成才之路数学选修2-1之2-2-1

成才之路数学选修2-1
2.2.1
一、选择题
1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在
[答案] C
[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段． 2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b )
D ．(0，±b －a )
[答案] D
[解析] ax 2
＋by 2
＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2
－a ＝1
∵a <b <0∴－a >－b >0，∴y 2
－a ＋x 2
－b ＝1，
焦点在y 轴上，c ＝
－a ＋b ＝
b －a ∴焦点坐标为(0，±b －a )
3．已知椭圆x 216＋y 2
9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是
一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )
A.95 B ．3 C.977 D.94 [答案] D
[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．
∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(P 点不可能是直角顶点)
设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94
.
4．椭圆x 212＋y 2
3＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，
那么点P 的纵坐标是( )
A ．±34
B ．±2
2
C ．±32
D ．±34
[答案] C
[解析] 设F 1(－3,0)∴P 点横坐标为3代入x 212＋y 23＝1得y 23＝1－34＝14，y 2＝34，∴y ＝±3
2
5．椭圆x 24＋y 2
＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个
交点为P ，则|PF 2|＝( )
A.
32 B.3 C.7
2
D ．4 [答案] C
[解析] 如图所示，由x 24＋y 2
＝1知，F 1、F 2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)，即P 点
的横坐标为x p ＝－3，代入椭圆方程得y p ＝1
2
，
∴|PF 1|＝1
2，
∵|PF 1|＋|PF 2|＝4.
∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝7
2
.
6．(09·陕西理)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆⇔1n
>1
m
>0⇔m >n >0.故选C. 7．椭圆x 2m ＋y 2
4＝1的焦距是2，则m 的值是( )
A ．5
B ．3或8
C ．3或5
D ．20 [答案] C
[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝12或4－m ＝12，∴m ＝5或m ＝3且同时都大于0，故答案为C.
8．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )
A ．2
B ．4 C.2 D ．2 2 [答案] B
[解析] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4， 即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4.
9．已知椭圆的方程为x 216＋y 2
m 2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )
A ．－4≤m ≤4
B ．－4<m <4且m ≠0
C ．m >4或m <－4
D ．0<m <4
[答案] B
[解析] 因为焦点在x 轴上，故m 2<16且m 2≠0，解得－4<m <4且m ≠0.
10．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )
A.x 225＋y 2
9
＝1
B.y 225＋x 2
9
＝1(y ≠0) C.x 216＋y 2
9＝1(y ≠0) D.x 225＋y 2
9＝1(y ≠0) [答案] D
[解析] 顶点C 满足|CA |＋|CB |＝10>|AB |，由椭圆定义知2a ＝10,2c ＝8 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故椭圆方程为x 225＋y 2
9＝1(y ≠0)．
二、填空题
11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2
是面积为3的正三角形，则b 2＝______.
[答案] 2 3
[解析] 由题意S △POF 2＝
34
c 2
＝3，则c 2＝4⇒c ＝2
∴P ＝(1，3)代入椭圆方程x 2
b 2＋4＋y 2
b 2＝1中得，
1
b 2
＋4＋3b
2＝1，求出b 2＝2 3. 12．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －1
2) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平
分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．
[答案] x 2＋4
3
y 2＝1
[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，
∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，
即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝3
4.
∴动点P 的轨迹方程为x 2
＋y 234
＝1，即x 2＋4
3y 2＝1.
13．(08·浙江)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2
9＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两
点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.
[答案] 8
[解析] (|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，∴|AB |＝8.
14．如图，把椭圆x 225＋y 2
16＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆
的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.
[答案] 35
[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，
∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋1
2(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝
35.
三、解答题
15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (1
2
，3)
[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴⎩⎨⎧
4a 2＋0
b 2
＝1，0a 2
＋1b 2
＝1.
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1
故所求椭圆的方程为y 24
＋x 2
＝1.
(2)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2
n ＝1(m >0，n >0)．
∵椭圆过A (0,2)，B (1
2
，3)，
∴⎩⎨⎧
0m ＋4
n
＝1，14m ＋3
n ＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝1，n ＝4.
∴所求椭圆方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
16．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程． [解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9
a 2＋
0b 2＝1，又a ＝3b ，代入得b 2＝1，a 2
＝9，故椭圆的方程为x 29
＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9
b
2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程
为y 281＋x 2
9
＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29
＋y 2
＝1.
17．已知m 为常数且m >0，求证：不论b 为怎样的正实数，椭圆x 2b 2＋m ＋y 2
b 2＝1的焦点
不变．
[解析] ∵m >0，b 2＋m >b 2，∴焦点在x 轴上，由(b 2＋m )－b 2＝m ，得椭圆的焦点坐
标为(±m ，0)，由m 为常数，得椭圆的焦点不变．
18．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝1
2，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求以M 、N
为焦点且过点P (x 0，y 0)(y 0>0)的椭圆方程．
[解析] 以线段MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴，建立坐标系． 设M (－c,0)，N (c,0)，c >0， 又P (x 0，y 0)，y 0>0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 0
x 0－c
＝－2，y 0x 0＋c ＝12，
cy 0
＝1
⇒⎩⎨⎧
x 0＝53
c ，
y 0
＝4
3c ，
⇒P (523，23
)．
设椭圆方程为x 2
b 2＋
34＋y 2
b 2＝1，又P 在椭圆上，
故b 2(523)2＋(b 2＋34)(23)2＝b 2(b 2＋34)，
整理得3b 4－8b 2－3＝0⇒b 2＝3. 所以所求椭圆方程为x 2154
＋y 2
3＝1.。