习题解答1

第三章 流体的运动
习题解答
1． 应用连续性方程的条件是什么 答：不可压缩的流体作定常流动。

2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件伯努利方程的物理意义是什么
答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。

方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。

3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

试解释产生这一现象的原因。

$
答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

4．冷却器由19根Φ20×2mm （即管的外直径为20mm ，壁厚为2mm ）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm 的导管流入列管中，已知导管中水的流速为s ，求列管中水流的速度。

解：已知Φ120×2mm ，d 1=20－2×2=16mm ，n 1=19，Φ254×2mm ，d 2=54－2×2=50mm ，v 2=s ，根据连续性方程知：
S 0v 0= S 1v 1+S 2v 2 +……+S n v n ，则
72.016194.1504
1412
221122
22
1122211221=⨯⨯==ππ==d n d d n d S n S v v v v m/s
5．水管上端的截面积为×10－4m 2，水的流速为 m/s ，水管下端比上端低10m ，下端的截面积为×10－4m 2。

(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为×105Pa ，求下端的压强。

解：(a)已知S 1=×10－4m 2，v 1= m/s ，h 1=10m ，S 2=×10－4m 2，1p =×105Pa ，
根据连续性方程：S 1v 1=S 2v 2 知：
5.210
0.80.5100.44
42112=⨯⨯⨯==--S S v v ( m/s ） ,
(b) 根据伯努利方程知：
222
211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v ，h 2=0，水ρ=×103 kg/m 3
(Pa)
106.25.2100.121
105.11010100.15100.121212152
3532322
21121⨯=⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--++=
gh p gh p ρρρρv v 26．水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。

如果水在粗处的流速和压强
分别是 m/s 和×105Pa ，那么水在细处的流速和压强各是多少 解：(a)已知d 1=2 d 2，v 1=s ，1p =×105Pa ，根据连续性方程知：S 1v 1=S 2v 2
00.400.1)2(4
1412
22
222121*********=⨯==ππ==d d d d d d S S v v
v v (m/s) (b) 根据伯努利方程知（水平管）：22
2112
121p p 2+=+v v ρρ
5
2352322121210885.100.410211096.100.110212121⨯=⨯⨯-⨯+⨯⨯=-+=v v ρρp p (Pa)
7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以 m/s 的流速压出。

当管的出口处高于筒内液面时，问筒内空气的压强比大气压高多少
解：已知v 1=s ，h 1=，1p =0p ，根据伯努利方程知：
222
211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v 《
由于S 1<< S 2，则v 2=0，因此
332312102106.66.08.9102.1102
1
21⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=-gh p p ρρv (Pa)
8．汾丘里流速计主管的直径为，细颈处的直径为，如果水在主管的压强为
×104Pa ，在细颈处的压强为×104Pa ，求水的流量是多少
解：已知d 1=，d 2=，1p =×104Pa ，2p =×104Pa ，根据汾丘里流速计公式知：
/s)
(m 102.4)1.025.0(1010)1.45.5(21.025.014.341)
()
(241)()2(324
4342
242412122
212221212
1-⨯=-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=--π=--=d d p p d d S S p p S S Q ρρ
9．一水平管道内直径从200mm 均匀地缩小到100mm ，现于管道中通以甲烷（密度ρ= kg/m 3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。

设1处U 形管压强计中水面高度差h 1=40mm ，2处压强计中水面高度差h 2=-98mm （负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q 。

解：已知d 1=200mm=，d 2=100mm=，ρ=m 3，'ρ=×03kg/m 3，h 1=40mm=，h 2=-98mm=，根据汾丘里流速计公式知：
)
s m (525.0)1.02.0(645.0)098.0040.0(8.9100.121.02.014.341)
()
('241)()2(34432
242412122
212221212
1 /=-⨯+⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯=--π=-=d d h h g d d S S p p S S Q ρρρ- 《
10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为和，求水速。

解：已知h 1==，h 2==，根据比托管流速计公式知：
98.0)005.0054.0(8.92)(221=-⨯⨯=-=h h g v (m/s)
11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO 2气体，如果压强计的水柱差是，采气管的横截面积为10cm 2。

求5分钟所采集的CO 2的量是多少m 3已知CO 2的密度为2kg/m 3。

解：已知h ==，S =10cm 2，t =5min ，ρ=2kg/m 3，'ρ=×03kg/m 3，根据比托管流速计公式知：
142
02
.08.9100.12'23=⨯⨯⨯⨯=
=
ρ
ρgh
v (m/s)
所以5min 采集的CO 2为：
334102.4)m (2.4605141010⨯==⨯⨯⨯⨯==-vt V S (L)
》
12．水桶底部有一小孔，桶中水深h =。

试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。

解：(a)已知h 1=，021p p p ==，S 1>> S 2，桶是静止时，根据伯努利方程知：
222211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v ，由于S 1>> S 2，则v 1=0，因此 42.23.08.92212=⨯⨯==gh v (m/s)
(b)桶匀速上升时，v 2= (m/s)
13．注射器的活塞截面积S 1=，而注射器针孔的截面积S 2=。

当注射器水平放置时，用f =的力压迫活塞，使之移动l =4cm ，问水从注射器中流出需要多少时间
解：已知S 1=，S 2=，f =，l =4cm ，作用在活塞上的附加压强：
4
4
11008.4102.19.4⨯=⨯==
∆-S f p (pa)，根据水平管的伯努利方程知： 2221212
121p p +=+v v ρρ 由于p p p ∆+=01，02p p =，S 1>> S 2，则v 1≈0，因此
%
910
11008.422)
23
4
212=⨯⨯⨯=
∆=
-(=
ρ
ρ
p
p p v (m/s)
根据连续性方程知：S 1v 1=S 2v 2
0188.0102.191025.04
61221=⨯⨯⨯==--S S v v (m/s)
13.20188
.004
.01===
v l t (s)
14．用一截面为的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。

虹吸管最高点在容器的水面上处，出水口在此水面下处。

求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。

解：(a)已知S D ==×10－4m 2，h B =，h D =－，S A >> S D ，如图3-10所示，选取容器内液面A 为高度参考点，对于A 、D 两处，0p p p D A ===×105 Pa ，应用伯努
利方程，则有：D D A A gh gh ρρρρ+=+2
22
121v v
43.36.08.922)(2=⨯⨯==-=AD D A D gh h h g v (m/s)
B 、D 两处（均匀管）应用伯努利方程得： D D B B p gh p gh +=+ρρ
5351084.0)20.160.0(8.91010013.1)(⨯=--⨯⨯+⨯=-+=B D D B h h g p p ρ(pa)
"
(b)Q =S D v D = ×10－4×=×10－3 (m 3/s)
15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q =150 cm 3/s ，容器的底部有
面积S =的小孔，使水不断流出。

求达到稳定状态时，容器中水的高度。

解：已知Q =150 cm 3/s=×10－4m 3/s ，S 2==×10－5m 2，因为以一定流量为Q 匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：
gh 22=v 和gh S Q 222=
45.010
2)100.5()1050.1(22
52
4222
2=⨯⨯⨯⨯=⨯=--g S Q h (m)
16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B 和F ，盛有相同的液体。

由容器B 底部接一水平管子BCD ，水平管的较细部分C 处连接到一竖直的E 管，并使E 管下端插入容器F 的液体内。

假设液流是理想流体作定常流动。

如果管的C 处的横截面积是D 处的一半。

并设管的D 处比容器B 内的液面低h ，问E 管中液体上升的高度H 是多少
解：已知截面积D C S S 2
1
=
，由连续性方程得D D C D C S S v v v 2==，考虑到A
槽中的液面流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得
gh D 2=v
`
对C 、D 两点列伯努利方程：
2
22
121D
D C C p p v v ρρ+=+ 因为，大气压）(0p p D =，所以，gh p p C ρ30-=，即C 处的压强小于0p ，又因为F 槽液面的压强也为0p ，故
E 管中液柱上升的高度H 应满足：
0p gH p C =+ρ
解得 h H 3=
17．使体积为25cm 3的水，在均匀的水平管中从压强为×105Pa 的截面移到压强为×105Pa 的截面时，克服摩擦力做功是多少
解：已知V =25 cm 3=×10－5m 3，1p =×105Pa ，2p =×105Pa ，由实际流体运动规律知：
w +++=++222
211212
121p gh p gh ρρρρv v 45521100.2101.1103.1⨯=⨯-⨯=-=p p w (Pa)（水平均匀管）
`
50.0105.2100.254=⨯⨯⨯=⋅=-V W w (J)
18．为什么跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒的降落速度
答：跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡，沉降速度恒定。

19．20℃的水，在半径为的水平管内流动，如果管中心处的流速是10cm/s 。

求由于粘性使得管长为的两个端面间的压强差是多少
解：已知R = cm ，v max =10cm/s=s ，L =，t =20℃，查表知20℃时水的黏度系数为：310005.1-⨯=水η Pa
s ，由泊肃叶定律的推导知：
)(422
21r R L
p p --=
ηv 当r =0，10.04)(221max
=-=L
R p p ηv m/s
04.8)
100.1(10
.0210005.1442
23221=⨯⨯⨯⨯⨯==---R L p p v η(Pa) ~
20．图3-3为粘性流体沿水平管流动时，压强沿管路降低的情况。

若图中h =23cm ；h 1=15cm ；h 2=10cm ；h 3=5cm ；a =10cm 。

求液体在管路中流动的速度。

已知：h =23cm ；h 1=15cm ；h 2=10cm ；h 3=5cm ；a =10cm 求：v =
解：由实际流体运动规律知：1，2两处（水平均匀管）
w +++=++222211212
121p gh p gh ρρρρv v h g h h g p p ∆=-=-=ρρ)(1221w (J/m 3)
容器开口液面处与圆管出口处应用实际流体运动规律知：
w 42
1
020++=+p p gh v ρρ
得： 77.0)05.0423.0(8.92)4(2=⨯-⨯⨯=∆-=h h g v (m/s)
|
21．直径为的水滴，在速度为2 cm/s 的上升气流中，能否向地面落下设空气的η=×10－5Pa
s 。

解：已知d ==10－5m ，v =2 cm/s= m/s ，η=×10－5Pa s ，水滴受力分析：重力、
浮力、粘性阻力，由斯托克斯定律定律知：
115101.0802.0105.066--5-⨯π=⨯⨯⨯10⨯1.8⨯π=π=v r f η阻(N)
g )'613ρρ-(π=
-d f mg 浮1010)10(6
1
335⨯⨯⨯π≈-111017.0-⨯π= (N)<阻f 故水滴不会落下。

22．水从一截面为5cm 2的水平管A ，流入两根并联的水平支管B 和C ，它们的截面积分别为4cm 2和3cm 2。

如果水在管A 中的流速为100cm/s ，在管C 中的流速为50 cm/s 。

问：(a)水在管B 中的流速是多大(b)B 、C 两管中的压强差是多少(c)哪根管中的压强最大
解：(a)已知S A =5cm 2，S B =4cm 2，S C =3cm 2，v A =100cm/s=s ，v C =50cm/s=s ，根据连续性方程知：S A v A = S B v B +S C v C
875.04
5
.0315=⨯-⨯=-=
B C C A A B S S S v v v (m/s)
!
(b) 根据伯努利方程知：
A 、
B 两处： B B B A A A p gh p gh ++=++ρρρρ2
22121v v
A 、C 两处： C C C A A A p gh p gh ++=++ρρρρ2
22
121v v
因此，258)875.05.0(102
1)(212232
2-=-⨯⨯=-=-B C C B p p v v ρ(Pa)
(c)由以上两个方程可知：C B A v v v >>则：C B A p p p <<，即C 管压强最大。

23．如图3-4所示，在水箱侧面的同一铅直线的上、下两处各开一小孔，若
从这两个小孔的射流相交于一点，试证：h 1H 1=h 2H 2。

证明：根据小孔流速规律gh 2=v 知：112gh =v 和222gh =v 再根据平抛运动规律知：
x =vt 和2
2
1gt H =
<
联立以上关系式得：
24x hH =
由于 x 1=x 2 所以 h 1H 1=h 2H 2 证毕。

24．在一个顶部开启高度为的直立圆柱型水箱内装满水，水箱底部开有一小孔，已知小孔的横截面积是水箱的横截面积的1/400，(a)求通过水箱底部的小孔将水箱内的水流尽需要多少时间(b)欲使水面距小孔的高度始终维持在，把相同数量的水从这个小孔流出又需要多少时间并把此结果与(a)的结果进行比较。

解：(a)已知h 1=，S 2= S 1/400，随着水的流出，水位不断下降，流速逐渐减小，根据小孔流速规律知在任意水位处水的流速为：gh 22≈v ，该处厚度为d h 的一薄层从小孔流出时间为：
gh
S h
S S h S t 2d d d 21221=
=
v
整个水箱的水流尽所需时间为
5728
.924008.92d 4002d 1.00
1.00
2111=⨯⨯=
⨯⨯==⎰
⎰
h
h
h gh
S h S t h (s)
?
(b) 水面距小孔的高度始终维持在，则小孔速度始终不变为12gh =2v
则相同数量的水从这个小孔流出又需要时间为：
5.281
.08.921.04002
21
12=⨯⨯⨯==
v S h S t (s)
比较(a)、(b)知：212t t =
第四章 振动和波
习题解答
1．一振动的质点沿x 轴作简谐振动，其振幅为×10-2m ，频率，在时间t =0时，经平衡位置处向x 轴正方向运动，求运动方程。

如该质点在t =0时，经平衡位置处向x 轴负方向运动，求运动方程。

解：已知25.010m A -=⨯,ν=时>02.0Hz ,=0t v 。

通解方程式为πϕπϕ--=⨯⨯⨯+=⨯+22005.010cos(22) 5.010cos(4)x t t
}
由t =0时x =0 有π
ϕϕ==±
00cos 0,2
速度表达式为ππϕ-=
=-⨯⨯+20d 4 5.010sin(4)d x
v t t
根据已给条件时>0=0t v 有
ϕ<0sin 0，考虑π
π
ϕϕ=±
=-
00,
2
2。

∴运动方程为π
π-=⨯-
25.010cos(4)m 2
x t
2．质量为×10-3kg 的振子作简谐振动，其运动方程为)π3
2
5cos(100.62+⨯=-t x
式中，x 中的单位是m ，t 的单位是s 。

试求：(a)角频率、频率、周期和振幅；(b)t =0
时的位移、速度、加速度和所受的力；(c)t =0时的动能和势能。

解：(a)根据已给条件rad 5=ωωππ
ωνππω=====
5225,,225
T ，-=⨯26.010m A 。

(b) 将条件t =0带入方程。

s /m 1035.0100.6)3
2cos(22--⨯-=⨯⨯-==π
A x
s /m 26.032sin 5100.6)32sin(d d 2-=⨯⨯⨯-=+-==-ππωωt A t x v
s /m 75.03
2cos 55100.6)32cos(d d 22-=⨯⨯⨯⨯-=+-==-ππωωt A t v a
(c) 动能J m E p 5210169.02
1
-⨯==v
势能J mx kx E k 42
2210625.52
121-⨯===ω
3．一轻弹簧受的作用力时,伸长为×10-2m,今在弹簧下端悬一重量P =的重物，求此这重物的振动周期。

解：由胡克定律 kx
F -=
9
43
.29==
x F k k
m
T m
k π
ω
πω22==
=
带入相关数值 3275.22109/43.298.9/5.24222
πππ
=⨯==-k m T .
4．续上题,若在开始时将重物从平衡位置拉下×10-2m,然后放开任其自由振动,求振动的振幅、初相位、运动方程和振动能量。

5．经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过s 2，乘客就不会有不舒服的感觉。

若车辆竖直的振动频率为，求车辆振动振幅的最大允许值。

解：由加速度2ωA a =有
()
m 1013.15.121
22
2
-⨯=⨯=
=
πω
a A
6．质量为m 、长圆管半径为r 的比重计，浮在密度为ρ的液体中,如果沿竖直方向推动比重计一下,则比重计将上下振动.在不考虑阻力作用的情况下,试证其振动周期为
ρ
g m
r T π2=
证：设坐标x 向下为正。

以比重计在水中的平衡位置为坐标零点，比重计被
向下压入水中偏离平衡位置的位移为x ，比重计排开水的体积为x r V 2π=，其所受浮力为
.
gx r gx V F ρπρ2-=-=
其中负号表示力的方向与位移相反。

由牛顿第二定律ma F =有
222
d d t
x
m ma gx r F ==-=ρπ
整理有
0d d 22
2=+x m g
r t x ρπ 令
2
2ωρπ=m g
r ，方程化为振动方程0d d 222=+x t
x
ω
则 g
m r g
r m
T ρπ
ρππ
ω
π
2222=
==
证毕
7.当重力加速度g 改变d g 时,单摆的周期T 的变化d T 是多少找出d T /T 与d g /g 之间的关系式。

解：单摆周期与加速度关系为g
l T 12π
=
两边取微分，则当重力加速度g 改变d g 时,单摆的周期T 的变化d T 是
.
()
g g l T d 2d 2
/3--=π
d T /T 与d g /g 之间的关系式
()g
g
l T
g
g l T T d 2d 2d 2
/3-
=-=-π
8．两个同方向、同周期的简谐振动的运动方程为x 1=4cos(3πt +π/3)和x 2=3cos （3πt －π/6），试求它们的合振动的运动方程。

解：由同方向、同周期的简谐振动合成振幅表达式有
5)6
3cos(43234cos 222212
221=+⨯⨯⨯-+=-+=
π
πθA A A A A
rad 128.0)
6
cos(33cos 4)
6sin(33sin
4tan
1ππππ
πϕ=-+-+=-
合振动方程为：)128.03cos(5ππ+=t x
/
9．设某质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示，其运动方程为x =A sin ωt +B sin2ωt 。

(a)写出该质点的速度和加速度表示式；(b)这一运动是否为简谐振动
解：(a)
22d cos 2cos 2d d sin 4sin2d x
v A t B t t
v a A t B t
t
ωωωωωωω=
=+==--
(b)不是简谐振动
10．已知平面波源的振动方程为y =×10-2cos π
9 t （m ），并以s 的速度把振动传播出去，求：(a)离波源5m 处振动的运动方程；(b)这点与波源的相位差。

解：(a)
由已给方程可直接得到：11
,,189
218T s π
ωωνπν
==
=== 将x=5m 代入波动表达式
225
6.010cos() 6.010cos()
m 9918
x y t t u ππωπ--=⨯-=⨯-
；
(b)相位差5
18
ϕπ=-
11．一平面简谐波，沿直径为的圆形管中的空气传播，波的平均强度为×10-3Js -1m -2 ，频率为256Hz ，波速为340ms -1，问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少每两个相邻同相面间的空气中有多少能量
解：已知D=，平均强度I=×10-3Js -1m -2，ν=256Hz,u =840m/s 。

(a)平均能量密度和最大能量密度
-----⨯===⨯⋅==⨯⋅3
53
53
max 8.510 2.510J m 340
2 5.010J m I W u W W (b)两个相邻相面间的空气能量E
25270.14340
() 2.510() 5.1110J 22256D u E W ππν--=⨯=⨯=⨯
12．为了保持波源的振动不变，需要消耗的功率，如果波源发出的是球面波，求距波源和处的能流密度（设介质不吸收能量）。

￥
解：平均能流密度等于单位单位面积上的功率，因此5m 处的能流密度为
222
4
1.273Wm 44(0.5)
P I x ππ-=
== 同理有：1m 处为
13．设平面横波1沿BP 方向传播，它在B 点振动的运动方程为y 1=×10-3cos2πt ，平面横波2沿CP 方向传播,它在C 点振动的运动方程为y 2=×10-3cos （2πt +π），两式中y 的单位是m ，t 的单位是s 。

P 处与B 相距，与C 相距，波速为s ，求：(a)两波传到P 处时的相位差；(b)在P 处合振动的振幅。

解：(a)求两波在P 点相位差： 1点在P 点引起的振动为：
3310.40
2.010cos(22) 2.010cos(24)0.20
p y t t ππ
ππ--=⨯-=⨯- 2点在P 点引起的振动为：
3310.50
2.010cos(22) 2.010cos(24)0.20
p y t t ππ
πππ--=⨯-+=⨯- :
相位相同，相位差0ϕ∆=。

(b)合振动振幅：由于相位相同，合成波的振幅为两波振幅相加
3
4.010m A -=⨯
14．平面波斜入射到两种介质（各向同性）的界面，进入到介质2时将发生折射，设该波在介质1和介质2的波速比为5：3，试用惠更斯原理作图画出折射后波的传播方向。

解：注意两波在不同介质中的波速不一样。

图4-1以波在介质1中波速快为例作图。

15．已知飞机马达的声强级为120dB ，求它的声强。

解：已知声强级为120dB ，由声强级定义可知
12200
02
120dB 10log
,10Wm log log 120
1Wm I
I I I I I ---===+==
<
16．两种声音的声强级相差1dB ，求它们的强度之比。

解：设两种声音的声强级分别为A 和A+1，
(1)0
110log
A I A I ++=
导出 110
(1)010
A A I I ++=
10log
A
I A I = 10
010A A I I =
消去I 0,有
1110(1)10
10
10
10
1.2610
A A A A
I I ++===
：
17．频率为50000Hz 的超声波在空气中传播，设空气微粒振动的振幅为×10-6m ，求其振动的最大加速度和最大速度。

解：
622max 2
2
3
2
max 20.1010250000 3.1410ms (2)9.9710ms v A A a A A ωπνπωπν----===⨯⨯⨯=⨯===⨯
18．装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz 的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。

反射波与原来的波合成后，得到频率为241Hz 的拍。

求潜水艇的速率。

设超声波在海水中的传播速度为1500m/s 。

解：本题中的潜水艇接收探测器的超声波然后再反射，所以潜水艇首先是接收者，其次是发射者，这是一个双向多普乐效应问题。

设超声波波速为u ,潜水艇速
度为ν，运用双向多普乐公式，再根据拍频的定义有：
241u v
u v νν+-=- 解出16ms ν-=
19．对遥远星系发来的光谱分析表明，有一些在实验室已确认的谱线显著地移向了长波端，这种现象叫做谱线红移。

谱线红移可以解释为由于光源的退行速度所引起的多普勒频移。

例如，钾光谱中易辨认的一对吸收线K 线和H 线，在地面实验室中是出现在395nm 附近；在来自牧夫星座一个星云的光中，却在波长447nm 处观测到了这两条谱线。

试问该星云正以多大的速度离开地球 /
解：多普乐效应可以应用在光学问题上，但应考虑相对论效应，应用光学多普乐公式
'ν=
对于本题'447nm ,=395nm νν= 代入公式解出u =。

第五章 分子物理学
习题解答
1．压强为×107Pa 的氧气瓶,容积是32×10-3m 3。

为避免混入其他气体，规定瓶内氧气压强降到×106Pa 时就应充气.设每天需用、×105Pa 的氧，一瓶氧气能用几天
解：用可以使用的气体总量除以每天的使用量即可得到使用的天数。

设气体总量为PV ，可以用到的最小数值为P*V*，设每天的使用量为Δ(PV)。

则可以使用的天数n 为：
6.9324
.010013.11013.1010132)(**5
5
5=⨯⨯⨯⨯-⨯=∆-=PV V P PV n 】
一瓶氧气可以使用大约天。

2．一空气泡，从×105Pa 的湖底升到×105Pa 的湖面。

湖底温度为7℃，湖面温度为27℃。

气泡到达湖面时的体积是它在湖底时的多少倍
解：设气体在湖底时的状态参量为p 1V 1T 1，在湖面时的状态参量为p 2V 2T 2，
设气体为理想气体，满足理想气体方程，考虑到气体总量不变，应有
2
2
2111T V p T V p = 所以 22.328010013.1300
1004.35
5122112=⨯⨯⨯⨯==T p T p V V 气体到达湖面时体积扩大为湖底的倍。

3．两个盛有压强分别为p 1和p 2的同种气体的容器，容积分别为V 1和V 2，用一带有开关的玻璃管连接。

打开开关使两容器连通，并设过程中温度不变，求容器中的压强。

解：设气体的摩尔质量为μ，质量分别为M 1和M 2，由理想气体方程有
】
RT M V p 11
11μ=
RT M V p 2
2
22μ=
相通合并后气体压强相同，总质量为M 1+M 2，总体积为V 1+V 2，应用理想气体方
程有 22112
121)(V p V p RT M M V V p +=+=
+μ
2
12
211V V V p V p p ++=
∴
4．在推导理想气体动理论基本方程时，什么地方用到了平衡态的条件什么地方用到了理想气体的假设什么地方用到了统计平均的概念
简答：考虑分子速度无宏观定向运动、运动分组时用到了平衡态的条件，讨论容器体积、分子的平均冲量时用到了理想气体假设（分子自身线度忽略、分子除碰撞瞬间外无相互作用力），对所有分子的集体作用进行叠加时用到了统计平均的概念。

5．将理想气体压缩，使其压强增加×104Pa,温度保持在27℃，问单位体积内的分子数增加多少
解：由理想气体压强公式nkT p =有
32423
4
m 1045.210
30038.110013.1--⨯=⨯⨯⨯=∆=∆kT p n }
6．一容器贮有压强为,温度为27℃的气体,(a)气体分子平均平动动能是多大 (b)1cm 3中分子的总平动动能是多少
解：气体分子的平均平动动能为
J 1023.63001038.12
3
232121232--⨯=⨯⨯⨯==kT m v 平均总动能为J 100.21033.12
3
2321662--⨯=⨯⨯=⨯==kT kT pV m n E k v
7．大瓶容积为小瓶容积的两倍，大瓶中理想气体的压强为小瓶中同种理想气体的一半，它们的内能是否相等为什么
答：理想气体内能为RT i M E 2μ=
，将理想气体方程RT M
pV μ
=代入，有 pV i
E 2
=
pV 乘积相等，同种气体自由度相等，所以内能相等。

}
8．一容积V =×10-3m 3的真空系统在室温（23℃）下已被抽到p 1=×10-3Pa 。

为了提高系统的真空度，将它放在T =573K 的烘箱内烘烤，使器壁释放吸附的气体分子。

如果烘烤后压强增为p 2=,问器壁原来吸附了多少个分子
解：由理想气体压强公式
nkT p =
111kT p n =
2
22kT p n = 20323112212107.1573
3005731033.130033.11038.111⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆--T p T p k n n n 17108.18⨯=⨯∆=V n N
9．温度为27℃时，1g 氢气、氦气和水蒸汽的内能各为多少
解：氢气、氦气和水蒸汽分别为双原子、单原子和三原子分子，其自由度分
别为5、3、6。

根据内能定义RT i
M E 2
⋅=
μ有 J 101.330031.825
2132⨯=⨯⨯⨯=H E J 1035.930031.82
3
412⨯=⨯⨯⨯=He
E (
J 1016.430031.82
6
16122⨯=⨯⨯⨯=
O H E
10．计算在T =300K 时，氢、氧和水银蒸汽的最概然速率、平均速率和方均根速率。

解：最概然速
率p =
v ，平均速率 πμ
RT
8=v ，方均根速率μ
RT
32=
v 。

代入相关数据：
133
ms 1058.110
2300
31.822--⨯=⨯⨯⨯=
pH v 123
ms 1076.110
2300
31.882--⨯=⨯⨯⨯⨯=
πH v
133
2ms 1098.1102300
31.83--⨯=⨯⨯⨯=2
H v 123
ms 1095.310
32300
31.822--⨯=⨯⨯⨯=
pO v 123
ms 1045.410
32300
31.882--⨯=⨯⨯⨯⨯=
πO v 1
23
2ms 1083.410
3230031.83--⨯=⨯⨯⨯=2
O v 1
23
ms 1058.110
6.20030031.82--⨯=⨯⨯⨯=pHg v 1
23
ms 1078.110
6.20030031.88--⨯=⨯⨯⨯⨯=
πHg v 1
23
ms 1093.1106.20030031.83--⨯=⨯⨯⨯=
2Hg v
11．某些恒星的温度达到`108K 的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。

试求：(a)质子的平均平动动能是多少电子伏特(b)质子的方均根速率有多大
解：质子可以看作质点，自由度为3。

单个质子的平均平动能为
eV 101.29J 1007.2101038.12
3
23415823⨯=⨯=⨯⨯⨯==--kT E ki
1627
ms 1057.110
67.1300
31.83--⨯=⨯⨯⨯=
2v
12．真空管中气体的压强一般约为×10-3Pa 。

设气体分子直径d = ×10-10m 。

求在27℃时，单位体积中的分子数及分子的平均自由程。

解：由理想气体压强公式有
31723
3
m 1021.3300
1038.11033.1---⨯=⨯⨯⨯==kT p n 117
2102ms 79.71021.3)100.3(21
21--=⨯⨯⨯=
=
ππλn
d
13．一矩形框被可移动的横杆分成两部分，横杆与框的一对边平行，长度为10cm 。

这两部分分别蒙以表面张力系数为40×10-3和70×10-3N/m 的液膜，求横杆所受的力。

解：表面张力与表面张力系数关系为l F α=，考虑液膜为双面有l F α2=，则横杆所受力为N 10601.0104021.010702333---⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=F
14．油与水之间的表面张力系数为18×10-3N/m ，现将1g 的油在水中分裂成直径为2×10-4cm 的小滴，问所作的功是多少（假设温度不变，已知油的密度为cm 3）
解：一个小油滴表面能为N 42απαr S E i ==
分裂过程中质量不变，一个大油滴可以分裂成的小油滴个数
113
3107.23
4900101⨯=⨯⨯==-r M M N i π 所需能量为6231124(1.0)1810 2.710 6.110i E E N J π---=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯。

由于一个大油滴的表面能远小于分裂后的表面能，忽略大油滴的表面能，故破碎一个大油滴所需能量为26.110J -⨯。

15．在水中浸入同样粗细的玻璃毛细管，一个是直的，另一个是顶端弯曲的。

水在直管中上升的高度比弯管的最高点还要高，那么弯管中是否会有水不断流出为什么
答：水与玻璃浸润产生弯曲液面，此弯曲液面产生的附加压强使毛细管中液面上升。

当水上升到毛细管管口时，弯曲液面的曲率发生改变，附加压强变小，所以水不会继续上升或向管口处继续流动。