些数据输入工作，人工进行些预排课，排完课后对课表进行适当的调课。

QF81D7bvUA
3．4算法分析
此算法属于贪心算法。

每次对教师、教室资源的选取都是取当前最优的数据。

此算法对按照教师、教室、班级的优先级取最优值，所以对各对象的一些特殊要求会很明显的体现出来，在教师、教室资源不紧缺的情况下，此算法能排出相对合理的课程。

相对于上一章介绍的两个算法，在处理各种特殊要求的能力上有明显的优势。

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