2017-2018学年四川省遂宁市射洪中学高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年四川省遂宁市射洪中学高三（上）入学数学试卷
（理科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣x2≥0}，B＝{y|y＝2x+1}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．（0，1]C．[1，2]D．[0，2]
2．（5分）命题∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0的否定是（）
A．∀x∈R，e x﹣x﹣1≤0B．∀x0∈R，﹣x0﹣1≥0
C．∃x0∈R，﹣x0﹣1≤0D．∃x0∈R，﹣x0﹣1＜0
3．（5分）若复数z满足（2+i）z＝3﹣2i（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知p：x＞1或x＜﹣3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 5．（5分）若抛物线y2＝2mx的准线过椭圆的左焦点，则抛物线的方程为（）A．y2＝﹣12x B．y2＝12x C．y2＝﹣20x D．y2＝20x
6．（5分）设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
7．（5分）函数f（x）＝ln（x2+1）的图象大致是（）
A．B．
C．D．
8．（5分）函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′
（2）的值等于（）
A．﹣2B．2C．D．
9．（5分）已知f（x）＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范
围为（）
A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，则f（log220）＝（）
A．1B．C．﹣1D．﹣
11．（5分）设F1、F2是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）设函数f′（x）是奇函数y＝f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若命题“∃x0∈R，﹣ax0﹣2＞0”是假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）若条件p：x2+x﹣6≤0，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．
15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．
16．（5分）已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则实数a的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M个学生参加“社区志愿者”活动的次数．据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20）内的人数；
（Ⅲ）若参加“社区志愿者”活动的次数不少于20次的学生可评为“优秀志愿者”，试估计小明被评为“优秀志愿者”的概率．
18．（12分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a cosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．
19．（12分）若二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P （2，1）作x轴的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+＝，求直线l的方程．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+ax．
（1）证明：当a＝1时，f（x）≤0；
（2）证明：当a＜1时，存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0．
2017-2018学年四川省遂宁市射洪中学高三（上）入学数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：∵集合A＝{x|2x﹣x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，
B＝{y|y＝2x+1}＝{y|y＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．
故选：A．
2．【解答】解：由题意命题∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0的否定是∃x0∈R，﹣x0﹣1＜0，故选：D．
3．【解答】解：复数z满足（2+i）z＝3﹣2i（其中i为虚数单位），
可得z＝＝＝，
则复数z在复平面内对应的点为（，﹣），
则位于第四象限．
故选：D．
4．【解答】解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P
即a∈[1，+∞）．
故选：A．
5．【解答】解：椭圆的左焦点，（﹣3，0），抛物线y2＝2mx的准线：x＝，可得﹣3＝﹣，解得m＝6，
所求的抛物线方程为：y2＝12x．
故选：B．
6．【解答】解：∵
∵，
故选：A．
7．【解答】解：∵x2+1≥1，又y＝lnx在（0，+∞）单调递增，∴y＝ln（x2+1）≥ln1＝0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）＝ln（0+1）＝ln1＝0，∴图象过原点，
综上只有A符合．
故选：A．
8．【解答】解：由关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，两边求导得f'（x）＝2x+3f'（2）+，令x＝2得f'（2）＝4+3f'（2）+，解得f'（2）＝；
故选：C．
9．【解答】解：逐段考查所给的函数：
指数函数的单调递增，则：a＞1，
一次函数单调递增，则：，
且当x＝1时应有：，解得：a≥4，
综上可得，实数a的取值范围是[4，8）．
故选：B．
10．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数
又∵f（x﹣2）＝f（x+2）
∴函数f（x）为周期为4是周期函数
又∵log232＞log220＞log216
∴4＜log220＜5
∴f（log220）＝f（log220﹣4）＝f（log2）＝﹣f（﹣log2）＝﹣f（log2）
又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，
∴f（log2）＝1
故f（log220）＝﹣1
故选：C．
11．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|＝|F2F1|
∵P为直线x＝上一点
∴
∴
故选：C．
12．【解答】解：设g（x）＝xf（x），则g（x）的导数为：g′（x）＝f（x）+xf′（x）∵当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，
即当x＞0时，g′（x）恒大于0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）＝﹣1×f（﹣1）＝0，
∵f（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜0，
∴当x＞0时，g（x）＞0＝g（1），当x＜0时，g（x）＜0＝g（﹣1），
∴x＞1或﹣1＜x＜0
故使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【解答】解：命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，命题的否定：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，
即ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，当a＝0时，成立；
当a≠0时，⇒﹣8≤a＜0
综上实数a的取值范围是[﹣8，0]
故答案为：[﹣8，0]
14．【解答】解：条件p：x2+x﹣6≤0，解得﹣3≤x≤2．
条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，
则2≤a．
∴a的取值范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
15．【解答】解：函数f（x）＝＝，得到图象为：
又函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，
知f（x）＝m有三个零点，
则实数m的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
16．【解答】解：f′（x）＝a x lna+2x﹣lna＝（a x﹣1）lna+2x，
当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，
此时f′（x）≥0；
f（x）在[0，1]上单调递增，
f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna，
而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna，
由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，
故答案为：[e，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）根据频率分布表，得；
∵，
∴样本容量为M＝20；
∴m＝20﹣5﹣12﹣1＝2，
∴对应的频率为p＝＝0.1，
n＝＝0.6；
∴a＝＝0.12；…（6分）
（2）参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20）内的频率为0.6，
∴估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20）内的人数为
720×0.6＝432（人）；…（9分）
（3）参加“社区志愿者”活动的次数在20以上的频率为0.1+0.05＝0.15，
∴样本中可评为“优秀学生”的频率为p＝0.15，
∴估计小明被评为“优秀学生”的概率为0.15．…（12分）
18．【解答】解：（Ⅰ）由得，，则，
∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5＝0，…（2分）
由ρ＝2a cosθ得，ρ2＝2aρcosθ
又∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x
∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2＝a2，…（5分）
（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）
两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0
∴a的取值范围是．…（10分）
19．【解答】解：（1）由题意可知，f（0）＝1，解得，c＝1，
由f（x+1）﹣f（x）＝2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）＝2x，化简得，2ax+a+b＝2x，
∴，
∴a＝1，b＝﹣1．
∴f（x）＝x2﹣x+1；
（2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2﹣x+1＞2x+m，
即x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，
设g（x）＝x2﹣3x+1﹣m，则其对称轴为，
∴g（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数．
因此只需g（x）的最小值大于零即可，
g（x）min＝g（1），
∴g（1）＞0，
即1﹣3+1﹣m＞0，解得，m＜﹣1，
∴实数m的取值范围是m＜﹣1．
20．【解答】解：（1）∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴x2+y2＝2x，故它的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y2＝1；
（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l
上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2＝（5﹣1）2+3﹣1＝18，
由切割线定理，可得|MT|2＝|MA|•|MB|＝18．
21．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），
由题意得＝，+＝1，a2＝b2+c2．
解得a2＝6，b2＝c2＝3，则椭圆C：＝＝1．
（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），
设直线方程为x＝ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），
由3+＝，得3y1+y2＝0，
y1+y2＝﹣2y1，y1y2＝﹣3，得到＝﹣（*）
将直线x＝ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2＝0，
∴y1+y2＝，y1y2＝，代入（*）式，解得：t2＝，
∴直线l的方程为：y＝±（x﹣2）．
22．【解答】证明：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x2+x，x＞0，∴f′（x）＝﹣2x+1＝﹣＝﹣，
令f′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈（0，1），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）max＝f（1）＝0，
∴f（x）≤0；
（2）当a＜1时，存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，
∴lnx﹣ax2+ax＞0
∴a＜（）max，在（1，+∞）成立，
设g（x）＝，
∴g′（x）＝，
再设h（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，
∴h′（x）＝1﹣2lnx﹣＝1﹣2lnx﹣2+＝﹣1﹣2lnx+＜0恒成立，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）＝0，
∴g′（x）＜0在（1，+∞）恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（1），
∵＝＝1，
∴a＜1，
故当a＜1时，存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0．。