吊车梁在移动载荷作用下的响应分析
不同速度的移动质量作用下梁的动态响应分析
移动物体随着结构 的振动而产生的惯性力。在任意 ｔ 时 刻， 梁所 受到 的力 等于质 量块 的重 力减 去其惯 性力 ， 可 以 表示 为 ：
Ｐ（ ） ： Ｍｇ— Ｍ （ ２ ）
动 载荷 本身 的质 量外 ， 还要 考 虑 其 惯 性 力 。本 文 所 讨 论
的就是 引入 移动 载荷 惯 性 力 的模 型 ， 主要 通 过 对 移 动 质
Ｌｉ ｎ Ｎａ ｎ Ｌ ｉ Ｃｈ ａ ｏ ｄ ｏ ｎ ｇ
０ 前 言
＝
（ —ｖ ｔ ） Ｐ（ ， ｔ ）
Ｌ
移 动负 载激 励作 用 下 ， 梁 动 态 响 应 的分 析 与 研 究 一 直 是结 构动 力 学 的热 点 问题 ， 在交通、 工 业生 产 和军事 上
计量 与测试 擞ｓ ｔ ） ２ ０ １ ７丰 第４ ４基 第８期
不 同速 度 的 移 动 质 量 作 用 下 梁 的 动 态 响 应 分 析
林 楠 李朝 东
（ 上海大学 机 电工程与 自动化学 院 ， 上海 ２ ０ ０ ０ ７ ２ ）
摘 要： 梁 结 构 振 动 分 析 在各 类 工 程 中有 着 广 泛 的应 用 。本 文 主 要 针 对 在 移 动 质 量 作 用 下 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ —Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 简 支 梁 对 不 同质 量 、 速 度 下 的 响 应 。通 过 对 运
量作 用 下简 支梁 的振 动进行 建模 ， 利用 Ａ Ｎ Ｓ Ｙ Ｓ通 过 位 移 耦 合法 对振 动造 成 的主 要 影 响 因素 进 行 有 限 元分 析 ， 并
对 于分 析结 果进 行对 比。
１ 梁 振动 方程 的建 立
其中，
＝
（ ３ ）
移动车辆载荷作用下悬索桥响应分析
移动车辆载荷作用下悬索桥响应分析Ansys软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，已经成为土木建筑行业CAE仿真分析的主流。
我们小组在查阅相关资料后，决定对钢筋混凝土悬索桥进行有限元分析。
悬索桥悬索桥，又名吊桥（suspension bridge）指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁。
其主要结构包括缆、塔、锚、吊索及加劲梁，其受力特征是载荷由吊索传至主缆，再传至锚墩，传力途径简洁、明确。
一、问题描述由于实际桥梁的实际尺寸的直接测量，对于我们有一定的困难，所以我们在查阅资料后选取了一个比较具有代表性的桥梁尺寸，采用该桥梁所给定各部分参数，在局部没有给定的参数我们采用估测的手段，根据对桥梁美观协调的要求，用于部分无法获得的数据，根据以上原则，选定以下的一个模型：悬索桥采用钢筋混凝土加劲桁架悬索体系。
主塔采用钢筋混凝土，混凝土标号C30。
横桥向采用H型塔，索塔中心间距为120m。
索塔基础采用明挖天然扩大基础，索塔总高为54m。
加劲梁采用钢筋混凝土桁架，结构采用预制吊装的施工工艺，预制构件长度为4m，等于吊索间距，纵梁与横梁一起布置成为沿桥长方向连续的桁架体系。
该桥在两岸各设引桥一座。
桥梁一端置于索塔的横梁上与主跨的加劲梁相衔接，另一端置于带一字翼墙的轻型桥台上。
轻型桥台的基础直接置于土壤层上，为防止冲刷，采取了一些必要的护砌与绿化措施，引桥桥面宽度与主桥一致。
锚碇采用组合式结构体系，下部由9 根150cm 的挖孔灌注桩为基础，挖孔桩桩尖嵌入基岩中，主索传来的巨大的水平拉力由锚碇前的土壤的主动土压力、桩基的土抗力和锚碇与岩石之间的摩阻力来平衡。
主缆采用GB362－64 标准镀锌钢丝绳，直径φ79mm，索面中距10.8m，主缆垂跨比f/l=1/8；全桥共有吊索52 对，吊索采用镀锌钢丝绳，直径φ39mm，表面涂防锈漆。
二、力学及有限元模型分析我们知道，悬索桥的恒载自重会对桥的刚度产生显著的影响。
门式刚架吊车梁在移动荷载下位移和响应分析
文章编号:100926825(2010)1120082202门式刚架吊车梁在移动荷载下位移和响应分析收稿日期:2009212222作者简介:耿照亮(19822),男,北京工业大学建筑工程学院硕士研究生,北京 100124陈向东(19502),男,教授,北京工业大学建筑工程学院,北京 100124耿照亮 陈向东摘 要:借助于有限元软件ANSYS 对几种带有吊车梁的轻型门式刚架的吊车梁进行有限元分析,对跨度大小、腹板高度及厚度等对吊车梁的应力和挠度的影响分别作了详细分析,通过计算分析,对门式刚架吊车梁的设计提出了一些建议,以利于设计人员的设计,同时为进行类似工程提供了技术依据。
关键词:柱距,翼缘,腹板,有限元中图分类号:TU392.5文献标识码:A 轻型钢结构主要是指采用门式刚架为主要承重骨架,用冷弯薄壁型钢做檩条、墙梁,以压型钢板做屋面、墙面的一种轻型房屋结构体系。
对于有吊车的轻型门式钢架,吊车梁是非常重要的构件,其用钢量可占全部结构用钢量的1/4～1/3,合理优化设计吊车梁结构对降低钢材总用量是非常有效的。
尤其当工字形吊车梁在移动荷载作用下无加劲或者承受移动的轮压荷载时,应验算腹板计算高度处以及下翼缘的局部承压力,进而设置横向或者纵向加劲肋。
本文对在移动荷载下的工字形吊车梁进行了有限元分析,并与实际中关于吊车梁受力分析的理论相结合,以期得到工字形吊车梁在移动荷载下的应力和挠度的变化规律。
本文采用的吊车资料如表1所示。
1 规范对于吊车梁的计算要求表1 吊车主要性能参数起重量G n /t 吊车梁跨度L /m轮距K /m 桥架宽度B /m 最小轮压t 最大轮压t 小车重t 522.5 3.55 4.65 3.68.5 1.81022.5 4.05 5.29 3.1512.6 3.330/1522.5 4.1 5.3 6.614.2 5.750/2022.5 4.6 5.8 6.6517.7 6.850/3022.54.76.137.228.511.6 1)《钢结构设计规范》规定:吊车梁应按下列规定计算最大弯矩处或变截面处的正应力:上翼缘正应力计算:当无制动结构时,M max W 上nx+M HW ny ≤f ;当制动结构为制动梁时,M max W 上nx+M HW ny 1≤f 。
移动荷载对中小跨径梁式桥地震响应的影响
移动荷载对中小跨径梁式桥地震响应的影响摘要：为进一步研究移动荷载对梁式桥地震响应的影响，在研习大量文献的基础上，以某高速公路上一座四跨预应力混凝土连续箱梁桥为例，建立了合适的桥梁和汽车分析模型，详细分析了车辆荷载大小、车辆速度、车辆数量、汽车悬挂系统的刚度和阻尼等因素对地震荷载作用下桥梁动力响应的影响。
关键词：车辆荷载；汽车速度；桥梁；地震响应1 车桥计算模型的建立及地震荷载的输入1.1 车辆模型的建立7自由度汽车计算模型是研究汽车运行特征的基本计算模型。
其他更多或更少自由度的汽车计算模型都是由此模型衍变而来。
对本文所研究的内容而言，只需分析汽车最基本的运动特征，所以7自由度汽车分析模型还是过于复杂。
因此为求解方便还需对模型做一些简化，如图1-1所示，本文采用2自由度汽车分析模型。
图1-2 桥梁整体模型1.3地震荷载的输入地震级别不同对车桥系统动力响应的影响也不尽相同。
根据工程概况，由所建场地地震动峰值加速度及抗震设防等级，本文选取5种典型地震波作为地震荷载输入，分别为1940，Imperial Valley，El Centro 地震波、1971，San Fernando地震波、1979，James RD，El Centro地震波、1989，Loma Prieta，Oakland Oute地震波、1994，Northridge，Sylmar County地震波。
其中19440年 Imperial Valley 地震 El Centro 最为典型，因其地震波短周期波比重较大，且其整个地震波从初振到尾振较为完整的都被记录下来，常作为地震的典例多次被采用。
根据上述加速度条件，在本文的分析中，地震动输入的时间间隔为0.02秒，主要为一致地震输入方法。
2 车桥系统地震响应研究2.1不同因素对车桥地震响应的影响桥梁的地震响应受许多因素的影响，例如地震荷载等级、车辆荷载大小及数量、主梁的截面特性、车辆系统的刚度和阻尼、桥梁跨径等等，这些因素都对其有不同程度的影响。
连续移动集中力作用下的梁振动分析
ａ Ｓ＋Ｐ ｔ Ａ Ｏ ２一ｃ ｓ一 叫
＋Ｐ ＝ ０
ｓ一
叫
＋ ＝０
（） ８
＋ｃ
＝０
（） ４
令
＝ ｙ Ｋ； ／
＝
；
＝ ｘ Ｌ； ＝ ／ ｔ
￡， 中， 其
式 中 ： 为梁材 料 的弹 性模 量 ； 梁截 面积 的惯 Ｅ Ｊ为 性矩 ； 为梁 截 面 转 角 ； 为 梁截 面 上 的弯 矩 ； Ｍ Ｓ 为梁 的剪 切 力 ； 为 截 面 形 状 系 数 ； ， ｃ Ａ为 梁 的截 面
对于 移动 载荷 下 的结 构振 动 问题 ， 国外学 者 做 了大 量的研 究工作 ， ｉ ｓｅｋｌ 给 出 了无 阻尼 梁 Ｔｍｏｈｎ ｏ Ｊ 在一匀 速移 动集 中力 下 的响应 的解析 解 ， 并提 出 临 界速度 的表 达式 ； ｒ ’ａ ］ Ｆ ｙ ｂ ［ 对移 动载 荷 下结 构 振动 的有 关 问 题 作 了详 细 的论 述 。Ｅ． ｓ ｉａｅ Ｅｍａｚｄｈ和 ｌ
：
假设梁 的 两端 简支 ） 。根据 Ｔｉ ｓｅｋ 梁 理论 ， ｍｏｈｎ ｏ 得
到 以下方程 ：
Ｅ Ｊ
一
Ｅ Ｑ Ｉａ
３ｘ
（） ５
ａｔ
： Ｍ
（） １
ａＳ
３ ＝ ｘ
Ｌ
（） ２ （） ３
ＧＱ 舞 （一 ） （ ６ ） ＋Ａ ｃ ＋ ＝ （ ｌ薏一 Ｐ ０ ７ ０ ）
１ 振 动 方 程
考虑 有 ７ 集 中 力 （ ， ２Ｐ３… ， ） 以 ， ｚ个 ＰｌＰ ， ， Ｐ ，
恒定 速度 通过 一个 梁 式结 构 ， 图 １ 示 （ 妨 如 所 不
【 ０
移动载荷作用下塔式起重机动态响应数值模拟
DOI：10.16661/ki.1672-3791.2210-5042-8358移动载荷作用下塔式起重机动态响应数值模拟(江苏师范大学机电工程学院 江苏徐州 221116)摘要：塔式起重机工作中载荷的运动容易引起整机的振动，持续的振动会造成结构的疲劳损伤。
为研究移动载荷作用下塔式起重机起重臂的振动特性，建立了移动载荷模型，将变幅小车和货物等效为移动集中力，采用瞬态动力分析方法，模拟得到了在变幅运动和起升运动工况下起重臂的振动特性。
结果表明：变幅移动速度、起重量越大，臂端振动幅度也越大。
起升速度、起升重量、起升位置对振动幅值、频率均有影响，起升位置距离起重臂臂根部越远，振动挠度、幅值和周期越大。
关键词：塔式起重机 移动载荷 动态响应 数值模拟中图分类号：TU312文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2023)11-0083-05Numerical Simulation of the Dynamic Response of the TowerCrane under the Action of Moving Loads*XU WanliWENG Yunhan WEN Jie JIANG Hongqi(School of Mechatronic Engineering, Jiangsu Normal University, Xuzhou, Jiangsu Province, 221116 China)Abstract:The movement of the load in the operation of the tower crane is easy to cause the vibration of the wholecane, and the continuous vibration will cause fatigue damages to the structure. In order to study the vibration char‐acteristics of the jib of the tower crane under the action of moving loads, a moving load model is established, whichequivalents the luffing trolley and cargo as the moving concentration force, and uses the transient dynamic analysismethod to simulate the vibration characteristics of the jib under the conditions of luffing motion and lifting motion.Results show that the greater the luffing moving speed and lifting weight are, the greater the vibration amplitude ofthe end of the jib is, the lifting speed, lifting weight and lifting position have influence on vibration amplitude andfrequency, and that the farther the lifting position from the root of the jib is, the greater the vibration deflection,amplitude and cycle are.Key Words: Tower crane; Moving load; Dynamic response; Numerical simulation塔式起重机是通过变幅机构的运动来完成货物运输工作的一种建筑机械装备，具有适应范围广、转弯半基金项目：江苏师范大学大学生创新创业训练项目（项目编号：XSJCX11045）。
基于ANSYS生死单元的移动荷载作用下桥梁结构动力响应分析
基于ANSYS生死单元的移动荷载作用下桥梁结构动力响应分析移动荷载是指在桥梁结构上以一定速度行驶的载重车辆，它会在桥梁结构上引起振动和动力响应。
了解桥梁结构在移动荷载作用下的动力响应对于确保其安全性和稳定性至关重要。
在这种情况下，使用有限元软件ANSYS对桥梁结构进行动力响应分析是一种有效的方法。
本文将介绍如何利用ANSYS的生死单元对移动荷载作用下的桥梁结构进行动力响应分析。
1.研究背景桥梁结构在运行过程中会受到不同方向和大小的荷载作用，其中移动荷载是其主要荷载之一、移动荷载对桥梁结构的振动和动力响应产生重要影响，因此对其进行分析是非常必要的。
2.ANSYS介绍ANSYS是一种有限元分析软件，可以用于模拟和分析各种工程结构的动力响应。
它具有强大的仿真功能，可以准确地模拟结构在不同荷载作用下的响应。
3.动力响应分析步骤（1）建立模型：首先，在ANSYS中建立桥梁结构的有限元模型，包括桥梁梁、板、墩等组成部分。
确定桥梁结构的几何形状、材料性质等参数。
（2）施加荷载：在模型中模拟移动荷载作用，可以通过施加集中荷载或均布荷载的方式来模拟车辆通过桥梁的情况。
（3）定义边界条件：设置模型的边界条件，确定结构的支座和约束条件，以保证结构在运行过程中的稳定性。
（4）设置分析类型：选择动态分析类型，在分析设置中定义荷载的作用时间、频率和幅值等参数。
（5）进行动力响应分析：运行模型进行动力响应分析，获取桥梁结构在移动荷载作用下的振动响应情况。
（6）结果分析：对分析结果进行后处理和分析，评估结构在移动荷载作用下的动力响应性能，确定结构的安全性和稳定性。
4.结论与展望通过以上步骤，可以利用ANSYS对移动荷载作用下的桥梁结构进行动力响应分析，为工程师提供了一个强大的工具，可以帮助他们更好地理解桥梁结构在实际运行中的动力响应情况。
未来，可以进一步研究不同荷载作用下桥梁结构的动力响应特性，为桥梁结构的设计和改进提供更加准确和可靠的依据。
动载荷作用梁动态响应分析
毕业论文题目动载荷作用梁动态响应分析专业工程力学班级力学081学生郝忠文指导教师何钦象教授2012 年专业：工程力学学生：郝忠文指导教师：何钦象摘要在机构动力学中讨论的强迫振动问题，一般是以结构在位置固定的周期性挠动力作用下的强迫振动问题为对象。
本文中，用主振型叠加法，分析了简支欧拉梁在移动载荷作用下的动态响应特性。
当广义挠动频率的固有频率相等则放生共振。
研究桥梁在移动车辆载荷下的强迫振动，也要分析其共振条件。
所不同的是由于载荷是移动的，且车辆载荷本身也是带有质量的振动体系，桥梁和载荷耦合系统的动力特征随荷载位置的移动而不断变化。
经研究发现，在移动荷载作用下，桥梁将发生振动，产生的变形比载荷静止不动时产生的变形大。
若荷载处于最不利的静力作用位置的同时满足共振条件，那么将会发生较大的动态响应，导致桥梁的破坏。
而且，当荷载移动速率为一定值，广义挠动频率接近梁的固有频率时，梁也可能发生共振，其最大动挠度比静载荷作用时最大挠度的数倍。
移动车辆载荷的这种动力效应是不容忽视。
关键字：动载荷，动态响应，广义挠动频率ABSTRACTThe forced vibration problem discussed in the mechanism dynamics generally focus on the forced vibration that caused by the force which stationarily act on the mecha- nism regularly.In this paper,using principal mode superposition method,the dyna -mic response of simply supported Euler beam acted by moving loads is analysed. Wh -en the frequency of generalized stimulating force equals its natural frequency,the re -sonance happens.It is different that the load moves.The dynamic response of the sys- tem formed by the load and beam differs with the position of moving load. According to the research,the deflection caused by the moving load is larger than that caused by stable load.When the moving load is at the vital position meanwhile meets the res -onance requirement,the beam will resonate thus leading to damage .And when the speed of the moving load reaches the point that the generalized stimulating frequency meets the natural frequency of beam，it may also cause resonance,the biggest def -lection will reaches several times the deflection caused by the stable load。
荷载作用下桥梁结构动力响应分析
荷载作用下桥梁结构动力响应分析随着城市化的进程，越来越多的桥梁被建造在城市的交通路线上，这些桥梁承受着大量的车辆、人员和货物的荷载。
因此，桥梁的荷载作用下的动力响应分析变得极其重要。
桥梁结构动力响应分析是研究荷载作用下桥梁结构的振动性能和响应特性的一门学科。
桥梁结构在运行过程中会受到各种荷载的作用，如静荷载、动荷载、风荷载、温度荷载等。
这些荷载的作用会导致桥梁结构的振动，加剧桥梁的疲劳损伤和振动破坏，威胁到桥梁的安全性和耐久性。
针对荷载作用下桥梁结构的动力响应分析，通常采用有限元分析（FEA）和结构动力学的方法。
有限元分析能够考虑到复杂的桥梁结构的几何形状、材料特性和边界条件，可以精确地模拟桥梁的荷载作用下的运行状态和响应特性。
结构动力学的方法则主要从整体上研究桥梁结构的振动性能和动力响应。
桥梁结构的动力响应分析通常涉及到桥梁结构的振动特性、应力分布和动态位移。
振动特性是指桥梁结构的固有频率、振型模态和振型阻尼等振动特性参数，可以通过有限元分析和结构动力学计算得出。
应力分布是指荷载作用下桥梁结构的应力分布、应力峰值和应力分布变化规律，可以反映出桥梁结构的耐久性和稳定性。
动态位移则是指荷载作用下桥梁结构的自由位移、动态位移和振幅等参数，可以揭示桥梁结构的振动响应特征。
桥梁结构的动力响应分析是桥梁工程设计和安全评估的重要内容。
通过对荷载作用下桥梁结构的动力响应分析，可以优化桥梁结构的设计，提高桥梁的耐久性和安全性，减少事故风险。
同时，对桥梁结构进行动力响应分析还可以及早发现潜在的振动破坏风险，采取相应的加固和维修措施，保障桥梁结构的健康运行。
总之，荷载作用下桥梁结构的动力响应分析是桥梁工程领域中至关重要的一环。
合理开展桥梁结构的动力响应分析，对于提高桥梁的耐久性和安全性、减少事故风险具有积极作用。
同时，也能为桥梁领域的科研人员提供新的研究方向和挑战。
吊车梁在移动载荷作用下的响应分析
吊车梁在移动载荷作用下的响应分析1.问题描述图2-1所示为吊车梁，梁上的移动载荷以1.0m/s 的速度从梁的一端移动到另一端，计算在此过程中吊车梁的位移和应力响应。
弹性模量EX=Pa 11100.2⨯；泊松比PRXY=0.3；密度DENS=3/7800m kg 。
吊车梁采用“工”字型截面如图2-2所示。
mm W 1501=；mm W 3002=；mm T 201=；mm T 102=。
2.分析步骤（1）分析环境设置设定工作文件名称为CRANE-BEAM ANALYSIS ，图形标题为CRANE-BEAM ANALYSIS 。
1）进入ANALYSIS/Multiphysics 的程序界面后，选择菜单选择菜单Utility Menu: File →Change Jobname 命令，出现Change Jobname 对话框，在[/FILNAM]Enter new jobname 文本框中输入工作文件名CRANE-BEAM ANALYSIS,单击OK 按钮关闭对话框。
2）选择菜单Utility Menu: File →Change Title 命令,出现Change Title 对话框，在文本框中输入图形标题CRANE-BEAM ANALYSIS,单击OK 按钮关闭对话框。
3）单击工具栏上的SAVE_DB 按钮存盘。
（2）定义单元类型选取BEAM188作为1号单元。
1）选择菜单Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete 命令。
2）单击工具栏上的SAVE_DB 按钮存盘。
（3）定义材料参数模型为工字钢，弹性模量EX 取Pa 11100.2 ，泊松比PRXY 取0.3，密度DENS 取3/7800m kg 。
1）选择菜单Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models 命令。
2）单击工具栏上的SAVE_DB 按钮存盘。
移动荷载作用下桥梁的动态响应研究[权威资料]
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移动荷载作用下桥梁的动态响应研究本文档格式为WORD,感谢你的阅读。
摘要：车辆在一定速度下通过桥梁时，就会引起桥梁的振动，桥梁的振动反过来又影响车辆振动，这种相互的作用就是耦合振动问题。
桥梁的振动是结构产生了疲劳，稳定性和强度都有所降低；当这种振动过大时进而影响车辆的安全及稳定性；随着国民经济的突飞猛进，桥梁的大跨、轻型化，使得耦合问题更加突出，因此耦合振动的分析问题越来越受工程界的重视。
关键词：振动；车桥耦合；有限元桥梁的振动往往是在车辆荷载和地面的某种运动情况下产生，其振动的效应表现为动力效应，这种动力效应会比静力作用下引起的局部损伤大许多，或者影响其桥上行车的行车舒适性及加速度，甚至使桥梁结构损伤、破坏等。
车辆的荷载情况引起的振动问题，由于蒸汽时代平衡轮上周期的锤击已被现在的电力机车、高性能机车所替代，因此现代桥梁的竖向振动问题已表现的不是很突出。
桥梁自身的结构反而表现的更为显著，随着现代科技和经济的快速发展，国内外新兴材料的问世和薄壁结构的广泛应用，桥梁结构也表现出了跨径越来越大，质量越来越轻，刚度越来越小，从而使桥梁结构所能承受的活载占总荷载的比重越来越大。
汽车制造和设计的改进以及汽车新兴材料的应用，使得车辆的单轴轴重不乏较重或超重的大型工程车辆增加了桥梁的荷载值。
上述因素加强了车桥耦合方面的影响，使的变化的荷载与结构的相互作用问题变得越来越突出，引起了工程界的广泛关注。
现在的大跨径桥梁振动已经成为影响桥梁使用与安全的重要因素，因此，各种桥梁的设计计算要求中都包含车辆荷载动力作用内容。
1 车桥耦合模型振动方程建立1.1 移动常量模型图1.1 匀速通过简支梁的单常量力在上图1.1中，一常力F以速度v向右匀速运动，此模型中力F不考虑质量问题，规定t=0时刻，F作用在简支梁的支座处，t=T时刻，F移动到简支梁最右侧支座处，由简支梁的振动微分方程可得到表达式：（1）其中，EI是简支梁的抗弯刚度，m是梁单元质量的常数。
移动载荷作用下简支梁的动态响应及裂纹损伤识别研究
，
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ： Ｔｈ ｏ ｅ ｔａ ｆｔｅ ｃ ａ ｋ ｄ ｔ ｃｉｎ ｍｅｈ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｌｉｒ ｓ ｌ ｔｏ ｎ ｌｓｓｏ ｖ ｌｔｗａ ｅ ｅ ｌ ｄ ｉ ｓｒ ｃ ｅ ｐ ｔｎ ｉｌｏ ｒ ｃ ｅｅ ｔｏ ｔ ｏ ａ ｅ ｎ ｍｕ ｔ—ｅ ｏｕ ｉｎ ａ ａｙ ｉ ｆｗａ ｅｅ ｓｒ ｖ ａｅ ｎ ｈ
Ｚ ＡＯ Ｊ ｎ ． ＨＡ ｉ ｅ Ｈ ｕ ，Ｚ ＮＧ Ｗｅ— ｉ ．ＭＡ Ｈｏ ｇ ｅ ｗ ｎ一
（ ．Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃｅ ｃ １ ｏｌ ｅｏ ｉｎ ｅ＆ Ｅｎ ｉｅ ｒ ｇ ｉａ ｎｖ ｒｉ ，Ｔ ｅＫｅ ａ ｏａｏｙｏ ｓｓｅ ｏｅ ａｔａ ｄ ｅ Ｓ ｇｎ ｅｉ ，Ｊｎ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｈ ｙＬ ｂ ｒｔｒ ｆＤｉ ｔｒＦ ｒｃ ｓ ｎ ｎ ｔ ａ
振
动
与
冲
击
第 ３ 第 ６期 Ｏ卷
Ｊ Ｄ Ｈ０Ｃ Ｓ Ｋ
移 动 载 荷 作 用 下 简 支 梁 的 动 态 响 应 及 裂 纹 损 伤 识 别 研 究
移动车辆荷载下的桥梁动态响应分析
简 谐力 的扰 动频 率 ；
∞ 一 一 简支 梁 的第 ｎ阶 固有频 率 。 当忽 略阻尼 并考 虑基 本振 型的共 振条件 时 ， 共 振 将发 生在 ＝ ， 并且 最大 动力响应 将 出现 在简谐
１ ８ ４ ７年 Ｒ ． Ｗｉ ｌ ｌ ｉ ｓ 乜 导 出了在移 动荷载 下忽 略质
移动的， 而 且 车辆本 身 也是 带有 质量 的系 统 ， 桥梁 车辆 耦 合 系统 的动力 特 性 随着 荷 载位 置 的移动 而
不断变化 ， 其 结果是共 振条件 只能在短 时间 内满足 ， 并且车 辆荷 载在 桥上 通过 的 时间也 是有 限 的， 这是 桥 梁 的车 辆激 振 问题 的特 点和 复杂 性所在 … 。
流对 混凝土箱梁进行计算。在模态分析得到桥 梁固有频率的基础上 ， 将移动车辆荷载简化为简谐作用力
输入 ， 对 比分析 了车辆速 度 和车辆 振 动频 率对 桥 梁振 动 的影 响 。 【 关键 词 】 桥 梁 移动 荷载 Ａ ＮＳ ＹＳ 模 态分 析 动 态响应
程为：
Ｆ Ａ ｎ ＋ ｏ ） ２ Ａ ． ：２ Ｃ ＯＳ ￣ ｐ ｐ ｔ ￣Ｓ ｉ ｎ
７ ｒ ３ ￣
ｌ
（ Ｏ ＝＝ ｓ ｌ ｎ～ １， 可得发生共 振时 ， 车辆速度 越小最大
， 兀Ｖ
挠 度越 大 。
３ Ａ Ｎ Ｓ Ｙ Ｓ有限元分析
３ ． １ 模 型 的建 立
本 文 模拟 了 ２ ２ ｔ标准 车 辆荷 载匀 速 通过 ３ ２ ｍ 简支梁 的动态 响应 过程 ， 运用 Ａ ＮＳ ＹＳ软 件 建立三 维数 泊松
确 解 。１ ９ １ １ 年Ｓ ． Ｔ ｉ ｍｏ ｓ ｈ ｅ ｎ ｋ ｏ 和 １ ９ ２ ５年 Ｃ ． Ｅ ． Ｉ ｎ ｇ ｌ ｉ ｓ ［ ３ 把 移动荷 载作为周 期性荷载 ， 研 究桥梁 的动态响应 。 本 文考 虑路 面平 整度 ， 用简 谐作 用力 来模 拟移 动车 辆 荷载 ， 分 析在 不 同车辆速 度和 不 同车辆 振动 频率 下 的桥 梁 的动 态响 应 。
移动质量作用下起重机主梁固有频率分析
移动质量作用下起重机主梁固有频率分析作者：姜傲刘龙来源：《中国科技博览》2018年第23期[摘要]近年来，随着起重机的大型化，起重机动力学问题越来越得到人们的重视。
本文根据岸边集装箱起重机建立了移动质量和起重机主梁耦合系统振动方程，并根据传递矩阵法，推导出了梁段的传递矩阵，给出了耦合系统的频率方程，计算耦合系统前3阶固有频率表明，移动质量与梁耦合系统的固有频率与移动质量和梁之间的质量比和位置比有关，还与移动质量的速度有关，如用外伸梁的固有频率代替会产生较大的误差。
[关键词]移动质量；传递矩阵；固有频率中图分类号：TH215 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）23-0015-02[Abstract]In recent years， with the crane becoming large-scale， the dynamic problems of crane have attracted more and more attentions. The vibration equation of coupled system is established. Based on the method of transfer matrix， the transfer matrix is obtained， and the frequency equation of the coupled system is given. The paper also calculates the first three-order inherent frequency. The result shows that the inherent frequency of the coupled system is related to the mass ratio and position ratio of the moving mass to grider， and the speed of moving mass. Such as the natural frequency of the beam substitute coupled system will produce larger error.[Key words]moving mass； transfer matrix； inherent frequency1 引言近年来，我国装备制造业得益于国家产业政策的大力扶持，发展迅速、进步很快。
移动车辆荷载作用下大跨径连续梁桥动力响应研究
１ 引 言 移动车辆荷载作用下桥梁结构振动问题日益突
出 ：车 辆 通 过 桥 梁 时 将 引 起 桥 梁 结 构 的 振 动 ，而 桥 梁 的振动又反过来影 响 车 辆 的 振 动，即 车 辆 与 桥 梁 耦 合振动 。 ［１］ 车 辆 与 桥 梁 耦 合 振 动 问 题 一 直 备 受 关 注，其主要研究内容 可 归 结 为 ２ 类：第 一，冲 击 系 数 表达式的合理性会 直 接 影 响 桥 梁 结 构 的 安 全 性；第 二，过大振动使乘客及桥上行人产生不舒适感 。 ［２］
ｄｙｎａｍｉｃ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｈｉｇｈｗａｙ ｂｒｉｄｇｅｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｖｉｎｇ ｖｅｈｉｃｌｅ ｌｏａｄｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｇｉｒｄｅｒ ｂｒｉｄｇｅ；ｌｏｎｇ ｓｐａｎ ｂｒｉｄｇｅ；ｍｏｖｉｎｇ ｖｅｈｉｃｌｅ ｌｏａｄ；ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄ
关 键 词 ：连 续 梁 桥 ；大 跨 度 桥 梁 ；移 动 车 辆 荷 载 ；冲 击 系 数 ；振 动 加 速 度 ；动 力 响 应
中图分类号：Ｕ４４１．３；Ｕ４４８．２１５ 文献标志码：Ａ
Ｄｙｎａｍｉｃ Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ Ｌｏｎｇ Ｓｐａｎ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｇｉｒｄｅｒ Ｂｒｉｄｇｅｓ Ｕｎｄｅｒ Ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｏｖｉｎｇ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｌｏａｄｓ
王 宗 林１，高 庆 飞１，２，ＫＯＨ Ｃｈａｎ Ｇｈｅｅ２，陈 闯１，郭 斌 强３
（１．哈尔滨工业大学交通科学与工程学院，黑龙江 哈尔滨 １５００９０；２．新加坡国立大学土木与 环境工程系，新加坡 肯特岗 １１７５７６；３．浙江省交通规划设计研究院，浙江 杭州 ３１０００６）
移动荷载作用下桥梁动力响应分析
式 中： Ｅ ０ 、 。 、 Ｊ ０ 。 和 Ａ。 分别 表 示梁 在 ｚ一０处 的 杨 氏弹性 模 量、 截 面 的惯 性 矩、 密 度 以 及 截 面 积 （ ｚ， ｆ ） 为梁 变形 函数 ； 忌 （ ｚ ） 为 截 面惯 性 矩 的 变 化 函 数 ６ （ ｚ ） 一ｂ 。 ｅ ＆； ｅ（ ｒ ｘ ） 为截 面面 积 的变 化 函数 Ｃ ｒ ）
Ａｏ ｍ（ ｚ） 一 Ｆ３ （ ． Ｚ ＇ －ｃ ｔ ） 。 （ ２ ）
其在 建 筑 、 机械 、 航 空航 天 和其他 工程 创新 应 用 中的 要求 ， 它们 已 经成 为 多项 研 究 的 主题 ］ 。本 文 研 究
高度 不 变 、 宽度 按 指数 形 式 变 化 的矩 形 变 截 面 均 匀 梁在 移 动 车辆荷 载 作 用 下 的 振 动 响应 问题 ， 建 立 系 统 的振 动微 分方 程 ， 给 出了 比较精 确 的理 论解 ， 并 用 有 限差 分法 和 ＡＮＳ ＹＳ有 限元 法 进行 数 值验 证 。最 后利 用 推导 的理 论解 进行 参 数分 析 。
移 动 荷 载 作 用 下 桥 梁 动 力 响 应 分 析
张 洁 ，褚 少 辉
（ １ ． 河 北 建 筑 设 计 研 究 院有 限 公 司 ， 石 家庄 ０ ５ ０ ０ １ １ ； ２ ． 河 北 建 研 科 技 有 限公 司 ， 石家庄 ０ ５ ０ ０ ２ １ ）
摘要： 桥 梁 的振 动状 态 是 评 价 结 构 动 力 设 计 参 数 合 理 与 否 的 重 要 指 标 。变 截 面梁 可 以提 供 更 好 和 更 合 适 的质 量 和
应 力分布 ， 满 足 在建 筑 、 机械 、 航 空 航 天 和 其 他 工程 创 新 应 用 中的 要 求 。研 究 等 高度 矩 形 变 截 面 均 匀 梁 在 移 动 荷 载 作用 下的动力响应 ， 具 有 一 定 的 理 论 意义 和实 际 应 用 价 值 。建 立 了移 动 载 荷 作 用 下 ， 两 端 简 支 系 统 的控 制 方 程 ， 得 到 了精 确 的 理 论 解 ， 并 给 出 了有 限差 分 法 和 ＡＮ Ｓ Ｙ Ｓ有 限元 法 的 数 值 结 果 ， 三者互相验 证 ， 吻 合 良好 。最 后 讨 论 了 非 均 匀 系 数 、 车 辆 行 驶 速 度 Ｃ等参 数 变 化 对 系 统 动 力 响 应 的影 响 。 关键词 ： 耦合振 动 ； 移动荷 载 ； 变 截 面 桥 梁
吊车梁应变监测分析
吊车梁应变监测分析孙德涛① 陈能进（上海金艺检测技术有限公司 安徽马鞍山２４３０３２）摘 要 采用应变监测技术对桥式起重机吊车梁进行现场应变监测，通过监测数据进一步计算出各关键部位的应力水平，为判断吊车梁危险点提供了参考，为吊车梁维护策略的制订提供了决策依据，保证了桥式起重机的稳定和安全生产。
关键词 应变监测 车梁 应力 强度中图法分类号 ＴＦ３０ ＴＨ１７ ＴＰ２７４ 文献标识码 ＢＤｏｉ：１０ ３９６９／ｊ ｉｓｓｎ １００１－１２６９ ２０２３ ０４ ０２５ＡｎａｌｙｓｉｓｏｎＳｔｒａｉｎＭｏｎｉｔｏｒｉｎｇｏｆＣｒａｎｅＢｅａｍｓＳｕｎＤｅｔａｏ ＣｈｅｎＮｅｎｇｊｉｎ（ＳｈａｎｇｈａｉＪｉｎｙｉＴｅｓｔｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｍａ＇ａｎｓｈａｎ２４３０３２）ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｓｔｒａｉｎｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｉｓｕｓｅｄｔｏｃａｒｒｙｏｕｔｏｎ ｓｉｔｅｓｔｒａｉｎｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｏｎｔｈｅｃｒａｎｅｂｅａｍｏｆＯｖｅｒｈｅａｄｃｒａｎｅ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｄａｔａ，ｔｈｅｓｔｒｅｓｓｌｅｖｅｌｏｆｅａｃｈｋｅｙｐａｒｔｉｓｆｕｒｔｈｅｒｃａｌｃｕｌａｔｅｄ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｊｕｄｇｉｎｇｔｈｅｄａｎｇｅｒｏｕｓｐｏｉｎｔｓｏｆｔｈｅｃｒａｎｅｂｅａｍ，ｐｒｏｖｉｄｅｓａｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇｂａｓｉｓｆｏｒｆｏｒｍｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅｓｔｒａｔｅｇｙｏｆｔｈｅｃｒａｎｅｂｅａｍ，ａｎｄｅｎｓｕｒｅｓｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｓａｆｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆＯｖｅｒｈｅａｄｃｒａｎｅ．ＫＥＹＷＯＲＤＳ Ｓｔｒａｉｎｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ Ｃｒａｎｅｂｅａｍ Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ１ 前言吊车梁是支撑桥式起重机运行的梁结构，梁上有吊车轨道，起重机通过轨道在吊车梁上来回行驶。
移动荷载作用下非线性基础梁内共振分析
第２１卷第９期２０２３年９月动力学与控制学报J O U R N A L O FD Y N AM I C SA N DC O N T R O LV o l ．２１N o ．９S e p．２０２３文章编号:１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ２１(９)Ｇ０４１Ｇ００９D O I :１０．６０５２/１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ０６１㊀２０２３Ｇ０３Ｇ２４收到第１稿,２０２３Ｇ０５Ｇ２９收到修改稿．†通信作者E Ｇm a i l :q y ya n ＠s h u ．e d u ．c n 移动荷载作用下非线性基础梁内共振分析严巧赟†(上海大学期刊社,上海㊀２００４４４)摘要㊀研究了有限长弹性基础上梁在移动载荷作用下的内共振响应．建立了移动集中力激励的非线性粘弹性基础支承的有限长E u l e r ＧB e r n o u l l i 梁模型,并对非线性偏微分方程进行离散,在第三阶固有频率与第一阶固有频率成三倍关系时,采用多尺度方法导出了３:１内共振的可解性条件,研究了有无移动载荷时基础阻尼和非线性刚度对梁内共振条件下自由振动响应和受迫振动响应的影响规律．在此基础上,应用L y a p u n o v 第一方法确定了系统的稳定性条件．关键词㊀非线性基础梁,㊀移动载荷,㊀内共振,㊀受迫振动,㊀可解性条件中图分类号:O ３２文献标志码:AI n t e r n a lR e s o n a n c eA n a l y s i s o fN o n l i n e a rF o u n d a t i o nB e a m s u n d e rM o v i n g Lo a d s Y a nQ i a o yu n †(P e r i o d i c a l sA g e n c y o f S h a n g h a iU n i v e r s i t y ,S h a n gh a i ㊀２００４４４,C h i n a )A b s t r a c t ㊀T h e i n t e r n a l e x t e r n a l r e s o n a n c e r e s p o n s e o f a b e a mo n a f i n i t e l e n gt h e l a s t i c f o u n d a t i o nu n d e r m o v i n g l o a d s i s s t u d i e d ．Af i n i t e l e n g t hE u l e r ＧB e r n o u l l i b e a m m o d e l s u p po r t e d o n a n o n l i n e a r v i s c o e l a s t i c f o u n d a t i o n e x c i t e db y am o v i n g c o n c e n t r a t e d f o r c e i s e s t a b l i s h e d ,a n d t h e n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e Ｇq u a t i o n i sd i s c r e t i z e d ．W h e nt h e t h i r d Ｇo r d e rn a t u r a l f r e q u e n c y a n dt h e f i r s t Ｇo r d e rn a t u r a l f r e q u e n c y ar e t h r e e t i m e s r e l a t e d ,t h e s o l v a b i l i t y c o n d i t i o n f o r ３:１i n t e r n a l r e s o n a n c e i sd e r i v e db y u s i n g am u l t i Ｇs c a l e m e t h o d ．T h ee f f e c t so f f o u n d a t i o nd a m p i n g a n dn o n l i n e a rs t i f f n e s so nt h ef r e ev i b r a t i o nr e s p o n s ea n d f o r c e dv i b r a t i o n r e s p o n s e o f a b e a mu n d e r i n t e r n a l r e s o n a n c e c o n d i t i o n sw i t h o rw i t h o u tm o v i n g l o a d s a r e s t u d i e d ．O n t h i s b a s i s ,t h e s t a b i l i t y c o n d i t i o n s o f t h e s y s t e ma r e d e t e r m i n e db y u s i n g t h e f i r s tL y a p u n o v m e t h o d ．K e y wo r d s ㊀n o n l i n e a r b a s i cb e a m ,㊀m o v i n g l o a d ,㊀i n t e r n a l r e s o n a n c e ,㊀f o r c e dv i b r a t i o n ,㊀s o l v a b i l i t y c o n d i t i o n引言移动荷载下基础梁能够作为很多工程结构的力学模型,例如,受到来自高速㊁重载车辆的作用的非线性基础路面结构．研究移动载荷作用下基础梁的振动分析是结构动力学中的一个重要课题,也是机械㊁桥梁和铁路工程等不同学科的研究热点．G h a ye s h 等[１]以３:１内共振为例,采用数值的方法研究了梁轴向运动引起的纵向和横向耦合非线性振动的动力学特性,根据不同的参数分析其表现出的动态特性．H u 等[２]利用多尺度法,得到了空间轨道系留系统中两弹簧悬挂的空间柔性梁的内动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷共振条件,研究了内共振对姿态稳定性的影响以及构件间能量传递趋势的影响．D i n g等[３]在３:１内共振条件下,研究了粘弹性移动梁受迫振动的稳态周期响应,采用数值算例分析了粘弹性行为对稳态周期响应的影响．W a n g等[４]采用输送流体线性梁和非线性弹簧来模拟在弹性基础上放置的流体输送管的振动,用多尺度法求出了各模态在稳态下的频率响应,并用各模态的振幅来检验内共振,通过改变流体的流速来分析系统的稳定性．W a n g和D i n g[５]研究了悬臂梁的非线性自由振动㊁１/３超谐共振以及重力引起的３:１内共振,采用时间多尺度方法,获得其对应振动的模态响应,运用谐波平衡法求解超谐波共振中的激励分量和模型的挠度,研究了重力引起的内部共振对垂直悬臂梁非线性振动的动态影响．G u i l l o t等[６]对压电片梁中１:３内共振现象,以实验和理论的方法进行了研究．D i n g 等[７]采用直接多尺度方法研究了非线性振动对轴向运动梁的应力分布和疲劳寿命的影响,揭示了内共振对V型带稳态响应和疲劳寿命的影响．Y o u n e s i a n等[８]采用G a l e r k i n方法建立了微梁的无量纲运动控制方程,结合多尺度方法求解非线性方程组,并确定了主共振和次共振条件,研究了不同谐振情况下的谐波响应．顾伟等[９]研究了预变形叶片在变速条件下的非线性动力学行为,详细研究了温度梯度㊁阻尼㊁转速扰动幅度等系统参数对叶片动态响应的影响,在２:１内共振条件下,研究了立方项对方程的影响．毕勤胜和陈予恕[１０]分析了复摆自治系统在１:１内共振时的混沌和分岔特性．魏明海等[１１]研究了内共振和外共振联合作用下的索－梁组合结构非线性振动问题．在众多关于飞线振动的研究成果中,与道路相关的非线性系统内－外联合共振的研究鲜有报道．目前对于连续体的共振问题多是将连续体以梁或板的形式进行研究[１２Ｇ１４]．杨予等[１５]将桥简化为简支梁,研究其在均布移动载荷作用下的振动响应,指出梁的动态响应与其自振频率㊁载荷的行驶频率和荷载与梁质量的振动相关．刘涛等[１６]分析了轴向运动速度和材料的非均匀性对轴向运动功能梯度梁发生共振时的影响．M a r tín e zＧC a s t r o[１７]以时变模态方程得到了移动荷载作用下非均匀多跨E u l e rＧB e r n o u l l i梁的时域半解析解,并证实了该方法具有很高的精度和鲁棒性．张弛等[１８]针对轴向移动梁结构,讨论了边界支撑参数对振动的影响．Y o u n e s i a n等[１９]采用G a l e r k i n方法结合多尺度方法求解非线性运动控制方程,研究了由非线性粘弹性基础支承的裂纹梁的频率响应,分析了不同参数对频率响应解的影响．D i n g等[２０]着眼于车辆与路面的耦合非线性振动问题,将路面建模为非线性基础上的T i m o s h e n k o梁,研究了汽车－路面耦合系统的动力学响应．本文建立了在移动载荷作用下的非线性粘弹性基础上的有限长E u l e rＧB e r n o u l l i梁,且系统的第三阶固有频率与第一阶固有频率成三倍关系,用多尺度法得到内共振条件下非线性系统的自由振动和强迫振动响应．通过参数分析,研究了不同参数对系统动态响应的影响规律．１㊀非线性粘弹性基础梁模型考虑在移动载荷作用下基于非线性粘弹性K e l v i n基础的有限长E u l e rＧB e r n o u l l i梁模型,如图１所示．基础梁密度为ρ,梁的宽度和厚度分别为b 和h,惯性矩为I,路面长度为L,弹性模量是E．非线性K e l v i n基础模型可以如下表示[２１,２２]:图１㊀非线性粘弹性基础上的有限E u l e rＧB e r n o u l l i梁示意图F i g．１㊀F i n i t eE u l e rＧB e r n o u l l i b e a mo nn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i c f o u n d a t i o nP＝k１Y＋k３Y３＋μ∂Y∂T(１)其中,P是在梁上任意点发生位移的力,k１和k３分别是基础的线性刚度和非线性刚度系数,μ是基础的阻尼系数．根据E u l e rＧB e r n o u l l i梁理论,K e lＧv i n基础系统的控制微分方程可以表示为E I∂４w∂X４＋ρA∂２w∂T２＋k１w＋k３w３＋μ∂w∂T＝㊀Fδ(X－V T)(２)假定梁两端均为简支,因此,边界条件如下: w(X,T)X＝０＝w(X,T)X＝L＝０,E I∂ψ∂X(X,T)X＝０＝E I∂ψ∂X(X,T)X＝L＝０(３)２４第９期严巧赟:移动荷载作用下非线性基础梁内共振分析根据边界条件,梁的位移函数的表达式如下:w (X ,T )＝ð¥i ＝１q i (T )φi (X )(４)其中,φi (X )表示第i 阶模态函数,q i (T )表示关于时间T 的第i 阶广义位移．梁的模态函数表示为φi (X )＝s i n i πXL(５)将式(４)代入式(２)得,ðni ＝１[qi(T )＋２εμ^qi(T )＋ω２i q i (T )]s i n i πX L ＋㊀k ^３[ðni ＝１q i (T )s i n i πX L ]３＝εL f δ(X －V T )(６)其中,μρA ＝２εμ^,k １ρA ＋i ４π４E I ρA L ４＝ω２i ,k ３ρA ＝k ^３,F ρA ＝L２εf ,ε为小参数(０＜ε≪１)．根据三角函数的正交性,上式等号两边同时乘以φm (X )＝s i n m πXL ,然后在区间长度[０,L ]上进行积分,取G a l e r k i n 截断前三阶来求解,可得:q１(T )＋ω２１q １(T )＝－２εμ^q１(T )＋ε(－α１q ３１－㊀α２q ２１q ３－α３q １q ２２－α４q １q ２３－α５q ２２q３)＋㊀εfs i n (Ω１T )(７)q２(T )＋ω２２q ２(T )＝－２εμ^q２(T )＋㊀ε(－α６q ２１q ２－α７q １q ２q ３－α８q ３２－㊀α９q ２q ２３)＋εfs i n (Ω２T )(８)q３(T )＋ω２３q ３(T )＝－２εμ^q３(T )＋㊀ε(－α１０q ３１－α１１q ２１q ３－α１２q １q ２２－α１３q ２２q ３－㊀α１４k ^３q ３３)＋εfs i n (Ω３T )(９)其中,Ωi ＝(i πV )/L ,α２＝－３/４k ^３,α１＝α５＝α８＝α１２＝α１４＝３/４k ^３,α３＝α４＝α６＝α７＝α９＝α１１＝α１３＝３/２k ^３,α１０＝－１/４k ^３．运用多尺度法,将方程的解设为q i ＝q i ０(T ０,T １)＋εqi １(T ０,T １)＋ (１０)其中,T n ＝εnt (n ＝１,２,３, ),将式(１０)代入式(７)~(９)可得:ε０阶:D ２０q １０＋ω２１q １０＝０(１１)D ２０q ２０＋ω２２q２０＝０(１２)D ２０q ３０＋ω２３q ３０＝０(１３)ε１阶:D ２０q １１＋ω２１q １１＝－２D ０D １q １０－２μ^D ０q １０－㊀α１q ３１０－α２q ２１０q ３０－α３q １０q ２２０－α４q １０q ２３０－㊀α５q ２２０q３０＋f s i n (Ω１T )(１４)D ２０q ２１＋ω２２q ２１＝－２D ０D １q ２０－２μ^D ０q ２０－㊀α６q ２１０q ２０－α７q １０q ２０q ３０－α８q ３２０－α９q ２０q２３０＋㊀２fs i n (Ω２T )(１５)D ２０q ３１＋ω２３q ３１＝－２D ０D １q ３０－２μ^D ０q ３０－㊀α１０k ^３q ３１０－α１１q ２１０q ３０－α１２q １０q２２０－㊀α１３q ２２０q ３０－α１４q ３３０＋２fs i n (Ω３T )(１６)由式(１１)~(１３)可以得到下列解的形式．q１０＝A １(T １)e j ω１T ０＋c c (１７)q２０＝A ２(T １)e jω２T ０＋cc (１８)q３０＝A ３(T １)e j ω２T ０＋c c (１９)其中,为上式中所对应的共轭项．将式(１７)~(１９)代入到式(１４)~(１６)可得:D ２０q １１＋ω２１q１１＝－２j ω１A ᶄ１e j ω１T ０＋２j ω１A －ᶄ１e －j ω１T ０－２j μ^ω１A １e j ω１T ０＋２j μ^ω１A －１e －j ω１T ０＋(－α１A ３１e ３j ω１T ０－３α１A ２１A －１e j ω１T ０－３α１A １A －２１e －j ω１T ０－α１A －３１e －３j ω１T ０－α２A ２１A ３e j (２ω１＋ω３)T ０－２α２A １A －１A ３e j ω３T ０－α２A －２１A ３e －j (２ω１－ω３)T ０－α２A ２１A －３e j (２ω１－ω３)T ０－２α２A １A －１A －３e －j ω３T ０－α２A －２１A －３e －j (２ω１＋ω３)T ０－α３A １A ２２e j (ω１＋２ω２)T ０－２α３A １A ２A －２e j ω１T ０)－α３A １A －２１e j (ω１－２ω２)T ０－α３A －１A ２２e －j (ω１－２ω２)T ０－２α３A －１A ２A －２e －j ω１T ０－α３A －１A －２２e －j (ω１＋２ω２)T ０－α４A １A ２３e j (ω１＋２ω３)T ０－２α４A １A ３A －３e j ω１T ０)－α４A １A －２３e j (ω１－２ω３)T ０－α４A －１A ２３e －j (ω１－２ω３)T ０－２α４A －１A ３A －３e －j ω１T ０－α４A －１A －２３e －j (ω１＋２ω３)T ０－α５A ２２A ３e j (２ω２＋ω３)T ０－２α５A ２A －２A ３e j ω３T ０)－α５A －２２A ３e －j (２ω２－ω３)T ０－α５A ２２A －３e j (２ω２－ω３)T ０－２α５A ２A －２A －３e －j ω３T ０－α５A －２２A －３e －j (２ω２＋ω３)T ０＋１/２f (e j (Ω１T －π２)＋e －j (Ω１T －π２))(２０)D ２０q ２１＋ω２２q２１＝－２j ω２A ᶄ２e j ω２T ０＋２j ω２A －ᶄ２e －j ω２T ０－２j μ^ω２A ２e j ω２T ０＋２j μ^ω２A －２e －j ω２T ０＋(－α６k ^３A ２１A ２e j (２ω１＋ω２)T ０－２α６A －１A １A ２e j ω２T ０－α６A －２１A ２e －j (２ω１－ω２)T ０－α６A ２１A －２e j (２ω１－ω２)T ０－２α６A －１A １A －２e －j ω２T ０－α６A －２１A －２e －j (２ω１＋ω３)T ０－α７A １A ２A ３e j (ω１＋ω２＋ω３)T ０－α７A －１A ２A ３e －j (ω１－ω２－ω３)T ０)－３４动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷α７A１A－２１e j(ω１－２ω２)T０－α３A－１A２２e－j(ω１－２ω２)T０－α７A１A２A－３e j(ω１＋ω２－ω３)T０－α７A－１A２A－３e－j(ω１－ω２＋ω３)T０－α７A１A－２A－３e j(ω１－ω２－ω３)T０－α７A－１A－２A－３e－j(ω１＋ω２＋ω３)T０)－α８A３２e３jω２T０－３α８A２２A－２e jω２T０－３α８A２A－２２e－jω２T０－α８A－３２e－３jω２T０－α９A２A２３e j(ω２＋２ω３)T０－２α９A２A－３A３A３e jω２T０)－α９A２A－２３e j(ω２－２ω３)T０－α９A－２A２３e－j(ω２－２ω３)T０－２α９A－２A－３A３e－jω２T０－α９A－２A－２３e－j(ω２＋２ω３)T０＋f(e j(Ω２T－π２)＋e－j(Ω２T－π２))(２１) D２０q３１＋ω２３q３１＝－２jω３Aᶄ３e jω３T０＋２jω３A－ᶄ３e－jω３T０－２jμ^ω３A３e jω３T０＋２jμ^ω３A－３e－jω３T０＋(－α１０A３１e３jω１T０－３α１０A２１A－１e jω１T０－３α１０A１A－２１e－jω１T０－α１０A－３１e－３jω１T０－α１１A２１A３e j(２ω１＋ω３)T０－２α１１A１A－１A３e jω３T０－α１１A－２１A３e－j(２ω１－ω３)T０－α１１A２１A－３e j(２ω１－ω３)T０－２α１１A１A－１A－３e－jω３T０－α１１A－２１A－３e－j(２ω１＋ω３)T０－α１２A１A２２e j(ω１＋２ω２)T０－２α１２A１A２A－２e jω１T０)－α１２A１A－２２e j(ω１－２ω２)T０－α１２A－１A２２e－j(ω１－２ω２)T０－２α１２A－１A２A－２e－jω１T０－α１２A－１A－２２e－j(ω１＋２ω２)T０－α１３A２２A３e j(２ω２＋ω３)T０－２α１３A２A－２A３e jω３T０)－α１３A－２２A３e－j(２ω２－ω３)T０－α１３A２２A－３e j(２ω２－ω３)T０－２α１３A２A－２A－３e－jω３T０－α１３A－２２A－３e－j(２ω２＋ω３)T０－α１４A３３e３jω３T０－３α１４A２３A－３e jω３T０)－３α１４A３A－２３e－jω３T０－α１４A－３３e－３jω３T０－f(e j(Ω３T－π２)＋e－j(Ω３T－π２))(２２)２㊀３:１内共振条件下的稳定性分析为研究３:１内共振下基础梁的自由振动和强迫振动响应,将系统第３阶模态的共振频率与第１阶模态共振频率的３倍设为相近,即,进而可以确定基础的线性刚度．其中,以及下文提到的均为引入的调谐因子．２．１㊀３:１内共振下的自由振动分析自由振动,即考虑在无移动载荷作用下的振动响应．消除久期项的条件为:－２jω１Aᶄ１－２jμ^ω１A１－３α１A２１A－１－㊀α２A－２１A３e jσ１T１－２α３A１A２A－２－㊀２α４A１A３A－３＝０(２３)－２jω２Aᶄ２－２jμ^ω２A２－２α６A－１A１A２－㊀３α８A２２A－２－２α９A２A－３A３＝０(２４)－２jω３Aᶄ３－２jμ^ω３A３－α１０A３１e－jσ１T１－㊀２α１１A１A－１A３－２α１３A２A－２A３－３α１４A２３A－３＝０(２５)令A１＝１/２a１e jβ１㊁A２＝１/２a２e jβ２和A３＝１/２a３e jβ３,并代入到上式,再分离实部和虚部,可得:ω１βᶄ１a１－３/８α１a３１－１/８α２a２１a３c o sγ－㊀１/４α４a１a２２－１/４α４a１a２３＝０(２６)－ω１aᶄ１－a１μ^ω１－１/８α２a２１a３s i nγ＝０(２７)ω２βᶄ２a２－１/４α６a２１a２－１/４α９a２a２３－㊀３/８α８a３２＝０(２８)－ω２aᶄ２－μ^ω２a２＝０(２９)ω３βᶄ３a３－１/８α１０a３１c o sγ－１/４α１１a２１a３－㊀１/４α１３a２２a３－３/８α１４a３３＝０(３０)－ω３aᶄ３－μ^ω３a３＋１/８α１０a３１s i nγ＝０(３１)其中,γ＝σ１T１＋β３－３β１．式(２９)在稳态条件下的响应为a２＝０(３２)由式(２７)㊁式(３１)和式(３２)可得:a１aᶄ１＋ω３α２ω１α１０a３aᶄ３＝－μ^a２１－ω３α２ω１α１０μ^a３(３３)令f１３(T１)＝a２１＋ω３α２ω１α１０a２３,将其代入式(３３),可得: d f１３(T１)d T１＝－２μ^f１３(T１)(３４)由式(３４)可得:f１３(T１)＝C e－２μ^T１(３５)其中C为大于０的常数．从式(３５)可以看出,当T１➝＋ɕ时,f１３(＋ɕ)＝０,从而理论分析上可以说明系统是随着时间逐渐衰减为０．同样,在时域下变量a１和a３的数值解可由式(２６)~式(３１)得到,如图２~图７所示．图２通过数值仿真给出了系统在自由振动下的衰减过程．阻尼和非线性刚度对系统自由振动的影响如图３所示．从图３(a)和３(c)可以看出随着阻尼增加,系统的衰减速度就会越快;图３(b)和３(d)可以４４第９期严巧赟:移动荷载作用下非线性基础梁内共振分析看出,非线性刚度会增加系统的振动频率,但对其衰减速度基本无影响．图２㊀自由振动下幅值的衰减过程F i g ．２㊀A t t e n u a t i o n p r o c e s s o f a m pl i t u d eu n d e r f r e e v i b r a t i o n (a)阻尼系数对的影响(b)非线性刚度系数对的影响(c)阻尼系数对的影响(d)非线性刚度系数对的影响图３㊀自由振动下参数对系统响应的影响F i g ．３㊀I n f l u e n c e o f p a r a m e t e r s o ns y s t e mr e s po n s e u n d e r f r e e v i b r a t i o n２．２㊀３:１内共振下的受迫振动分析在３:１内共振(即ω３ʈ３ω１时)下分别分析Ω１ʈω１㊁Ω２ʈω２和Ω３ʈω３时系统发生强迫共振条件．(１)情况I :Ω１ʈω１假定㊀Ω１＝ω１＋εσ２(３６)消除久期项,并分离实部和虚部,可以得到:ω１βᶄ１a １－３/８α１a ３１－１/４/α４a １a ２２－１/４α４a １a ２３－㊀１/８α２a ２１a ３c o s γ１＋f /２c o s γ２＝０(３７)－ω１a ᶄ１－μ^ω１a １－１/８α２a ２１a ３s i n γ１＋㊀f/２s i n γ２＝０(３８)ω２βᶄ２a ２－１/４α６a ２１a ２－１/４α９a ２a ２３－㊀３/８α８a ３２＝０(３９)－ω２a ᶄ２－μ^ω２a ２＝０(４０)ω３βᶄ３a ３－１/８α１０a ３１c o s γ１－１/４α１１a ２１a ３－㊀１/４α１３a ２２a ３－３/８α１４a ３３＝０(４１)－ω３a ᶄ３－μ^ω３a ３＋１/８α１０a ３１s i n γ１＝０(４２)其中,γ１＝σ１T １＋β３－３β１,γ２＝σ２T １－β１－π/２．(２)情况I I :Ω２ʈω２假定㊀Ω２＝ω２＋εσ２(４３)消除久期项,并分离实部和虚部,可以得到:ω１βᶄ１a １－３/８α１a ３１－１/４α４a １a ２２－１/４α４a １a ２３－㊀１/８α２a ２１a ３c o s γ１＝０(４４)－μ^ω１a １－１/８α２a ２１a ３s i n γ１＝０(４５)ω２σ２a ２－１/４/α６a ２１a ２－１/４α９a ２a ２３－㊀３/８α８a ３２＋f /２c o s γ２＝０(４６)－μ^ω２a ２＋f /２s i n γ２＝０(４７)ω３(３βᶄ１－σ１)a ３－１/８α１０a ３１c o s γ１－１/４α１１a ２１a ３－㊀１/４α１３a ２２a ３－３/８α１４a ３３＝０(４８)－μ^ω３a ３＋１/８α１０a ３１s i n γ１＝０(４９)５４动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷其中,γ１＝σ１T１＋β３－３β１,γ２＝σ２T１－β２－π/２．(３)情况I I I:Ω３ʈω３假定㊀Ω３＝ω３＋εσ３(５０)消除久期项,并分离方程的实部和虚部可以得到式(５１)~式(５６)．ω１βᶄ１a１－３/８α１a３１－１/８α２a２１a３c o sγ－㊀１/４α４a１a２２－１/４α４a１a２３＝０(５１)－ω１aᶄ１－a１μ^ω１－１/８α２a２１a３s i nγ＝０(５２)ω２βᶄ２a２－１/４α６a２１a２－１/４α９a２a２３－㊀３/８α８a３２＝０(５３)－ω２aᶄ２－μ^ω２a２＝０(５４)ω３(３βᶄ１－σ１)a３－１/８α１０a３１c o sγ１－㊀１/４α１１a２１a３－１/４α１３a２２a３－㊀３/８α１４a３３＋１/２f c o sγ２＝０(５５)－μ^ω３a３＋１/８α１０a３１s i nγ１＋１/２f s i nγ２＝０(５６)其中,γ１＝σ１T１＋β３－３β１,γ２＝σ２T１－β３－π/２．(４)稳定性分析有限长梁和非线性基础的物理几何参数如表１所示．以情况I为例分析系统的稳定性,观察方程组式(３７)~式(４２)可以看出稳态下aᶄ２＝a２＝０,则方程组可以写为ω１βᶄ１a１－３/８α１a３１－１/４α４a１a２３－㊀１/８α２a２１a３c o sγ１＋f/２c o sγ２＝０(５７)－ω１aᶄ１－μ^ω１a１＋f/２s i nγ２＝０(５８)ω３βᶄ３a３－１/８α１０a３１c o sγ１－１/４α１１a２１a３－㊀３/８α１４a３３＝０(５９)－ω３aᶄ３－μ^ω３a３＋１/８α１０a３１s i nγ１＝０(６０)又因为βᶄ３＝γᶄ１－３γᶄ２＋３σ２－σ１(６１)βᶄ１＝σ２－γᶄ２(６２)表１㊀基础梁和移动载荷的物理几何参数[１]T a b l e１㊀P h y s i c a l g e o m e t r i c p a r a m e t e r s o f f o u n d a t i o nb e a m s a n dm o v i n g l o a d参数符号数值弹性模量(G P a)E６．９９８密度(k g/m３)ρ２３７３厚度(m)h０．１５宽度(m)b１．０长度(m)L１６０移动荷载(k N)F５０将式(６１)和式(６２)代入式(５７)~式(６０)可得, aᶄ１＝－μ^a１－α２８ω１a２１a３s i nγ１＋f２ω１s i nγ２(６３)aᶄ３＝－μ^a３＋α１０８ω３k^３a３１s i nγ１(６４)γᶄ１＝σ１＋(α１１４ω３－９α１８ω１k^３)a２１＋(３α１４８ω３－㊀３α４４ω１)a２３＋(α１０８ω３a３a３１－３α２８ω１a１a３)c o sγ１＋㊀３f２a１ω１c o sγ２(６５)γᶄ２＝σ２－３α１８ω１a２１－α４４ω１a２３－α２８ω１a１a３c o sγ１＋㊀f２a１ω１c o sγ２(６６)以[a１,a３,γ１,γ２]T为状态向量,通过线性化式(６３)~式(６６)可以得到J a c o b i a n矩阵J＝J１１J１２J１３J１４J２１J２２J２３J２４J３１J３２J３３J３４J４１J４２J４３J４４éëêêêêêêùûúúúúúú(６７)其中J１１＝－μ^－α２４ω１a１a３s i nγ１,J１２＝－α２８ω１a２１s i nγ１,J１３＝－α２８ω１a２１a３c o sγ１,J１４＝f２ω１c o sγ２,J２１＝３α１０８ω３k^３a１s i nγ１,J２２＝－μ^,J２３＝α１０８ω３k^３a３１c o sγ１,J２４＝０,J３１＝(α１１２ω３－９α１４ω１k^３)a１＋㊀(２α１０８ω３a３a２１－３α２８ω１a３)c o sγ１－３f２a２１ω１c o sγ２,J３２＝(３α１４４ω３－３α４２ω１)a３＋㊀(－α１０８ω３a２３a３１－３α２８ω１a１)c o sγ１,J３３＝－(α１０８ω３a３a３１－３α２８ω１a１a３)s i nγ１,J３４＝－３f２a１ω１s i nγ２,J４１＝－３α１４ω１a１－α２８ω１a３c o sγ１－f２a２１ω１c o sγ２,６４第９期严巧赟:移动荷载作用下非线性基础梁内共振分析J ４２＝－α４２ω１a ３－α２８ω１a １c o s γ１,J ４３＝α２８ω１a １a ３s i n γ１,J ４４＝－f２a １ω１s i n γ２根据L y a pu n o v 第一方法,可以判定:若矩阵J 的特征值的实部全为负则系统稳定,反之系统不稳定．本文根据以上所述的方法,分别给出了在情况I ㊁情况I I 和情况I I I 下当k ３＝８ˑ１０９．９N /m ４时的稳定性分析图,如图４~图６所示．(a)第一阶模态主共振响应(b)第三阶模态主共振响应(c)特征值实部的变化情况图４㊀k ３＝８ˑ１０９．９N /m ４时,幅频响应及其稳定性(情况Ⅰ)F i g ．４㊀A m p l i t u d e Ｇf r e q u e n c y r e s p o n s e a n d i t s s t a b i l i t y at k ３＝８ˑ１０９．９N /m ４(C a s eⅠ)图４(c)画出了情况Ⅰ下特征值实部的变化情况,可以看出在区间(σ２B ,σ２A ),即３８．４５＜σ２＜１３２．１５时,系统存在正实特征值,则该部分存在不稳定解,其它部分为１个稳定解．与图４(c )相对应的,图４(a )和图４(b )分别给出了第一阶模态和第三阶模态的幅频相应图．同时,结合表２可知由A和C 点计算得到的J a c o b i a n 矩阵特征值都具有负实部,可以判定A 和C 点所在的曲线为稳定解用实线表示;由B 点计算得到的J a c o b i a n 矩阵特征值实部中有两个具有正实部,可以判定B 点所在的曲线为不稳定解用虚线表示．表２㊀图４标注各点所对应的J a c o b i a n 矩阵特征值T a b l e ２㊀F i g u r e ４s h o w s t h e e i ge n v a l u e s of J a c o b i a n m a t r i x c o r r e s p o n d i ng to e a c h p o i n t ABCλ１－８４５．０＋３０３０．２j ２２６９．２０＋０．００j －８４２．８＋９８１１．０j λ２－８４５．０－３０３０．２j－３９６０．５０＋０．００j－８４２．８－９８１１．０jλ３－３７９０．５＋２８０４５．１j －３７９０．３９＋２８２０１．７j －３７９２．７＋２９８３５．７jλ４－３７９０．５－２８０４５．１j －３７９０．３９－２８２０１．７j －３７９２．７－２９８３５．７j运用同样的方法分别判断了系统在情况Ⅱ和情况Ⅲ下的稳定性．从图５(a )和图５(b )可以看出在区间(σ２B ,σ２A ),即３８．１６＜σ２＜１３１．６７时,系统存在２个稳定解和１个不稳定解,其它部分为稳定解．从图６(a )和图６(b )可以看出在区间(σ２A ,σ２C )和(σ２F ,σ２B ),系统存在２个稳定解和１个不稳定解;在区间(σ２C ,σ２E ),系统存在３个稳定解和２个不稳定解;在区间(σ２E ,σ２D ),系统存在３个稳定解和４个不稳定解;在区间(σ２D ,σ２F ),系统存在２个稳定解和３个不稳定解,其它区间只存在１个稳定解．(a)第二阶模态主共振响应７４动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷(b)第二阶模态特征值实部的变化情况图５㊀k３＝８ˑ１０９．９N/m４时,幅频响应及其稳定性(情况Ⅱ)F i g．５㊀A m p l i t u d eＧf r e q u e n c y r e s p o n s e a n d i t s s t a b i l i t y a tk３＝８ˑ１０９．９N/m４(C a s eⅡ)(a)第三阶模态主共振响应(b)第三阶模态特征值实部的变化情况图６㊀k３＝８ˑ１０９．９N/m４时,幅频响应及其稳定性(情况Ⅲ)F i g．６㊀A m p l i t u d eＧf r e q u e n c y r e s p o n s e a n d i t s s t a b i l i t y a tk３＝８ˑ１０９．９N/m４(C a s eⅢ)３㊀结论研究了在移动荷载作用下非线性粘弹性基础梁的振动问题．采用G a l e r k i n方法对非线性偏微分运动方程进行离散,并利用多尺度法求解了非线性运动控制方程．在此基础上,研究了非线性基础梁在３:１内共振下的自由振动,以及在内共振作用下梁受外激励作用的第一㊁第二和第三阶模态主共振的非线性动力学行为及其动力学响应的稳定性问题．研究揭示了基础参数对内共振下弹性梁振动响应的影响规律,并发现在发生第三阶主共振时,幅频响应中会出现７个解支,包括３个稳定解支和４个不稳定解支．参考文献[１]G HA Y E S H M H,K A Z E M I R A DS,AMA B I L IM．C o u p l e d l o n g i t u d i n a lＧt r a n s v e r s ed y n a m i c so f a na x iＧa l l y m o v i n gb e a m w i t ha ni n t e r n a lr e s o n a nc e[J]．M e c h a n i s ma n d M a c h i n e T h e o r y,２０１２,５２:１８－３４．[２]HU W P,Y EJ,D E N GZC．I n t e r n a l r e s o n a n c e o f af l e x i b l eb e a mi na s p a t i a l t e t h e r e d s y s t e m[J]．J o u rＧn a l o f S o u n da n dV i b r a t i o n,２０２０,４７５:１１５２８６．[３]D I N G H,HU A N GLL,MA O XY,e t a l．P r i m a r y r e s o n a n c e o f t r a v e l i n g v i s c o e l a s t i cb e a mu n d e r i n t e rＧn a lr e s o n a n c e[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n d M eＧc h a n i c sＧE n g l i s hEd i t i o n,２０１７,３８(１):１－１４．[４]WA N G Y R,W E IY H．I n te r n a l r e s o n a n c e a n a l y s i s of a f l u i dＧc o n v e y i ng t u b e r e s t i n g o n an o n l i n e a r e l a sＧt i c f o u n d a t i o n[J]．E u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a lP l u s,２０２０,１３５(４):３６４．[５]WA N GGX,D I N G H,C H E NLQ．D y n a m i c e f f e c t o f i n t e r n a l r e s o n a n c ec a u s e db yg r a v i t y o nt h en o nＧl i n e a rv i b r a t i o n o fv e r t i c a lc a n t i l e v e r b e a m s[J]．J o u r n a l o f S o u n d a n dV i b r a t i o n,２０２０,４７４:１１５２６５．[６]G U I L L O T V,G I V O I SA,C O L I N M,e t a l．T h e oＧr e t i c a l a n de x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o no f a１:３i n t e rＧn a l r e s o n a n c ei nab e a m w i t h p i e z o e l e c t r i c p a t c h e s[J]．J o u r n a l o fV i b r a t i o n a n dC o n t r o l,２０２０,２６(１３Ｇ１４):１１１９－１１３２．[７]D I N G H,HU A N GLL,D OW E L LE,e t a l．S t r e s sd i s t r i b u t i o n a n d f a t i g ue l if eo fn o n l i n e a rv i b r a t i o no fa na x i a l l y m o v i n gb e a m[J]．Sc i e n c eC h i n aT e c h n oＧl o g i c a l S c i e n c e s,２０１９,６２(７):１１２３－１１３３．[８]Y O U N E S I A N D,S A D R I M,E S MA I L Z A D E H E．P r i m a r y a n d s e c o n d a r y r e s o n a n c e a n a l y s e s o fc l a m p e dＧc l a m p ed m i c r oＧbe a m s[J]．N o n l i n e a r D yＧn a m i c s,２０１４,７６(４):１８６７－１８８４．[９]顾伟,张博,丁虎,等．２:１内共振条件下变转速预变形叶片的非线性动力学响应[J]．力学学报,８４第９期严巧赟:移动荷载作用下非线性基础梁内共振分析２０２０,５２(７):１１３１－１１４２．G U W,Z HA N GB,D I N G HU,e t a l．N o n l i n e a r d yＧn a m i c r e s p o n s eo f p r eＧd e f o r m e db l a d ew i t hv a r i a b l er o t a t i o n a l s p e e du n d e r２:１i n t e r n a lr e s o n a n c e[J]．C h i n e s e J o u r n a l o fT h e o r e t i c a l a n dA p p l i e d M e c h a nＧi c s,２０２０,５２(７):１１３１－１１４２．(i nC h i n e s e) [１０]毕勤胜,陈予恕．双摆内共振分岔分析[J]．应用数学和力学,２０００,２１(３):２２６－２３４．B IQS,C H E N YS．B i f u r c a t i o n a n a l y s i s o f a d o u b l ep e n d u l u m w i t h i n t e r n a l r e s o n a n c e[J]．A p p l i e dM a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s,２０００,２１(３):２２６－２３４．(i nC h i n e s e)[１１]魏明海,肖仪清．内外共振联合作用下索－梁组合结构非线性振动分析[J]．振动与冲击,２０１２,３１(７):７９－８４．W E IH M,X I A O Y Q．N o n l i n e a r v i b r a t i o n a n a l y s i sf o r a c a b l eＧb e a mc o u p l e d s y s t e mu n d e r s i m u l t a n e o u si n t e r n a l a n de x t e r n a l r e s o n a n c e s[J]．V i b r a t i o na n dS h o c k,２０１２,３１(７):７９－８４．(i nC h i n e s e) [１２]L I SH,Y A N GSP,C H E N L Q,e t a l．E f f e c t so f p a r a m e t e r s o nd y n a m i cr e s p o n s e s f o rah e a v y v e h iＧc l eＧp a v e m e n tＧf o u nd a t i o n c o u p le ds y s t e m[J]．I n t e rＧn a t i o n a l J o u r n a lo f H e a v y V e h i c l eS y s t e m s,２０１２,１９(２):２０７－２２４．[１３]D I N G H,C H E N L Q．A p p r o x i m a t ea n dn u m e r i c a la n a l y s i s o f n o n l i n e a r f o r c e dv ib r a t i o no f a x i a l l y m o vＧi n g v i s c o e l a s t i cb e a m s[J]．A c t a M e c h a n i c aS i n i c a,２０１１,２７(３):４２６－４３７．[１４]D O N GZ J,MAXY．A n a l y t i c a l s o l u t i o n s o f a s p h a l t p a v e m e n t r e s p o n s e su n d e r m o v i n g l o a d s w i t ha r b iＧt r a r y n o nＧu n i f o r mt i r e c o n t a c t p r e s s u r e a n d i r r e g u l a rt i r e i m p r i n t[J]．R o a d M a t e r i a l sa n dP a v e m e n tD eＧs i g n,２０１８,１９(８):１８８７－１９０３．[１５]杨予,滕念管,黄醒春,等．承受移动均布质量的简支梁振动反应分析[J]．振动与冲击,２００５,２４(３):１９－２２＋６．Y A N GY,T E N GNG,HU A N GXC,e t a l．V i b r aＧt i o na n a l y s i so fas i m p l y s u p p o r t e db e a mt r a v e r s e db y u n i f o r m d i s t r i b u t e d m o v i n g m a s s[J]．V i b r a t i o na n dS h o c k,２００５,２４(３):１９－２２＋６．(i nC h i n e s e)[１６]刘涛,周洋忻,胡伟鹏．轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析[J]．动力学与控制学报,２０２２,２０(６):１０１－１０５．L I U T,Z HO U Y X,HU W P．S t r u c t u r eＧp r e s e rＧv i n g a n a l y s i so nt r a n s v e r s ev i b r a t i o no f f u n c t i o n a l l yg r a d e db e a m w i t ha na x i a lv e l o c i t y[J]．J o u r n a lo fD y n a m i c s a n dC o n t r o l,２０２２,２０(６):１０１－１０５．(i nC h i n e s e)[１７]MA R T I N E ZＧC A S T R O A E,MU S E R O S P,C AＧS T I L L OＧL I N A R E SA．S e m iＧa n a l y t i c s o l u t i o n i n t h et i m ed o m a i nf o rn o nＧu n i f o r m m u l t iＧs p a n B e r n o u l l iＧE u l e r b e a m s t r a v e r s e db y m o v i n g l o a d s[J]．J o u r n a lo f S o u n d a n dV i b r a t i o n,２００６,２９４(１Ｇ２):２７８－２９７．[１８]张弛,毛晓晔,丁虎,等．受轴向激励弹性支承梁的稳定性分析[J]．动力学与控制学报,２０２２,２０(３):６６－７６．Z HA N GC,MA O XY,D I N G H,e t a l．S t a b i l i t y aＧn a l y s i s o f a x i a l l y e x c i t e db e a m w i t he l a s t i cb o u n d a r y[J]．J o u r n a lD y n a m i c s a n dC o n t r o l,２０２２,２０(３):６６－７６．(i nC h i n e s e)[１９]Y O U N E S I A N D,MA R J A N IS R,E S MA I L Z AＧD E H E．N o n l i n e a r v i b r a t i o n a n a l y s i s o f h a r m o n i c a l l ye x c i t e d c r a c k e d b e a m s o n v i s c o e l a s t i cf o u n d a t i o n s[J]．N o n l i n e a rD y n a m i c s,２０１３,７１(１Ｇ２):１０９－１２０．[２０]D I N G H,Y A N G Y,C H E N L Q,e t a l．V i b r a t i o n o f v e h i c l eＧp a v e m e n t c o u p l e d s y s t e m b a s e d o n aT i m o s h e n k ob e a m o na n o n l i n e a rf o u n d a t i o n[J]．J o u r n a l o fS o u n da n d V i b r a t i o n,２０１４,３３３(２４):６６２３－６６３６．[２１]A N S A R I M,E S MA I L Z A D E H E,Y O U N E S I A N D．F r e q u e n c y a n a l y s i so f f i n i t eb e a m so nn o n l i n e a rK e l v i nＧV o i g h t f o u n d a t i o nu n d e r m o v i n g l o a d s[J]．J o u r n a lo fS o u n d a n d V i b r a t i o n,２０１１,３３０(７):１４５５－１４７１．[２２]S A P O U N T Z A K I SEJ,K AM P I T S I S A E．N o n l i nＧe a r r e s p o n s e of s h e a rd e f o r m a b l eb e a m so nt e n s i o nＧl e s sn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cf o u n d a t i o nu n d e r m o v i n gl o a d s[J]．J o u r n a lo fS o u n da n d V i b r a t i o n,２０１１,３３０(２２):５４１０－５４２６．９４。
吊车梁移动荷载计算探究
要验算吊车梁截面，必然要计算吊车梁的内力；要计算吊车梁的内力，必然要研究移动荷载对吊车梁的影响。
吊车梁一般为简支梁，移动荷载的计算相对简单。
一般提到吊车梁的移动荷载计算，人们都会说这是影响线的问题，实际从结构力学的角度讲应该是包络线的问题，因为它是考察一根梁的最不利内力，而不是考察梁上某个截面的最不利内力。
龙驭球、包世华的《结构力学教程》Ⅰp219 ξ5-8清楚地说明了这个问题。
计算吊车梁最不利内力主要有两种方法－解析法和数值方法。
下面来详细探讨这些方法。
一、经典解析方法《结构力学教程》上的方法应该说是最经典、最有效的方法，推导过程很精妙，它避免了许多繁琐的解析过程，凡是没有看过该方法而又手工推导过的人一定对此有强烈的感受。
《钢结构设计手册》（新版和旧版）也是引用了该方法。
《钢结构设计手册》（新版上册）P318-320给出了2、3、4、6轮子在吊车梁上的情形，不过《钢结构设计手册》有个缺陷：所有的轮压都一样，不适用于两台吊车轮压不一样的情况。
张其林的《轻型门式刚架》ξ5-2 P194-196的表5-3详细给出了一台或两台四轮吊车的计算公式，非常实用，弥补了《钢结构设计手册》的不足。
二、非经典解析方法笔者开始没有看到《结构力学教程》上的方法，于是按一般原则推导公式，设左边第一个轮子距离吊车梁端的距离为X，求断面最不利弯距。
假定：① 两台吊车都是四轮吊车，四个轮子都作用在吊车梁上。
② 两台吊车始终抵在一起（出现最大弯距的必要条件）。
③ P1 > P2，P1/P2小于一定值，轮压合力在第2、3个轮子之间。
④ 从左向右，轮压产生的弯距依次为M1、M2、M3、M4。
⑤ 最大弯距必然出现在第二个轮子下的位置。
⑥ 弯距包络线的拐点位置是弯距最大点出现的位置则：MX1 = p1*x*(l-(x+k1))/lMX2 = p1*(l-x-k1)*(x+k1)/lMX3 = p2*(l-x-k1- b1/2 -b2/2 +k1/2 +k2/2)*(x+k1)/lMX4 = p2*(l-x-b1-b2+(b1-k1)/2+(b2-k2)/2)*(x+k1)/l MX = MX1 + MX2 + MX3 + MX4 （1） 对MX 求导 令M =dxMX d )( = 0，可以解出使MX 最大的X 值，再代入公式（1），就得到max MX 。
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吊车梁在移动载荷作用下的响应分析
1.问题描述
图2-1所示为吊车梁，梁上的移动载荷以1.0m/s 的速度从梁的一端移动到另一端，计算在此过程中吊车梁的位移和应力响应。
弹性模量EX=Pa 11100.2⨯；
泊松比PRXY=0.3；
密度DENS=3/7800m kg 。
吊车梁采用“工”字型截面如图2-2所示。
mm W 1501=；
mm W 3002=；
mm T 201=；
mm T 102=。
2.分析步骤
（1）分析环境设置
设定工作文件名称为CRANE-BEAM ANALYSIS ，图形标题为CRANE-BEAM ANALYSIS 。
1）进入ANALYSIS/Multiphysics 的程序界面后，选择菜单选择菜单Utility Menu: File →Change Jobname 命令，出现Change Jobname 对话框，在
[/FILNAM]Enter new jobname 文本框中输入工作文件名CRANE-BEAM ANALYSIS,单击OK 按钮关闭对话框。
2）选择菜单Utility Menu: File →Change Title 命令,出现Change Title 对话框，在文本框中输入图形标题CRANE-BEAM ANALYSIS,单击OK 按钮关闭对话框。
3）单击工具栏上的SAVE_DB 按钮存盘。
（2）定义单元类型
选取BEAM188作为1号单元。
1）选择菜单Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete 命令。
2）单击工具栏上的SAVE_DB 按钮存盘。
（3）定义材料参数
模型为工字钢，弹性模量EX 取Pa 11100.2 ，泊松比PRXY 取0.3，密度DENS 取3/7800m kg 。
1）选择菜单Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models 命令。
2）单击工具栏上的SAVE_DB 按钮存盘。
（4）定义梁截面
1）选择菜单Main Menu ： Preprocessor →Sections →Beam →Common Sections 命令，弹出Beam Tool 对话框，在ID 文本框中输入1，在W1,W2,W3,t1,t2,t3,文本框中分别输入0.15, 0.15, 0.3, 0.02, 0.02, 0.01，Coarse Fine 值调整为2，单击OK 按钮关闭对话框。
2）存盘。
单击工具栏上的SAVE_DB 按钮。
（5）创建几何模型
创建两关键点，编号1（0,0,0）和2（10,0,0），连接两点生成直线，创建方向关键点3（0,2,0）。
1)选择菜单Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create → Keypoints → In Active CS 命令。
2)选择菜单Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create →Lines →Lines →Straight Line 命令。
3)单击工具栏上的SAVE_DB 按钮存盘。
（6）划分网格
设置梁沿着轴线网格划分数为10，单元类型、材料参数和截面标号都取1，方向点输入3。
选择菜单Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool 命令。
（7）保存模型
选择菜单Utility Menu ：File →Save as 命令，出现Save Database 对话框，在Save Database to 文本框中输入CRANE-BEAM ANALYSIS.db,保存操作过程，单击OK 按钮关闭对话框。
（8）设定分析类型
1）进入ANSYS 求解器，选择菜单Main Menu: Solution →Analysis Type →New
Analysis命令，出现New Analysis对话框，选择分析类型为Transient,分析方法为Full。
2）存盘。
单击工具栏上的SAVE_DB按钮。
（9）施加位移约束
1）选择菜单Main Menu: Solution→Define Loads→Apply→Structural→Displacement→On Keypoints命令，分别约束左端关键点1的线位移UX、UY和UZ以及右端关键点2的UY和UZ。
2）选择菜单Utility Menu：PlotCtrls→Style→Size and Shape命令，在弹出的窗口中，在[/ESHAPE]栏中选择On，单击OK按钮，即可看到梁截面的实际形状，如图所示。
3）单击工具栏上的SAVE_DB按钮存盘。
(10)设置载荷步
1）选择菜单Main Menu: Solution→Analysis Type→Sol’n Controls命令，弹出 Solution Controls对话框，载荷步的结束时间设为1.0，载荷子步数设为10，其他选秀采用默认设置。
2）选择菜单Main Menu: Solution→Define Loads→Apply→Structural→Force/Moment→On Nodes命令，在节点3施加Y方向大小为-1000N的作用力。
3）选择菜单Main Menu: Solution→LOad Step Opts→Write Ls File命令，将上述载荷步设置作为载荷步1写入载荷步文件。
4）重复上述操作，每隔1.0s将载荷依次移动到节点4～11，施加载荷前需要将上一载荷步所施加载荷删除。
5）单击工具栏上的SAVE_DB按钮存盘。
（11）求解
选择菜单Main Menu: Solution→Solve→From LS Files命令，弹出Solve Load Step Files对话框，起始载荷步输入1，结束载荷步输入9，如图所示，单击OK按钮，开始计算瞬态解。
求解完成后，在Note窗口显示Solution is done！单击Close按钮关闭窗口。
（12）观察应力分布
1）进入通用后处理器POST1，观察载荷移动到左端节点3和中间节点7时刻吊
车梁的轴向应力分布。
2）选择菜单Main Menu: General Postpro→Read Result→By Load Step命令，在Load Step number文本框中输入1，读入载荷步1的计算结果。
3）选择菜单Main Menu: General Postpro→Plot Result→Contour Plot→Nodal Solu命令，在Contour Nodal Solution Data对话框中选择SX，显示吊车梁的轴向应力分布，如图所示。
4）采用类似的操作显示载荷5的轴向应力分布，如图所示。
（13）观察挠度变化曲线
进入时间历程后处理器POST26，观察中间节点7的挠度在载荷运动过程中的变化曲线。
1）单击Time History Variables对话框右上方的Add Data按钮，弹出Add Time -History Variables对话框，依次单击Nodal Solution→DOF Solution→Y-Component of displacement,变量取名为UY，单击OK按钮，弹出Nodes for Data 拾取框，在图形窗口拾取中间节点7，单击OK按钮确定。
2）在Time History Variables对话框的变量列表中选择变量UY，单击右上方的Graph Data按钮，图形窗口显示吊车梁的跨中挠度在载荷移动过程中的变化曲线，如图所示。