江苏省2018-2019学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)数学(解析板)

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A ∩B = ．答案：{}=0A B ⋂。

2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i )2 的虚部为 ．答案：2312()4i i =---，即虚部为-4。

3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 ．答案：()1,0。

4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 ． 答案：12解析：232412C C =。

5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 ．答案：406、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 ．答案：2-7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=， 则实数a = ．答案：2log 3 解析：222133(1)1log 1log log 3222f a a a -=⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ． 答案：700127解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为76127002270012127x x x x x -+++==⇒=-。

9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ． 答案：2π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，圆柱的侧面积为224222r h rh πππ+≤=。

10、设定义在区间 (0，2π)上的函数 y =x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P ， 则点 P 到x 轴的距离为 ．答案：3解析：()23 223122cos x sin x =+=-+()22312265=0sin x sin x sinx =-+⇒-⇒=3p p y x ==11、在△ABC 中 ， 角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a = 8b ，A = 2B ， 则sin （A -4π）＝ ．答案：50解析：345825sin 8sin 2sin ,cos ,5564a b A B A B A B B B B ππ==⇒==⇒==∴<<，，)247sinA ,cosA ,sin sinA cosA 25254250A π==∴--=（）=。

12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A ，B ，圆 O : x 2 + y 2 =1上存在 点 C ， 使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点）， 则实数 a 的取值范围为 ．答案：[ 解析：根据题意得，圆 O : x 2 y 2 1上存在点C ，使得点C 到直线l 的距离为1，那么圆心O 到直线l的距离为不大于22≤，于是[。

13、在△ABC 中， 已知 AB = 2， AC = 1，∠BAC = 90º， D ，E 分别为 BC ，AD 的中点， 过点 E 的直线交 AB 于点 P ，交 AC 于点 Q ， 则BQ CP ⋅u u u r u u r的最大值为 ．答案：94-解析：以AC 为x 轴，AB 为y 轴，建立直角坐标系，那么B(0,2),C(1,0),并且E 点的坐标为11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PQ 的方程为11()42y k x =-+，所以有11120,,,0624423k P Q k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≤≤- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1112515921,64224342244k k BQ CP k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-----≤≤-=-++≤--=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，uu u r uu r14、已知函数 f (x ) =2||x x a +-， g (x ) = (2a -1)x + a ln x ， 若函数 y = f (x ) 与函数y = g (x ) 的图像恰好有两个不同的交点， 则实数 a 的取值范围为 ．答案：()1,+∞解析：很显然，0a <，()()()h x f x g x -=单调递增，至多有一个零点，不符合题意。

0a >时，令()22()()||(1ln )x x h x f x g x a x a a x -+--==--2222ln ,2l )n (,x x a x a a x x aax a a x x a-⎧---≥⎪=⎨--<-⎪⎩ ，可以求得0a >时，()01h a a <∴>，二、 解答题： 共 6 小题， 共 90 分、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（ 本小题满分 14 分）如图，三棱锥 D - ABC 中，已知 AC ⊥ BC ， AC ⊥ DC ， BC = DC ， E ，F 分别为BD ，CD 的中点， 求证：（1） EF // 平面 ABC ; （2） BD ⊥平面 ACE .解：（1）三棱锥D ABC -中，∵E 为DC 的中点，F 为DB 的中点，∴EF BC ∥， …………………………3分 ∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ． ……………………………………………………………6分 （2）∵AC BC ⊥，AC DC ⊥，BCDC C =，∴AC ⊥平面BCD ， …………………………………………………………………8分 ∵BD ⊂平面BCD ，∴AC BD ⊥， ………………………………………………10分 ∵,DC BC E =为BD 的中点，∴CE BD ⊥， ……………………………………12分 ∵ACCE C =，∴BD ⊥平面ACE ． …………………………………………14分16．（ 本小题满分 14 分）已知向量 a = (2cos α，2sin α )，b = (cos α - sin α，cos α + sin α ). （1） 求向量a 与b 的夹角； （2） 若(λb - a ) ⊥ a ，求实数 λ的值.解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，b ………………………4分所以cos θ⋅=⋅a b a b22== …………………………………………………………7分考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角4π． ………………………………………9分 （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ， ………………………12分因为2⋅=b a ，24=a ，所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分17．（ 本小题满分 14 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB ，余下的外围是抛 物线的一段弧， 直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（ 如图） . 拟在这个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A ， B ，C ， D 均在该抛物线上. 经测量， 直路 AB 长为 40 米， 抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米， 到直路AB 的距离为 n 米.（1） 求出 n 关于 m 的函数关系式；（2） 当m 为多大时， 等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？ 并求出其最大值.解：（1）以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系， …………………………………………………1分 则(20,0)A -，(20,0)B ，(0,40)P ， …………………………………………………2分∵曲线段APB 为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为(20)(20)y a x x =-+，将点(0,40)P 代入得：40400a =-，解得110a =-， ………………………………4分 ∴抛物线的解析式为21(400)10y x =-， …………………………………………5分 ∵点C 在抛物线上，∴21(400)10n m =-，00m <<2． ………………………6分（2）设等腰梯形ABCD 的面积为S ，则211(240)(400)210S m m =⨯+⨯-， ………………………………………………8分321(204008000)10S m m m =--++， ………………………………………………9分 ∵211(340400)(320)(20)1010S m m m m '=--+=--+， ………………………10分令0S '=，得20m =， …………………………………………………………11分…………………………………………………13分 ∴当203m =时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为2560027平方米． …………14分18．（ 本小题满分 16 分）已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>> （1） 求椭圆 E 的标准方程；（2） 已知 P (t ，0) 为椭圆 E 外一动点， 过点 P 分别作直线 l 1和 l 2 ， l 1和 l 2 分别交椭圆 E 于点 A ，B 和点C ，D ， 且 l 1和 l 2 的斜率分别为定值k 1 和k 2， 求证：PA PBPC PD为定值.解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，2c a=，则23a c c -=，222c a b =-， ………………………………………3分 解得2a =，1b =，c =， …………………………………………………………5分∴椭圆E 的标准方程是2214x y +=． ………………………………………………6分(2)由题意，设直线1l 的方程为1()y k x t =-，代入椭圆E 的方程中，并化简得，22222111(14)8440k x k t xk t +-+-=， …………………………………………………8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．则211221814k t x x k +=+，22112214414k t x x k -=+，因为P A1t -，PB2t -，……………………………………10分 所以PA PB ⋅=2112(1)k x t x t +--2211212(1)()k t x x t x x =+-++2222221112211844(1)1414k t k t k t k k -=+-+++221211|4|14k t k +-=+（）， ……………………………12分同理，PC ⋅ PD =222221|4|14k t k +-+（）， …………………………………………………14分 所以PA PB PC PD ⋅⋅=22122221(114114k k k k ++++)()()()为定值． ………………………………………16分19．（ 本小题满分 16 分）已知函数 f (x ) = (x +1)ln x + ax (a ∈ R ).（1） 若 y = f (x ) 在(1，f (1)) 处的切线方程为 x + y + b = 0 ， 求实数 a ，b 的值； （2） 设函数 g (x ) ＝()f x x， x ∈ [1，e ]（ 中 e 为自然对数的底数） . ①当 a =- 1时， 求 g (x ) 的最大值； ②若h (x ) =()g x x是单调递减函数， 求实数 a 的取值范围. 解：（1）1()ln x f x x a x+'=++，(1)21f a '=+=-，3a =-， ………………………1分 (1)3f a ==-，(1,3)-代入0x y b ++=解得2b =． ……………………………2分 （2）①∵1()(1)ln 1g x x x=+-，则222ln 1ln 1()x x x x g x x x x+-+'=-+=． …………3分 令()ln 1x x x ϕ=-+，则1()10x xϕ'=-≥，()x ϕ在[]1,e 单调递增， …………………………………5分()(1)0x ϕϕ>≥， ………………………………………………………………6分∴()0g x '>，()g x 在[]1,e 单调递增，∴()g x 的最大值为1(e)eg =． …………8分 ②同理，单调递增函数()()f x g x x =1,1e a a ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦， ……………………………9分则11()(1)ln ex h x x a x =++⋅．1若0a ≥，()0g x ≥，1(1)ln ()e xx ax h x ++=，22111ln (1)ln ()e x x x x ax x x h x +-+-+-'=222(1)ln 10e xx x x ax x x -++-++=…，令22()(1)ln 1u x x x x ax x =-++-++， 则1()(12)ln (21)0u x x x a x x'=-+--+<． 即()u x 在[]1,e 单调递减，∴max ()(1)20u x u a ==-+…，∴2a ≥．……………11分2若a …1知，h 即221(1)ln ax x x x x +-++≤对[1,e]x ∈恒成立，e-． ………………………………………13分3若e e +- ∴()h x 在[1,e]上不单调． …………………………………………………15分 [)2,⎤+∞⎥⎦．20．（ 本小题满分 16 分）定义： 若有穷数列 a 1，a 2，⋅⋅⋅，a n 同时满足下列三个条件， 则称该数列为 P 数列. ①首项 a 1 = 1； ② a 1 < a 2 < ⋅⋅⋅ < a n ； ③对于该数列中的任意两项 a i 和 a j (1 ≤ i ≤ j ≤ n ) ， 其积 a i a j 或商j ia a 仍是该数列中的项.（1） 问等差数列1，3，5 是否为 P 数列？（2） 若数列 a ，b ，c ，6 是 P 数列， 求 b 的取值范围；（3） 若 n > 4 ，且数列 b 1，b 2，…，b n 是 P 数列， 求证： 数列 b 1，b 2，⋅⋅⋅，b n 是等比数列.解：（1）∵3515⨯=，53均不在此等差数列中， ∴等差数列1,3,5不是P 数列； …………………………………………………2分 （2）∵数列a ，b ，c ，6是P 数列，所以1＝a ＜b ＜c ＜6， ………………………3分由于6b 或6b是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6， ∴6b 是数列中的项，同理6c也是数列中的项， ……………………………………5分考虑到1＜6c ＜6b ＜6，于是6c ＝b ，6b＝c ，∴bc ＝6，又1＜b ＜c ，所以1＜b…………………………………………7分 综上，b 的取值范围是(1． ………………………………………………8分 （3）∵数列{b n }是P 数列，所以1＝b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n ，由于b 2b n 或2nb b 是数列中的项，而b 2b n 大于数列中的最大项b n ， ∴2nb b 是数列{b n }中的项， …………………………………………………………10分 同理3n b b ，4n b b ，…，1n n bb -也都是数列{b n }中的项， 考虑到1＜1n n b b -＜…＜2n b b ＜b n ，且1，1n n b b -，…，2n bb ，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项，∴21n n b b b -=，…，12n n bb b -=， 从而b n ＝b i b n ＋1－i (i ＝1，2，…，n －1)，① ………………………………12分 又∵b n －1b 3＞b n －1b 2＝b n ，所以b n －1b 3不是数列{b n }中的项， ∴13n b b -是数列{b n }中的项，同理14n b b -， (12)n n bb --也都是数列{b n }中的项， 考虑到1＜12n n b b --＜…＜14n b b -＜13n b b -＜3n bb ＝b n －2＜b n －1＜b n ，且1，12n n b b --，…，14n b b -，13n b b -，3n b b ，b n －1，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项， 于是，同理有，b n －1＝b i b n －i (i ＝1，2，…，n －2)，② …………………………14分在①中将i 换成i ＋1后与②相除，得1n n b b -＝1i ib b +，i ＝1，2，…，n －2， ∴b 1，b 2，…，b n 是等比数列． …………………………………………………16分2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵A ＝ 10 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A 的另一个特征值． 解：∵12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵10x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值1-的一个特征向量， ∴111022x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴21,22,x y +=-⎧⎨=-⎩解得3,1x y =-=-， ……………………4分 ∴3101A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， …………………………………………………………………6分 特征多项式为31()001f λλλ+-==+，即(3)(1)0λλ++=， ……………………8分 ∴另一个特征值为3λ=-． …………………………………………………………10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：sin()03πρθ-=，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C 的参数方程为1414y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．设l 与C 交于A ，B 两点，求AB 的长． 解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴建立坐标系， 直线sin()03πρθ-=的直角坐标方程为y =， ……………………………………2分 曲线1,41,4y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的普通方程为221y x -=， ……………………………………………4分则直线与曲线的交点为A和(B ， ………………………………7分∴AB == ………………………………………………………………10分C ．选修4—5：不等式选讲若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X ＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X ＝3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X 的数学期望E(X)．解：由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)X B , ………………………2分（1）恰好有2件不合格的概率22810(2)0.050.95P X C ==⨯⨯， 恰好有3件不合格的概率33710(3)0.050.95P X C ==⨯⨯， ……………………………4分 ∵22810337100.050.95(2)571(3)0.050.958C P X P X C ⨯⨯===>=⨯⨯， ∴(2)(3)P X P X =>=，即恰好有2件不合格的概率大； …………………………6分（2）∵1010()(1)k k k k P X k p C p p -===-，0,1,2,,10k =.随机变量X 的概率分布为：故0()0.5k k E X kp ===∑． ………………………………………………………………9分答：随机变量X 的数学期望()E X 为0.5． …………………………………………10分23．（本小题满分10分）已知34268243451681022()n n n n C C C C f n C C C C ++=++++，562468243451681022()n n n n C C C C g n C C C C +++=++++，其中n N *∈，2n ≥． （1）求(2)f ，(3)f ，(2)g ，(3)g 的值；（2）记()()()h n f n g n =-，求证：对任意的m N *∈，m ≥2，总有1(2)2m m h ->． 解：（1）24363(2)10C f C ==，3264346841(3)70C C f C C =+=， 44361(2)20C g C ==，5464346819(3)140C C g C C =+=；……………………………………………3分 （2）∵222122(2)!(2)!(!)(!)((2)!)((2)!)(22)!((1)!)((1)!)k k k k k k k k C C k k k k k C k k +++--⋅-⋅+=++⋅+ 2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)k k k k k k k k ++-+-=+++ (1)(42)1(22)(21)(2)2k k k k k k ++==++++， ………………………………………4分 ∴222122221()()()2k k n n k k k k k k C C h n f n g n C k ++==+-=-==+∑∑．……………………………………5分 下面用数学归纳法证：对任意的*,2N m m ∈≥，总有1(2)2m m h ->． 当2m =时，111371(4)456602h =++=>，命题成立；则当1m t =+时，11111(2)(2)232422t t t t t h h ++=+++⋅⋅⋅++++ 111111122324252622t t t t t t +->++++⋅⋅⋅++++++（）， …………………………7分 ∵3t ≥，1113232422t t t ++-+++1(23)2(23)(24)(22)t t t t t +--22=+++0>， ∴1113232422t t t ++>+++． ……………………………………………………………8分 又1111252622t t t ++⋅⋅⋅++++111111222222t t t +++>++⋅⋅⋅++++ 12222t t +-=+， ………………………………………………………………………9分∴1111322(2)222222tt t t t t h +++-->++=++， ∴命题成立． ……………………………………………………………………………10分。