安徽省“江南十校”2021届高三学生最后2套热身卷数学(理)试题1 Word版含答案

“江南十校”2021年高三同学最终2套热身卷 理科数学（一）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,且(1)3i z i -⋅=-,则z 等于
A.2i -
B.2i +
C.12i -
D.12i +
2.已知集合
2
2{|log (1)0},{|0}
M x x N x x x =+<=-≥,则集合M
N 等于 A.∅ B.(,0)-∞ C.(1,0)- D.(,0][1,)-∞+∞
3.已知双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,则它的一条渐近线的倾斜角是
A.12π
B.6π
C.4π
D.3π
4.“01a <<”是“函数()||x
f x x a =-在(0,)+∞上有零点”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.点(,)a b 是不等式组
2101010x y x y x y -+≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
所表示的平面区域内的任意一点,则下列不等式
恒成立的是
A.10a b -+<
B.240a b --<
C.360a b +->
D.220a b -->
6.已知在
21()
n
x x +的开放式中常数项等于5,则正整数n 的值是 A.4 B.5 C.6 D.7
7.运行如图所示的程序框图,则输出的结果是
A.67
B.65
C.63
D.61 8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A.1126π+ B.1127π+ C.966π+ D.967π+
9.若函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()
7f x f π
≥,则下列关系中不成立的是 A.3()028f π-= B.5()()0
147f f ππ+= C.39()()14
14f f ππ< D.5(0)()
14f f π>- 10.设P 是曲线3(0)3x y x x =
+>的图象上的一个动点,过P 点分别作y
轴和直线
30x y -=的垂线,垂足分别为,M N ,对于PM PN ⋅的值,下列说
法正确的是
A.当(0,)x ∈+∞时,PM PN ⋅的值恒等于3
4-
B.当
[3,)x ∈+∞时,PM PN ⋅的值随x 值的增大而减小 C.当
(0,3]x ∈时,PM PN ⋅的值随x 值的增大而减小
D.当(0,)x ∈+∞时,PM PN ⋅的值随x 值的变化而变化,且有最大值
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
11.某班为了调查“全民阅读”的状况,随机抽取了部分同学,统计了他们上学期购买课外读物的钱数,其频率分布直方图如图所示,据此图估量本班同学购买课外读物的钱数的平均值约为 元 12.以平面直角坐标系的坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位,直线
1
C 的参数方程为
2(x t
t y kt =-+⎧⎨
=⎩为参数),曲线2C 的极坐标方程为2()R ρθ=∈,若1C 与
2
C 交于,A B 两点,且||2AB =,则实数k 的值是 13.如图是长为π,宽为1的矩形,其中阴影部分是曲线
sin ([0,])y x x π=∈与矩形围成的区域,一质点A 在此矩形区域内随机
运动,则点A 运动到阴影部分区域的概率为 14.已知等差数列
{}
n a 中,
271,3
a a ==,则
1
27
1273787a a C a C a C ++++=
15.设函数()f x 的定义域为R ,对于定义域内的任意x ,都有
()()sin cos 2f x f x x x
π
+=+-,则下列命题是真命题的是 (写出你
认为正确的全部命题的序号)
①函数()f x 对定义域内的任意x ,都有()()2sin 2cos ;f x f x x x π+-=- ②()(0)f f π=; ③()f x 是周期为2π的周期函数; ④若()()()F x f x f x π=+-,则()F x 是偶函数;
⑤若()24f π=-,则214π是函数()f x 的零点.
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
已知在ABC ∆中,2,4,B A BC ABC ∠=∠=∆的周长为15. (Ⅰ)求sin A 的值;
(Ⅱ)求
cos()
6C π
+的值;
17(本小题满分12分) 如图,在直四棱柱
1111
ABCD A B C D -中,四边形ABCD 是直角梯形,
190,2, 1.
DAB AA AB BC AD ∠=====
(Ⅰ)求证:在平面1BB C
上,肯定存在过点C 的直线l 与直线
1A D
平行;
(Ⅱ)求二面角1A CD A
--的余弦值.
18(本小题满分12分)
一个口袋中装有大小相同颜色不同的2个白球,3个黄球和n 个红球(2n ≥且
*
)n N ∈,一次性从袋中摸出两个球,若摸出的两个球颜色相同则中奖,否则不中奖.
(Ⅰ)摸球一次,若中奖的概率为5
18,求n 的值;
(Ⅱ)设3n =,在一次摸球活动中,规章如下:若中奖,则摸球活动结束;若未中奖,则把这两个球放回袋中,再进行下
次摸奖,若中奖,则摸球活动结束,若未中奖,则再进行下一轮,规定每人最多摸奖三次,记获得的奖金为ξ,假如第i 次中奖获得的奖金为200(4)i -元,试求ξ的概率分布列及数学期望.
19(本小题满分13分)
直线:30l x my +-=过椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的右焦点2F ,与椭圆C 交于,A B 两点,已知当直线l 绕
点
2F 转动到点
(2,1)M 时,点
(2,1)M 恰为线段
AB
的中点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设椭圆C 的左焦点为1
F ,求
1F AB
∆面积的最大值.
20(本小题满分13分)
设函数2()2x
ae f x x x
x =-+(其中 2.71828e =为自然对数的底数)
(Ⅰ)当函数()f x 仅有一个零点时,求实数a 的最大值;
(Ⅱ)是否存在实数a ,使函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减?若存在,求出实数a 的取值范围,若不存在,请说明理由.
21(本小题满分12分)
设数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,{}n b 是等比数列,其中
112233113
1,,,228a b a b a b ====. (Ⅰ)求数列{},{}
n n a b 的通项公式;
(Ⅱ)设数列{(1)}
n
a n
b +的前n 项和为
n
S ,求证:
12n S n >+
.
参考答案:
A C D A
B B
C A
D A
11.43.6
13.2
π
16.sin
)4632A C π=+=
17. 18.4n =
271392025()060040020064416648E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯
=
22
1189x y += 20.a 的最大值为4
32
e
不存在 21.
,2n
n n a n b -==。