第2讲 数学思想方法 高考数学(文科)二轮复习
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⑦含 sin xf′(x)-cos xf(x)不等式,可构造函数 g(x)= f x .
sin x
热点训练 1:(1)已知 a= ln 2 ,b= ln 3 ,c= 1 ,则( )
2
3e
(A)a>c>b (B)b>c>a
(C)b>a>c (D)c>b>a
解析:(1)构造函数 f(x)= ln x ,则 f′(x)= 1 ln x ,
解析:(2)构造函数 g(x)= f x ,则 g′(x)= f xex ex f x = f x f x ,
ex
ex 2
ex
因为对于∀ x∈R,均有 f(x)>f′(x),并且 ex>0,所以 g′(x)<0,
故函数 g(x)= f x 在 R 上单调递减,
解析:(1)设公比为 q,由题意得 4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2,又 a1≠0,所以
4q=4+q2,解得
q=2,所以
1 S4=
1 24
=15,故选 B.
1 2
(2)(2019·武汉市调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=12,S5=90,则 等差数列{an}的公差 d 等于( )
sin120o
3
2
设外接球的球心为 O,半径为 R,连接 AO′,PO′,AO, 由 PB=PC=PA=2,易知 PO′⊥平面 ABC,且球心 O 一定在线段 PO′上, 则有 OA=R,OO′=PO′-R, 又 PO′= PA2 AO2 = 3 , 所以 R2=1+( 3 -R)2,得 R2= 4 ,
(A)2
(B) 3 2
(C)3
(D)4
解析:(2)依题意,5×12+ 5 4 d=90,解得 d=3.故选 C. 2
热点三 函数与方程思想在立体几何、解析几何中的应用
例 3:(1)(2019·广州市综合测试)在三棱锥 P-ABC
中,PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC= 3 ,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括 以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形 象思维,揭示数学问题的本质; (2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确. 3.化归与转化思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过 变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面: (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题; (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题; (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
1,
2
x
0,
若函数
g(x)=f(x)-ax+a
存在零点,
则实数 a 的取值范围为
.
解析:函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点等价于方程f(x)-ax+a=0,即f(x)=a(x-1) 有解,等价于函数 y=f(x)与y=a(x-1)的图象有交点.
(A)8π (B) 16 π 3
(C) 4 π (D) 32 3 π
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27
2
11 解析:(1)因为 AB=AC=1,BC= 3 ,所以 cos∠BAC=
3
=- 1 ,
211 2
所以∠BAC=120°,设△ABC 的外接圆半径为 r,外接圆圆心为 O′,
则有 BC =2r,即 3 =2r,解得 r=1.
ex
所以 g(-2 018)>g(0),g(2 018)<g(0),
即 f 2018 >f(0), f 2018 <f(0),
e2018
e2018
也就是 e2 018f(-2 018)>f(0),
f(2 018)<e2 018f(0).故选 D.
热点二 函数与方程思想在数列中的应用
例 2:(2019·长沙市模拟考试)已知数列{an}的首项 a1=3,a3=7,且对任意的
思维建模
数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数,可用函数与方程思想处 理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),已知Sn与an关系问题,应用方程 思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数范围问题,应用函数思想来解决.
热点训练2:(1)(2019·广东省六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn, 且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于( ) (A)16 (B)15 (C)8 (D)7
(2)已知底面半径为 1,高为 3 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上,则 球 O 的表面积为( )
(A) 32 3π 27
(B)4π (C) 16π 3
(D)12π
解析:(2)如图,△ABC 为圆锥的轴截面,则 O 为其外接球的球心,设外接球的半径 为 R,连接 OB,OA,并延长 AO 交 BC 于点 D,则 AD⊥BC,由题意知,AO=BO=R,
在 Rt△MF2F1 中,sin∠MF2F1= 1 ,所以 tan∠MF2F1= MF1 = 1 ,
4
F1F2 15
即 b2 = b2 = 1 ,又 b2=c2-a2,所以 15 c2- 15 a2-2ac=0, a 2ac 15 2c
两边同时除以 a2,得 15 e2-2e- 15 =0,
又 e>1,所以 e= 15 .故选 A. 3
4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按 某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类 结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论思想就是“化整为零,各个击破,再 集零为整”的数学思想.
热点突破
一、函数与方程思想 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
(2)求使b1+b2+…+bn>2 018成立的最小正整数n的值.
解:(2)由(1)知,bn=2n+1.
于是 b1+b2+…+bn=(21+22+…+2n)+n= 2 1 2n +n=2n+1+n-2.令 f(n)=2n+1+n-2,易知 1 2 f(n)是关于 n 的单调递增函数, 又 f(9)=210+9-2=1 031,f(10)=211+10-2=2 056, 故使 b1+b2+…+bn>2 018 成立的最小正整数 n 的值是 10.
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点
M
在双曲线
E
上,MF1 与
x
轴垂直,sin∠MF2F1=
1 4
,
则双曲线 E 的离心率为( )
(A) 15 3
(B) 3 2
(C) 13 2
(D)2
解析:(1)由题意知 F1(-c,0),因为 MF1 与 x 轴垂直,且 M 在双曲线上,
所以|MF1|= b2 . a
即 c×(- c )+(-b)×(- b - b2 )=0,
2
2 2a
整理可得 b +1= c2 = a2 b2 = a 2 -1,
a
b2
b2
b2
设 b =t,可得 t3+2t2-1=0, a
即(t+1)(t2+t-1)=0,
解得 t=-1(舍去)或 t= 5 1 2
答案:(2) 5 1 2
BD=1,AD= 3 ,
则在 Rt△BOD 中,有 R2=( 3 -R)2+12,解得 R= 2 3 , 3
所以外接球 O 的表面积 S=4πR2= 16π .故选 C. 3
二、数形结合思想 热点一 利用数形结合思想研究函数零点问题
例
4:已知函数
f(x)=
x2 2x
e
x
,
x
0,
x
x2
当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以 f(x)max=f(e)= 1 ,f(3)>f(2), e
所以 c>b>a.故选 D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于∀x∈R,均有f(x)>f′(x), 则有( ) (A)e2 018f(-2 018)<f(0),f(2 018)>e2 018f(0) (B)e2 018f(-2 018)<f(0),f(2 018)<e2 018f(0) (C)e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)>e2 018f(0) (D)e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)<e2 018f(0)
思维建模
函数与方程思想在不等式中的应用 (1)若给出的不等式左、右两边结构相同,可构造函数,利用构造的函数 的单调性,转化为自变量的大小比较. (2)若给出含函数f(x)与其导函数f′(x)满足的不等式,需要构造函数,再 根据构造的函数的单调性解决问题.常见类型有: ①含f′(x)+k不等式,可构造函数g(x)=f(x)+kx; ②含af(x)+xf′(x)不等式,可构造函数g(x)=xaf(x);
第2讲 数学思想方法
考情分析 热点突破
考情分析
概述 数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法” 是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中 主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想等 数学思想方法. 1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析 问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数, 根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以 求得问题的解决.
解析:根据题意,令g(x)=x2f(x),其导数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x), 又对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立, 则当x>0时,有g′(x)=x(2f(x)+xf′(x))>0恒成立,即函数g(x)在(0,+∞)上为 增函数, 又由函数f(x)是定义在R上的偶函数, 得f(-x)=f(x), 则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x), 即函数g(x)也是偶函数, 则有g(-2)=g(2),且g(2)<g(3),则有g(-2)<g(3), 即有4f(-2)<9f(3).故选A.
(舍去)或 t=
5 1 . 2
思维建模
立体几何、解析几何中的求值问题及位置关系问题常应用方程思想列方程 (组)求解;求范围、最值等问题常选择恰当的变量建立目标函数,然后应用有 关知识,求函数的最值或值域.
热点训练
3:(1)(2019·安徽省示范高中上学期考试)已知 F1,F2 是双曲线
E: x2 a2
的值为
.
解析:(2)因为 PF1⊥F1F2,所以 P(-c, b2 ), a
由题意知圆心在 PF1,F1F2 的垂直平分线的交点处, 故圆心坐标为 O1(0, b2 ),连接 F1B,设 F1B 的中点为 M,
2a 则 M(- c ,- b ),
22 连接 O1M,则 F1B⊥O1M,
uuur uuuuur 故 F1B · O1M 0,
n∈N*,都有
an-2an+1+an+2=0,数列{bn}满足
b = a n
2n1
,n∈N*.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
解:(1)令 n=1,得 a1-2a2+a3=0,解得 a2=5. 又由 an-2an+1+an+2=0 知,an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1=2, 故数列{an}是首项 a1=3,公差 d=2 的等差数列. 于是 an=2n+1,bn= a2n1 =2n+1.
3
所以外接球的表面积 S=4πR2=4× 4 π= 16 π,故选 B. 33
答案:(1)B
(2)(2019·济南市模拟)如图,设
F1,F2 分别是椭圆 C:
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦
点,B 为椭圆的下顶点,P 为过点 F1,F2,B 的圆与椭圆 C 的一个交点,且 PF1⊥F1F2,则 b a
③含 af(x)-xf′(x)不等式,可构造函数 g(x)= f x ;
xa
④含f(x)+f′(x)不等式,可构造函数g(x)=exf(x);
⑤含 f′(x)-f(x)不等式,可构造函数 g(x)= f x ;
ex
⑥含sin xf′(x)+cos xf(x)不等式,可构造函数g(x)=sin xf(x)
例1:(2018·合肥市二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x) 的导函数为f′(x),若对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立,则( ) (A)4f(-2)<9f(3) (B)4f(-2)>9f(3) (C)2f(3)>3f(-2) (D)3f(-3)<2f(-2)
sin x
热点训练 1:(1)已知 a= ln 2 ,b= ln 3 ,c= 1 ,则( )
2
3e
(A)a>c>b (B)b>c>a
(C)b>a>c (D)c>b>a
解析:(1)构造函数 f(x)= ln x ,则 f′(x)= 1 ln x ,
解析:(2)构造函数 g(x)= f x ,则 g′(x)= f xex ex f x = f x f x ,
ex
ex 2
ex
因为对于∀ x∈R,均有 f(x)>f′(x),并且 ex>0,所以 g′(x)<0,
故函数 g(x)= f x 在 R 上单调递减,
解析:(1)设公比为 q,由题意得 4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2,又 a1≠0,所以
4q=4+q2,解得
q=2,所以
1 S4=
1 24
=15,故选 B.
1 2
(2)(2019·武汉市调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=12,S5=90,则 等差数列{an}的公差 d 等于( )
sin120o
3
2
设外接球的球心为 O,半径为 R,连接 AO′,PO′,AO, 由 PB=PC=PA=2,易知 PO′⊥平面 ABC,且球心 O 一定在线段 PO′上, 则有 OA=R,OO′=PO′-R, 又 PO′= PA2 AO2 = 3 , 所以 R2=1+( 3 -R)2,得 R2= 4 ,
(A)2
(B) 3 2
(C)3
(D)4
解析:(2)依题意,5×12+ 5 4 d=90,解得 d=3.故选 C. 2
热点三 函数与方程思想在立体几何、解析几何中的应用
例 3:(1)(2019·广州市综合测试)在三棱锥 P-ABC
中,PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC= 3 ,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括 以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形 象思维,揭示数学问题的本质; (2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确. 3.化归与转化思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过 变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面: (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题; (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题; (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
1,
2
x
0,
若函数
g(x)=f(x)-ax+a
存在零点,
则实数 a 的取值范围为
.
解析:函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点等价于方程f(x)-ax+a=0,即f(x)=a(x-1) 有解,等价于函数 y=f(x)与y=a(x-1)的图象有交点.
(A)8π (B) 16 π 3
(C) 4 π (D) 32 3 π
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27
2
11 解析:(1)因为 AB=AC=1,BC= 3 ,所以 cos∠BAC=
3
=- 1 ,
211 2
所以∠BAC=120°,设△ABC 的外接圆半径为 r,外接圆圆心为 O′,
则有 BC =2r,即 3 =2r,解得 r=1.
ex
所以 g(-2 018)>g(0),g(2 018)<g(0),
即 f 2018 >f(0), f 2018 <f(0),
e2018
e2018
也就是 e2 018f(-2 018)>f(0),
f(2 018)<e2 018f(0).故选 D.
热点二 函数与方程思想在数列中的应用
例 2:(2019·长沙市模拟考试)已知数列{an}的首项 a1=3,a3=7,且对任意的
思维建模
数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数,可用函数与方程思想处 理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),已知Sn与an关系问题,应用方程 思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数范围问题,应用函数思想来解决.
热点训练2:(1)(2019·广东省六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn, 且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于( ) (A)16 (B)15 (C)8 (D)7
(2)已知底面半径为 1,高为 3 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上,则 球 O 的表面积为( )
(A) 32 3π 27
(B)4π (C) 16π 3
(D)12π
解析:(2)如图,△ABC 为圆锥的轴截面,则 O 为其外接球的球心,设外接球的半径 为 R,连接 OB,OA,并延长 AO 交 BC 于点 D,则 AD⊥BC,由题意知,AO=BO=R,
在 Rt△MF2F1 中,sin∠MF2F1= 1 ,所以 tan∠MF2F1= MF1 = 1 ,
4
F1F2 15
即 b2 = b2 = 1 ,又 b2=c2-a2,所以 15 c2- 15 a2-2ac=0, a 2ac 15 2c
两边同时除以 a2,得 15 e2-2e- 15 =0,
又 e>1,所以 e= 15 .故选 A. 3
4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按 某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类 结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论思想就是“化整为零,各个击破,再 集零为整”的数学思想.
热点突破
一、函数与方程思想 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
(2)求使b1+b2+…+bn>2 018成立的最小正整数n的值.
解:(2)由(1)知,bn=2n+1.
于是 b1+b2+…+bn=(21+22+…+2n)+n= 2 1 2n +n=2n+1+n-2.令 f(n)=2n+1+n-2,易知 1 2 f(n)是关于 n 的单调递增函数, 又 f(9)=210+9-2=1 031,f(10)=211+10-2=2 056, 故使 b1+b2+…+bn>2 018 成立的最小正整数 n 的值是 10.
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点
M
在双曲线
E
上,MF1 与
x
轴垂直,sin∠MF2F1=
1 4
,
则双曲线 E 的离心率为( )
(A) 15 3
(B) 3 2
(C) 13 2
(D)2
解析:(1)由题意知 F1(-c,0),因为 MF1 与 x 轴垂直,且 M 在双曲线上,
所以|MF1|= b2 . a
即 c×(- c )+(-b)×(- b - b2 )=0,
2
2 2a
整理可得 b +1= c2 = a2 b2 = a 2 -1,
a
b2
b2
b2
设 b =t,可得 t3+2t2-1=0, a
即(t+1)(t2+t-1)=0,
解得 t=-1(舍去)或 t= 5 1 2
答案:(2) 5 1 2
BD=1,AD= 3 ,
则在 Rt△BOD 中,有 R2=( 3 -R)2+12,解得 R= 2 3 , 3
所以外接球 O 的表面积 S=4πR2= 16π .故选 C. 3
二、数形结合思想 热点一 利用数形结合思想研究函数零点问题
例
4:已知函数
f(x)=
x2 2x
e
x
,
x
0,
x
x2
当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以 f(x)max=f(e)= 1 ,f(3)>f(2), e
所以 c>b>a.故选 D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于∀x∈R,均有f(x)>f′(x), 则有( ) (A)e2 018f(-2 018)<f(0),f(2 018)>e2 018f(0) (B)e2 018f(-2 018)<f(0),f(2 018)<e2 018f(0) (C)e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)>e2 018f(0) (D)e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)<e2 018f(0)
思维建模
函数与方程思想在不等式中的应用 (1)若给出的不等式左、右两边结构相同,可构造函数,利用构造的函数 的单调性,转化为自变量的大小比较. (2)若给出含函数f(x)与其导函数f′(x)满足的不等式,需要构造函数,再 根据构造的函数的单调性解决问题.常见类型有: ①含f′(x)+k不等式,可构造函数g(x)=f(x)+kx; ②含af(x)+xf′(x)不等式,可构造函数g(x)=xaf(x);
第2讲 数学思想方法
考情分析 热点突破
考情分析
概述 数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法” 是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中 主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想等 数学思想方法. 1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析 问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数, 根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以 求得问题的解决.
解析:根据题意,令g(x)=x2f(x),其导数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x), 又对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立, 则当x>0时,有g′(x)=x(2f(x)+xf′(x))>0恒成立,即函数g(x)在(0,+∞)上为 增函数, 又由函数f(x)是定义在R上的偶函数, 得f(-x)=f(x), 则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x), 即函数g(x)也是偶函数, 则有g(-2)=g(2),且g(2)<g(3),则有g(-2)<g(3), 即有4f(-2)<9f(3).故选A.
(舍去)或 t=
5 1 . 2
思维建模
立体几何、解析几何中的求值问题及位置关系问题常应用方程思想列方程 (组)求解;求范围、最值等问题常选择恰当的变量建立目标函数,然后应用有 关知识,求函数的最值或值域.
热点训练
3:(1)(2019·安徽省示范高中上学期考试)已知 F1,F2 是双曲线
E: x2 a2
的值为
.
解析:(2)因为 PF1⊥F1F2,所以 P(-c, b2 ), a
由题意知圆心在 PF1,F1F2 的垂直平分线的交点处, 故圆心坐标为 O1(0, b2 ),连接 F1B,设 F1B 的中点为 M,
2a 则 M(- c ,- b ),
22 连接 O1M,则 F1B⊥O1M,
uuur uuuuur 故 F1B · O1M 0,
n∈N*,都有
an-2an+1+an+2=0,数列{bn}满足
b = a n
2n1
,n∈N*.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
解:(1)令 n=1,得 a1-2a2+a3=0,解得 a2=5. 又由 an-2an+1+an+2=0 知,an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1=2, 故数列{an}是首项 a1=3,公差 d=2 的等差数列. 于是 an=2n+1,bn= a2n1 =2n+1.
3
所以外接球的表面积 S=4πR2=4× 4 π= 16 π,故选 B. 33
答案:(1)B
(2)(2019·济南市模拟)如图,设
F1,F2 分别是椭圆 C:
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦
点,B 为椭圆的下顶点,P 为过点 F1,F2,B 的圆与椭圆 C 的一个交点,且 PF1⊥F1F2,则 b a
③含 af(x)-xf′(x)不等式,可构造函数 g(x)= f x ;
xa
④含f(x)+f′(x)不等式,可构造函数g(x)=exf(x);
⑤含 f′(x)-f(x)不等式,可构造函数 g(x)= f x ;
ex
⑥含sin xf′(x)+cos xf(x)不等式,可构造函数g(x)=sin xf(x)
例1:(2018·合肥市二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x) 的导函数为f′(x),若对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立,则( ) (A)4f(-2)<9f(3) (B)4f(-2)>9f(3) (C)2f(3)>3f(-2) (D)3f(-3)<2f(-2)