2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题
1．（5分）设集合M＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x2+3x＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣3，﹣2，﹣1}
D．{﹣2，﹣1}
2．（5分）设i为虚数单位，复数z满足＝1﹣i，则复数z＝（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i
3．（5分）角A是△ABC的一个内角，若命题p：A＜，命题q：sin A＜，则p是q 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）
A．B．C．D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）
A．16B．32C．64D．1024
6．（5分）在等比数列{a n}中，a2a3a4＝27，a7＝27，则首项a1＝（）A．B．±1C．D．1
7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．32B．32C．D．
8．（5分）已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）若函数y＝ae x+3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）10．（5分）函数y＝x sin x+ln（x2+1）在[﹣π，π]上的图象大致为（）
A．B．
C．D．
11．（5分）设函数y＝sinωx（ω＞0）的最小正周期是T，将其图象向左平移T后，得到的图象如图所示，则函数y＝sinωx（ω＞0）的单增区间是（）
A．[﹣，+]（k∈Z）
B．[﹣，+]（k∈Z）
C．[﹣，+]（k∈Z）
D．[+，+]（k∈Z）
12．（5分）已知实数x，y满足条件，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]
二、填空题
13．（5分）若抛物线y2＝8x的准线和圆x2+y2+6x+m＝0相切，则实数m的值是．
14．（5分）已知向量||＝，||＝2，且•（﹣）＝0，则﹣的模等于．15．（5分）设A、B是球O的球面上两点，且∠AOB＝90°，若点C为该球面上的动点，三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为立方米，则球O的表面积是平方米．16．（5分）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且S2n﹣1＝（n∈N*），若不等式++…+≤λ对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值是．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且满足2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
18．（12分）在矩形ABCD中，将△ABC沿其对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面ACD上的射影O恰好落在边AD上（如图所示）．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面B1CD；
（Ⅱ）若AB＝1，BC ＝，求三棱锥B1﹣ABC的体积．
19．（12分）为响应阳光体育运动的号召，某县中学生足球活动正如火如荼的开展，该县为了解本县中学生的足球运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生（其中男生14000人，女生10000人）中抽取120名，统计他们平均每天足球运动的时间，如表：（平均每天足球运动的时间单位为小时，该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0，3]）
男生平均每天足球运动的时间分布情况：
女生平均每天足球运动的时间分布情况：
（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到0.1）；
（Ⅱ）若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”．低于2小时的学生为“非足球健将”．
①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断，能否有90%的把
握认为是否为“足球健将”与性别有关？
②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况，求这2名代表都是足球
运动时间不足半小时的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
20．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率是，F1、F2是椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，且＝．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l过右焦点F2且交椭圆E于P、Q两点，点M是直线x＝2上的任意一点，直线MP、MF2、MQ的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在常数λ，使得k1+k3＝λk2成立？
若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）在[﹣1，3]上的零点个数；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[﹣3，0]，任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）
|恒成立，求实数m的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）＝2，且点P是曲线C：
（θ为参数）上的一个动点．
（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．
[选修4-5:不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；
（Ⅱ）设m、n∈T，证明：|m+n|＜|mn+3|．
2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）设集合M＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x2+3x＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣3，﹣2，﹣1}
D．{﹣2，﹣1}
【解答】解：集合M＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
N＝{x∈R|x2+3x＜0}＝{x|﹣3＜x＜0}，
∴M∩N＝{﹣2，﹣1}．
故选：D．
2．（5分）设i为虚数单位，复数z满足＝1﹣i，则复数z＝（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i
【解答】解：＝1﹣i，
则复数z＝＝＝＝i．
故选：C．
3．（5分）角A是△ABC的一个内角，若命题p：A＜，命题q：sin A＜，则p是q 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，π），若命题p：A＜，命题q：sin A＜成立，
反之当sin A＜，则A＝满足，
故p是q的充分不必要条件，
故选：A．
4．（5分）我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心
有灵犀”的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率
列举出所有基本事件为：
（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）
（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），
（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），
（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），
（1，6），（6，1），共计36个．
记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，
事件B包含的基本事件为：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）
（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），
（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共计16个．
∴P＝＝，
∴“甲乙心有灵犀”的概率为．
故选：D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）
A．16B．32C．64D．1024
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
n＝0，S＝1，n＝1
满足条件n≤3，S＝2，n＝2
满足条件n≤3，S＝8，n＝3
满足条件n≤3，S＝64，n＝4，
不满足条件n≤3，退出循环，输出S的值为64．
故选：C．
6．（5分）在等比数列{a n}中，a2a3a4＝27，a7＝27，则首项a1＝（）A．B．±1C．D．1
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4＝27，a7＝27，∴＝27，＝27，
∴＝1，a1＞0，解得a1＝1．
故选：D．
7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．32B．32C．D．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个直三棱柱，其中高为4，底面为一个等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4．
∴该几何体的体积V＝×4＝32．
故选：B．
8．（5分）已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线，
可得虚轴的一个端点M（0，b），F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），
设∠F1MF2＝120°，得c＝b，
平方得c2＝3b2＝3（c2﹣a2），
可得3a2＝2c2，
即c＝a，
得离心率e＝＝．
故选：B．
9．（5分）若函数y＝ae x+3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：y＝ae x+3x，求导，y′＝ae x+3，
由若函数y＝ae x+3x在R上有小于零的极值点，
则y′＝ae x+3＝0有负根，
则a≠0，
则e x＝﹣在y轴的左侧有交点，
∴0＜﹣＜1，解得：a＜﹣3，
实数a的取值范围（﹣∞，﹣3）
故选：B．
10．（5分）函数y＝x sin x+ln（x2+1）在[﹣π，π]上的图象大致为（）A．B．
C．D．
【解答】解：当0＜x≤π时，x sin x≥0，ln（x2+1）＞0，
∴y＞0，故排除B，C，D，
故选：A．
11．（5分）设函数y＝sinωx（ω＞0）的最小正周期是T，将其图象向左平移T后，得到的图象如图所示，则函数y＝sinωx（ω＞0）的单增区间是（）
A．[﹣，+]（k∈Z）
B．[﹣，+]（k∈Z）
C．[﹣，+]（k∈Z）
D．[+，+]（k∈Z）
【解答】解：由图象得，T＝，则T＝，
由得，ω＝，
所以y＝sin x，
由得，
，
所以函数的递增区间是，
故选：A．
12．（5分）已知实数x，y满足条件，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
令t＝，则t的最小值为0，
联立，解得B（2，2），∴t的最大值为1，
∴＝＝∈[，]．
故选：C．
二、填空题
13．（5分）若抛物线y2＝8x的准线和圆x2+y2+6x+m＝0相切，则实数m的值是8．【解答】解：抛物线y2＝8x的准线为x＝﹣2，由方程组只有一解⇒m＝8，故答案为：8
14．（5分）已知向量||＝，||＝2，且•（﹣）＝0，则﹣的模等于1．
【解答】解：向量||＝，||＝2，且•（﹣）＝0，
∴﹣•＝3﹣•＝0，
∴•＝3；
∴＝﹣2•+＝3﹣2×3+22＝1，
∴|﹣|＝1．
故答案为：1．
15．（5分）设A、B是球O的球面上两点，且∠AOB＝90°，若点C为该球面上的动点，三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为立方米，则球O的表面积是36平方米．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，
三棱锥O﹣ABC的体积最大，
设球O的半径为R，此时＝，
解得R＝，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×＝36．
故答案为：36．
16．（5分）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且S2n﹣1＝（n∈N*），若不等式++…+≤λ对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大
值是．
【解答】解：∵数列{a n}是各项均不为零的等差数列，设公差为d，又S2n﹣1＝（n∈N*），∴n＝1时，，解得a1＝1．
n＝2时，S3＝，即3+3d＝（1+d）2，解得d＝2或d＝﹣1（舍去）．
∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
∴＝＝．
∴++…+＝+…+
＝＝．
不等式++…+≤λ，即：≤λ，化为：λ≥．不等式++…+≤λ对任意n∈N*恒成立，∴λ≥，∴0＜λ≤＝．
则实数λ的最大值是．
故答案为：．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且满足2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，其外接圆的半径是1，
∴＝＝＝2R＝2，
∴sin A＝，sin B＝，sin C＝；
又2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，
∴2（﹣）＝（a﹣b）•，
即a2+b2﹣c2＝ab，
∴cos C＝＝；
又C∈（0，π），
∴C＝；
（Ⅱ））∵C＝，∴A+B＝，即B＝﹣A，
∵＝＝2，即a＝2sin A，b＝2sin B，
∴S△ABC＝ab sin C＝2sin A sin B sin
＝sin A sin B
＝sin A sin（﹣A）
＝sin A（cos A+sin A）
＝sin A cos A+sin2A
＝sin2A+（1﹣cos2A）
＝（sin2A﹣cos2A）+
＝sin（2A﹣）+，
当2A﹣＝，即A＝时，△ABC的面积取得最大值为+．
18．（12分）在矩形ABCD中，将△ABC沿其对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面ACD上的射影O恰好落在边AD上（如图所示）．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面B1CD；
（Ⅱ）若AB＝1，BC＝，求三棱锥B1﹣ABC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC，则AB1⊥B1C，
在三棱锥B1﹣ACD中，∵B1O⊥面ACD，∴B1O⊥CD，
又CD⊥AD，且AD∩B1O＝O，∴CD⊥平面AB1O，则CD⊥AB1，
又B1C∩CD＝C，∴AB1⊥平面B1CD；
（Ⅱ）解：由于AB1⊥平面B1CD，B1D⊂平面ABCD，
∴AB1⊥B1D，在Rt△AB1D 中，，
又由B1O•AD＝AB1•B1D ，得＝，
∴S△ABC•B1O ＝×1××＝．
19．（12分）为响应阳光体育运动的号召，某县中学生足球活动正如火如荼的开展，该县为了解本县中学生的足球运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生（其中男生14000人，女生10000人）中抽取120名，统计他们平均每天足球运动的时间，如表：（平均每天足球运动的时间单位为小时，该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0，3]）
男生平均每天足球运动的时间分布情况：
女生平均每天足球运动的时间分布情况：
（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到0.1）；
（Ⅱ）若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”．低于2小时的学生为“非足球健将”．
①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断，能否有90%的把
握认为是否为“足球健将”与性别有关？
②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况，求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率． 参考公式：
，其中n ＝a +b +c +d ．
【解答】解：（Ⅰ）由分层抽样得，男生抽取的人数为＝70人，女生
抽取人数为120﹣70＝50， ∴x ＝5，y ＝2， ∴
该
校
男
生
平
均
每
天
足
球
运
动
的
时间＝
≈1.6小时；
（Ⅱ）①由表格可知
∴K2＝≈2.743＞2.706，
∴能有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关；
②记不足半小时的两人为a，b，足球运动时间在[0.5，1）内的3人为1，2，3，则总的基
本事件有10个，取值2名代表足球运动时间不足半小时的是（ab），故概率为．20．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率是，F1、F2是椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，且＝．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l过右焦点F2且交椭圆E于P、Q两点，点M是直线x＝2上的任意一点，直线MP、MF2、MQ的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在常数λ，使得k1+k3＝λk2成立？
若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由F1（﹣c，0），A（a，0），B（0，b），
则＝（a+c）b＝，
则（a+c）b＝+1，即（a+c）＝+1，
由e＝＝，a＝c，
则（c+c）＝+1，
解得：c＝1，则a＝，b＝1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F2的坐标为F2（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（2，t），当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x＝my+1，
，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
则k1+k3＝+＝•＝＝
，
＝，
＝＝2t，
由k2＝＝t，则k1+k3＝2k2，
当直线l的斜率为0时，显然k1+k3＝+＝2t＝2k2，
k1+k3＝2k2，成立，
综上可知：存在λ＝2，使得k1+k3＝λk2成立．
21．（12分）设函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）在[﹣1，3]上的零点个数；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[﹣3，0]，任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a＝6（x﹣1）（x﹣a），
a＜﹣1时，令f′（x）＝0，解得：x＝1，f′（x）有1个零点，
﹣1≤a＜1时，令f′（x）＝0，解得：x＝a，1，f′（x）2个零点，
a＝1时，令f′（x）＝0，解得：x＝1，f′（x）有1个零点，
1＜a≤3时，令f′（x）＝0，解得：x＝a，1，f′（x）2个零点，
a＞3时，令f′（x）＝0，解得：x＝1，f′（x）有1个零点；
（Ⅱ）对于任意的x1，x2∈[0，2]，
不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
等价于m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|max，
f'（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a＝6（x﹣1）（x﹣a），
当a≤0时，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜1，
∴f（x）的增区间为（﹣∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）；
故f（x）在[0，1]上单调递减，
在[1，2]上单调递增，且f（0）＝0，f（2）＝4，
∴|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（2）﹣f（1）＝5﹣3a，
则问题转化为对于任意的a∈[﹣3，0]，m﹣am2≥5﹣3a恒成立，
即对于任意的a∈[﹣3，0]，（m2﹣3）a﹣m+5≤0恒成立．
构造g（a）＝（m2﹣3）a﹣m+5，a∈[﹣3，0]，
只需，解得m∈[5，+∞），
∴实数m的取值范围是[5，+∞）．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）＝2，且点P是曲线C：
（θ为参数）上的一个动点．
（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）＝2，
∴，
∴ρsinθ+ρcosθ＝4，
由ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，得x+y＝4．
∴直线l的直角坐标方程为x+y＝4．
（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，
∴P（），
点P到直线l的距离d＝＝，
∴点P到直线l的距离的最大值d max ＝＝3，
点P到直线l的距离的最小值d min ＝＝．
[选修4-5:不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；
（Ⅱ）设m、n∈T ，证明：|m+n|＜|mn+3|．
【解答】（1）解：∵f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|＝3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，
∴3＞a2，∴﹣＜a ＜，
∴T＝{a|﹣＜a ＜}；
（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，
∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，
∴3（m+n）2＜（mn+3）2，
∴|m+n|＜|mn+3|．
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