1.3三角函数的诱导公式
人教A1.3三角函数的诱导公式
α的同名函数值 ，前面
，
cos( -sinα 5.公式六： sin .公式五和 公式六可以概括如下：〒α的正弦（余弦）函数值，分别等 2 于 a的余弦(正弦)函数值 ，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号 利 用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数 的相互转化. 返回目录
【评析】此类问题是给角求值，主要是灵活应用诱导公式 把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解. 返回目录
2.已知sin(π-α)=
4 ,求cos(π-α)+tan(-α)的值. 5
名师伴你行
【分析】将所给三角函数化为α的三角函数，利用同 角三角函数公式求值.
【解析】由sin(π-α)=
4 得 5
2 2
. 返回目录
解法二：
sin(-1 665°)=sin(135°-5〓360°) =sin135°=sin(180°-45°)
2 =sin45°= . 2
名师伴你行
(2)解法一：cos( 10 π )=cos 10 π =cos( 4 π +2π)
3 3 3 π 4 =cos π =cos(π+ ) 3 3 π 1 =-cos 3 = . 2 10 2 π )=cos( -4π)=cos 2 解法二：cos( 3 3 3 1 π π =cos(π- ) =-cos = . 2 3 3
3 2
-
3 3 〓( 3 2
) 返回目录
2.应用诱导公式来化简求值. (1)原式=cos1 560°=cos(360°〓4+120°) =cos120°=cos(90°+30°)
1 . 2 15 (2)原式=-tan( 2 (3)原式=-tan 17 6
1.3三角函数的诱导公式
cos sin 原式= 1 sin cos
练习 化简 1 sin 180 cos sin 180 3 2 sin cos 2 tan
1 原式= sin cos sin sin cos
0.5
O
-2 -1
M1
-0.5 -1
M
1
A
2
-1.5
T1
公式二
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
2 2 3 sin( ) cos 2 3 cos( ) sin 2 cos(
) sin
3 例3 证明 : 1 sin cos ; 2 3 2 cos sin . 2 3 1 sin sin 2 2 sin 2
3 sin 1300 sin 140 sin 40 0.6428
5 3 79 4 cos cos cos 6 6 2 6
例2 化简
解:sin - -180 sin 180
探究 给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角与 α有什么关系?它们的三角函数之间有什 么关系? T P 公式二
1.3三角函数的诱导公式(张奕辉用)
1 3
当α是第一象限角时，cos(5π+α)=cos(π+α)=-cosα 是第一象限角时，cos(5π+α)=cos(π+α)== − 1 − sin 2 α = − 2 2 . 3
当α是第二象限角时， 是第二象限角时， cos(5π+α)=cos(π+α)= cos(5π+α)=cos(π+α)= −cosα = 1 − sin 2 α = 2 2 .
1 1 － = 0. 2 2
sin960° 【变式训练】求下式的值：2sin(－1 110°) －sin960°+ 变式训练】求下式的值：2sin(－ 110° cos(-225°)+cos(-210° 2cos(-225°)+cos(-210°) 【解析】原式=2sin(-3×360°-30°)-sin(2×360° 解析】原式=2sin(=2sin( 360° 30° sin(2×360° +240° cos(180°+45°)+cos(180°+30° +240°)+ 2cos(180°+45°)+cos(180°+30°) =2sin(-30° sin240° cos45° cos30° =2sin(-30°)-sin240°- 2 cos45°-cos30° = −2 × 1 + 3 − 2 × 2 − 3
y
π－α的终边
r =1
α
α的终边 的终边
P ( x, y ) 1
x O A(1,0)
π＋α的终边
－α的终边
y
角α的终边与单位圆的交点坐标
α
P ( x, y ) 1
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
1.3三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式(一)诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，这组公式可这样表达：sin(2kπ+α)=sinα；cosα(2kπ+α)=cosα；tg(2kπ+α)=tgα；ctg(2kπ+α)=ctgα．利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°(0～2π)间角的三角函数值的问题．学习诱导公式的基本思想方法是化归转化，如果我们能把求90°～360°间的角的三角函数值转化为求0°～90°间的角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求．(二)诱导公式二、三以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆，这样的圆称为单位圆．下面我们利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三．设点P(x、y)，它关于x轴、y轴、原点对称的点坐标分别是P1(x，-y)，P2(-x，-y)，P3(-x，-y)．任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)．由于角180°+α的终边就是角α终边的反向延长线，角180°+α的终边与单位圆的交点P′，是与点P关于点O对称的，所以P′坐标是(-x，-y)，又因单位圆半径r=1，由正弦函数和余弦函数的定义可得到因此我们可以得到诱导公式二sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，tg(180°+α)=tgα，ctg(180°+α)=ctgα．例1求下列各三角函数值(1)tan(4π/3)(2)sin225°答案：（1） 3 (2)2/2我们再来研究角α与-α的三角函数值之间的关系．任意角α的终边与单位圆相交于P(x，y)，角-α的终边与单位圆相交于点p′，从图上可观察得到P与P′关于x轴成轴对称．我们得到sinα(-α)=-y，cos(-α)=x，从而得到诱导公式三sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tg(-a)=-tgα，ctg(-α)=-ctgα．例2求下列各三角函数值(1)sin(-405°) (2)ctg2π/3答案：例2、-2/2；-3/3。
【数学】1.3 三角函数的诱导公式第二课时
公式一：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos
右边
3 （2） cos( ) sin 2
证明：左边=
cos ( ) 2
cos( ) 2
sin
右边
例2 : 化简：
sin( 2 ) sin 解：
11 sin(2 - )cos( )cos( )cos( - ) 2 2 9 cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( ) 2
公式四：
公式五：
sin(
公式六：
sin(
2
) cos ) sin
2
) cos
cos(
2
cos( ) sin 2
k 思考5：诱导公式可统一为
2
(k Z)
的三角函数与α的三角函数之间的关系， 你有什么办法记住这些公式？
sin(
2
) cos
cos( ) sin 2
思考2：
2
2
与
2
2
有什么内在联系？
( )
思考3：根据相关诱导公式推导， sin( ) ， cos( ) 分别等于什么？
1.3 三角函数的诱导公式
)
B．－2 2 D. 3
π sin2＋θ－cosπ＋θ cosθ＋cosθ 解析： ＝ π cosθ－sinθ sin 2－θ －sinπ－θ
2 2 ＝ ＝ ＝－2.故选 B. 1－tanθ 1－2
答案：B
sinkπ－α· cos[k－1π－α] (理)化简 ＝ ______(k ∈ sin[k＋1π＋α]· coskπ＋α Z)．
2sinα 2cosα ＝ · |cosα| |sinα|
4 ＝ －4
α在第一、三象限时， α在第二、四象限时.
点评：注意变形的技巧，对于
1＋sinα .我们可以 1－sinα
分子、分母同乘以 1＋sinα，也可以分子、分母同乘以 1 －sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以 1＋sinα.
2α
2 ⇒ 2 2tan α － 2tanα － 2 2 ＝ 0. 解得 tanα ＝－ 或 2
2
2. 1－ 2 π π 又 <α< ，∴tanα＝ 2.原式＝ ＝－3＋2 2.故 4 2 2＋ 1 选 C.
答案：C
一、选择题 1 ． (2010· 全国卷Ⅰ理， 2) 设 cos( － 80° ) ＝ k ，那么 tan100° ＝( 1－k2 A. k k C. 1－k2 ) 1－k2 B．－ k k D．－ 1－k2
解析：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋α)＝ －asinα－bcosα＝5， ∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosα＝－5.
答案：C
(文)已知 A．2 C．0
π sin2＋θ－cosπ＋θ tanθ＝2，则 ＝( π sin2－θ－sinπ－θ
1.3三角函数的诱导公式1
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称]
o
o
讲授新课
思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
公式吗？其公式结构特征如何？
讲授新课
诱导公式(三)
讲授新课
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
讲授新课
例2．求下列三角函数值．(可查表)
(1)
(2) tan(－210 );
(3) cos(－2040 ).
o
o
课堂小结
1. 诱导公式 (一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
讲授新课
诱导公式(二)的结构特征
讲授新课
诱导公式(二)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 求(180 +)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
o
讲授新课
归纳公式
sin(－)=sin
cos( －)=－cos
tan (－)=－tan
讲授新课
例1．求下列三角函数值．(可查表)
1.3 三角函数的诱导公式
4．试用“诱导公式五、六”求下列各三角函数的值： (1)cos 135°；
2π (2)sin 3
.
解析： (1)cos 135° ＝cos(90° ＋45° ) 2 ＝－sin 45° ＝－ ； 2 2π π＋π＝cosπ＝ 3. (2)sin ＝sin 2 6 3 6 2
已知角，利用诱导公式求值 求下列三角函数值．
二、诱导公式的理解
1．同名函数诱导公式的理解
先弄清角α与角π－α，π＋α，－α，2π－α的终边的位置 关系． 角α与角π－α的终边关于y轴对称；角α与角π＋α的终边 互为反向延长线； 角α与角－α的终边α关于x轴对称；角－α与角2π－α的 终边互相重合． 在单位圆中设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则 角π－α，π＋α，－α的终边与单位圆的交点依次为P1(－x，y)， P2(－x，－y)，P3(x，－y)．则由正弦线、余弦线、正切线得：
－10π的值等于( B ) 2．cos 3
1 A.2 1 B．－2 3 C. 2 3 D．－ 2
1．六组公式都叫做三角函数的诱导公式，诱导公式揭 示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关 系．记忆诱导公式方法：“奇变偶不变(横同竖余)、符号看 象限”．
2．灵活运用公式解题实质体现了由未知转化为已知的
2．异名函数诱导公式的理解：(与同名函数诱导公式的 理解相同)
π π (1)先弄清α角与 －α， ＋α角的终边的位置关系． 2 2 π 角α与角 －α的终边关于直线y＝x对称． 2
角
π －α的终边与单位圆的交点为Q(y，x)．则由正弦线、余 2
π－α＝x，cos α＝x， sin α＝y，sin 2 π－α ＝y， cos2
思考应用 1．你能说出五组诱导公式各自的作用吗？
1.3 三角函数的诱导公式
1.3 三角函数的诱导公式【教学目标】1、知识与技能理解正弦、余弦的诱导公式。
2、过程与方法（1）掌握诱导公式的推导方法；（2）能运用诱导公式，进行三角函数式的求值、化简及简单三角恒等式的证明。
3、情感态度与价值观通过对诱导公式的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质。
【教学重点】诱导公式的推导及应用。
【教学难点】公式的推导中，对角α推广为任意角的理解。
【教学方法】发现式教学法【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】前面我们学习了任意角的三角函数的定义，由定义我们得到了一组诱导公式，诱导公式（一）：【引入】利用这组公式可以将任意角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值，但是同学们现在只对0到2π范围内的角的三角函数值的求解比较熟悉，对于在2π到2π范围内的角的三角函数值到目前为止我们只能根据任意角的三角函数的定义来求，但是同学们对这种方法还很不适应，同时这种方法既麻烦又容易出错，特别是在角的终边上取点时很容易出错，所以，我们就必须得思考能否找到一组公式将求2π到2π范围内的角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值。
这就是我们今天要学习的其它几组诱导公式。
【引入】既然我们要研究将求2π到2π范围内的角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值。
所以我们就必须得先研究如何将0到2π范围内的角用0到2π范围内角（锐角）来表示。
〖合作交流 解读探究〗 1、（1）0到2π范围内的角的统一表示：设β是0到2π范围内的任意一个角，α是02π范围内的一个角，则：,0,2,,23,,232,,22παβππαβπβππαβπππαβπ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪+∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩ 或,0,22,,2233,,2233,,222ππαβππαβπβππαβπππαβπ⎧⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪+∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩（2）任意角的统一表示：设θ是任意一个角，β是0到2π范围内的一个角，α是02π范围内的一个角，则：2,2,222,2,22232,2,22322,2,222k k k k k k k k k k k k k ππαθπππππαθπππθπβπππαθππππππαθπππ⎧⎡⎫+∈+⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫+-∈++⎪⎪⎢⎪⎣⎭=+=⎨⎡⎫⎪++∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪+-∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或2,2,2222,2,2222332,2,222332,2,2222k k k k k k k k k k k k k πππαθπππππαθπππθπβπππαθππππππαθπππ⎧⎡⎫+-∈+⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫++∈++⎪⎪⎢⎪⎣⎭=+=⎨⎡⎫⎪+-∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪++∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩【引入】由三角函数定义可知，任意角的三角函数值只与角的终边位置有关，为此，要研究将求2π到2π范围内的角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值。
1.3 三角函数的诱导公式
1.3 三角函数的诱导公式1.诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(课堂训练 一.选择题1.已知sin(π+α)=45,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 （ ）(A)－53 (B)53 (C)±53 (D)54 2.若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为 （ ）(A)(D)3.在△ABC，则△ABC 必是 （ ） (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4.已知角α终边上有一点P (3a ,4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 （ ） (A)－45(B)－35(C)±35(D)±455.设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是 （ ） (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin2A B+=sin 2C *6.下列三角函数：①sin(n π+43π) ②cos(2n π+6π) ③sin(2n π+3π) ④cos[(2n +1)π-6π] ⑤sin[(2n +1)π-3π](n ∈Z)其中函数值与sin 3π的值相同的是 （ ） (A)①② (B)①③④ (C)②③⑤ (D)①③⑤ 二.填空题7.tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒= .8.sin 2(3π－x )+sin 2(6π+x )= .9.= .*10.已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)，其中α、β、a 、b 均为非零常数，且列命题：f (2006) =1516-，则f (2007) = . 三.解答题11.化简23tan()sin ()cos(2)2cos ()tan(2)ππααπααπαπ-⋅+⋅---⋅-.12. 设f (θ)=3222cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++- , 求f (3π)的值.*14.是否存在角α、β，α∈(-2π,2π)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α2π-β), cos (-απ+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.同步提升一、选择题 1．已知sin()4πα+=，则3sin()4πα-值为（ ） A.21 B. —21C. 23D. —232．cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ） A. sin 2cos2+ B. cos2sin 2- C. sin 2cos2- D.±cos2sin 2- 4．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ） A 231+-B 231+-C 231-D 231+ 二、填空题5．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限6．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ． 三、解答题7．设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．8．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
全优16页基础夯实
如图，设任意角的终边与
单位圆的交点P1(x, y).
则角
2
的终边与
单位圆的交点P2( y, x).
于是：
cos x,sin y;
cos( ) y,sin( ) x.
2
2
诱导公式（五）
-1
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
5
5
5
5
全优16页能力提高
4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则
△ABC一定是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)等价于 sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin 2B＝sin 2C. ∴B＋C＝90°或B＝C，
o
． P’
-α的终边
思考：那tan（-ɑ）呢？
． 终边关系
(1,0) x 点的关系 函数关系
角α
-α
关于x 轴对称
P(x,y)
P’(x,-y)
sinα= y sin(-α) = -y cosα= x cos(-α) = x
因此，可得：
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
练习：课本27页2（1）（2）（4）
1．求下列各式的值： (1)sin(－855°)； (2)sin 21πcos 4πtan 19π.
436
【解析】(1)sin(－855°)＝ sin(－3×360°＋225°) ＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)
高二数学三角函数的诱导公式3
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
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例3. 已知tan( ) 3, 求：2cos( ) 3sin( ) 的值.
4cos( ) sin(2 )
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例4. 已知sin( ) 4 ,且 sin cos 0,
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小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
角函数
角函数
函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
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练习3. 教材P.28练习第7题. 化简:
5
求 2sin( ) 3 tan( 3 ) 的值. 4cos( 3 )
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小结
①三角函数的简化过程图：
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小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
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小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正
角的三 或三 角的三
角函数
角函数
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小结
三角函数的诱导公式最后更新
这是一种化归与转化的数学思想.
作业： P27练习：1，2，3，4.
1.3
三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
cos x
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α （k∈Z）、π ＋α 、－α 、 π －α 与α 的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
思考：根据三角函数定义，－α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系？
α 的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
4. 与 的三角函数值之间有什么关系？ 设角 的终边与单位圆交于点P， 的终边与单 位圆交于P1，当 为任意角时： ① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② P与P1的坐标有什么对称关系？你能写出它们的 坐标吗？
tan( ) tan
3.角 与 的三角函数的关系。
观察单位圆，让角 的终边绕单位圆一周，回答问题。
① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② 角 的终边、 的终边与单位圆交点P与P1有 怎样的对称关系？
③ P与P1的坐标又怎样的关系？
-α ，π -α 的诱导公式：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin
1.3 三角函数诱导公式
公式四：sin π - α sin α cosπ - α - cos α tan π - α - tan α
公式 五：sin -α cos α 2
cos -α sin α 2
公式四：sin α cos α 2
cos α - sin α 2
口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 所有诱导公式可以概括为： k , k Z 的各三角函数值，当 k 为
3
＝－1.
2
(3)∵
α＋7π 6
－
π α＋
6
＝π，
∴cos
7π＋α 6
＝cos
π＋
α＋π 6
＝－cos
π＋α 6
＝－
3.
3
例3
（1）已知
cos
π－α 6
＝m(|m|≤1)，求
sin
2π－α 3
的值．
（2）已知
sin
π ＋α
6
＝
3，求 3
cos(π－α)的值． 3
【解析】（1）∵
π－α 6
＋π＝2π－α，
π π－
6
π ＝－cos ＝－
6
3. 2
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.
(4)sin17π＝sin
2π＋5π 6
＝s
6
in5π＝sin 6
ππ ＋
23
＝cosπ＝1. 32
题型二 给值(式)求值
－sinα＋cosα
－sinα＋cosα
＝－sinα－cosα＝sinα＋cosα＝tanα＋1＝右边， －sinα＋cosα sinα－cosα tanα－1
1.3 三角函数的诱导公式
§1.3 三角函数的诱导公式知识点一 诱导公式二sin π＋α＝－sin α， cos π＋α＝－cosα， tan π＋α＝tan α. 知识点二 诱导公式三sin －α＝－sin α， cos －α＝cosα， tan －α＝－tan α. 知识点三 诱导公式四轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tan α. 简记为“函数名不变，符号看象限”．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cosα， cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sinα． 诱导公式的推广与规律 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝ ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题 1、求下列各三角函数式的值：(1)cos210°； (2)sin 11π4； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6；(4)cos(－1920°)． (5)sin1320°； (6)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6命题角度2 给值求值或给值求角问题1、已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于2、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．3、已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )4、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．5、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值．类型二 利用诱导公式化简、证明。
1.3 三角函数的诱导公式
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1.如果α 、β满足α +β=π,那么下列式子中正确的个数是( B ) ①sin α =sin β ②sin α =-sin β ③cos α =cos β ④cos α =-cos β (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:α =π-β,则sin α =sin(π-β)=sin β;cos α =cos(π-β)=-cos β,①、 ④正确,故选B.
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( 2) 当 n 为偶数, 即 n=2k( k∈Z ) 时, 原式=cos( 2kπ+ +x) +cos( 2kπ- -x)
=cos( +x) +cos( - -x) =2cos( +x) .
故原式=
.
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根据 n 取值的奇偶性合理选择诱导公式, 是解决此类问题的关键. 变式训练 2 1: 若 k∈Z , 化简
当 k 为偶数时, 函数的名称不变, 这就是“奇变偶不变”的意思. 还有, 在记忆公式时要把α看成锐角( 注
意这里是为了记忆的方便 , 仅仅是看成锐角 , 而不是一定为锐角) , 然后确定 数的名称来确定符号, 这就是“符号看象限”的意思.
± α所在的象限, 并结合函
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正弦、余弦、正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 统称为三角函数.
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链接二: 三角函数值在各象限的符号
1.3三角函数的诱导公式
化简：
cos 2 (1) sin( 2 ) cos(2 ) 5 sin 2
0 tan 360 2 (2) cos ( ) sin
1 1、已知 cos(75 ) ，其中 是第三象限角， 3 求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
小结作业 1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα ， sin（3π －α ）=sinα 等.
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简记为“函数名不变，符号看象限”的口诀．
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
作业： P27练习：1，2，3，4.
小结作业
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系，并具有一定的规 律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法.
填写
sin
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5.这组公式有什么作用？ 是用什么方法研究的？
我们还可以研究什么问题？
二、探究
1.给定一个角 有什么关系？
，角 的终边与角 的终边
2.它们的三角函数之间又有什么关系？
三、体验
设任意角 的终边与单位圆的交点坐标 为P（ x ，y ）,由三角函数的定义得
y y x tan sin cos x r r y x y tan( ) cos( ) sin( )
r
r
x
四、归纳 公式二
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
公式三
sin( ) sin
cos( ) cos
公式四
sin( ) sin
cos( ) cos
七、巩固 1.课堂练习：P31
1、2、3
2.思考题 若 f (n) cos( n ) ，则
4
f (1) f (2) f (3) f (4) f (2006 ) ___。
n 若f (n) cos( )则 2 4
f (1) f (2) f (3) f (4) f (2006 ) __。
1.3 三 角 函 数 的 诱 导 公 式
一、回顾
20 1.－ 是第几象限的角？ 3 20
2.你能找出所有与－
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所有与角
3
终边相同的角吗？
终边相同的角呢？
4.终边相同的角的三角函数有什么关系呢？
公式一 sin(2k ) sin
cos(2k ) cos tan(2k ) tan
tan( ) tan
：符号看象限，纵变横不变。
tan( ) tan
诱导公式的记忆口诀
五、应用
• 例一、利用诱导公式求下列三角函数值：
（1） cos 225
0
16 0 （3）sin( ) （4） tan(2040 ) 3
11 （2）sin 3
任意负角的 三角函数 用 三 公 或 式 一 任意正角的 三角函数
sin( ) 2 cos( 2 )
思考题: 设 f ( x) a sin(x ) b cos(x ) 其中a, b,
, 都是非零实数，
若f(2005)= -1，则f(2006)等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
六、小结
体现了未知到已知 、复杂到简单的化归思想。
3.课外练习：P32
A组
1、 2、 3
步骤：
0 ~ 2 的
用 公 式
一
三角函数 用 二 公 或 式 四 锐角的 三角函数
例二、化简 0 0 cos(180 ) sin( 360 ) 0 0 sin( 180 ) cos(180 )
例三、设
sin( ) 5 cos(2 ) 3 证明 3 cos( ) sin( ) 5