高等传热学非稳态导热理论2

高等传热学导热理论
第四讲 非稳态导热
描述非稳态导热问题的微分方程：
p
C t a t ρτΦ+
∇=∂∂ 2
共有四维，不好解。

最简单的情况，如果系统内部无温度差（即无导热），
它的温度变化规律如何？这就是所谓的薄壁问题，此时无需考虑系统的空间坐标，所以又是0维问题。

1．薄壁问题（P 40-45）即集总参数系统适用条件 薄壁理论：
如果系统内部无温度差，由热力学第一定律可得：
MCdt d A d q =∙Ω
τ
1－4－1
当热流密度与边界相互垂直时，有：
VCdt qAd ρτ= 1－4－2
如边界上的热流密度为)(t t h q f -=
VCdt d t t hA f ρτ=-)( 1－4－3
00
t t ==τ
实际情况 t 不可能相同。

什么条件下可用薄壁公式呢？ 工程界用得最多的判据是：
1.0≤Bi 1－4－4
对平壁，圆柱和球，此时内部温差小于()()(,)(0,)/(0,)5%t r t t t τττ∞--≤，即实际判据为：
()()(,)(0,)/(0,)t r t t t τττε∞--≤，即某时刻平壁内最大温差与该时刻平壁和
环境间的最大温差之比小于给定小量。

有人对此判据提出异议：在加热初期极短时间内，任何有限薄壁可看作半无限大体，温度只影响边界附近薄层中，与薄壁概念不符。

判据1－4－4的缺点是没有F o 的影响。

R o s e n o w 提出另一个判据，()()(,)(0,)/(,)(,0)t r t t t ττδτδε--≤，物理意义是在某时刻平壁内最大温差与该时间段内平壁最大温度变化之比小于给定小量。

该判据含F o ，但存在B i 越小，薄壁区越小的缺点，与判据1－4－4不相容。

俞佐平提出了含F o 的新判据，
()()()()
(,)(,0)(,)/1//(,0)t t t t t t Bi h t t δτδδτεδλδ∞∞∞∞---=≤-
该判据规律与1－4－4相似。

本人从理论上证明了判据1－4－4的合理性，发现异议者的误区在于但B i 很小时，无论时间如何短，与该薄壁相应的半无限大体中的最大温差也不会超过我们限定的温差。

这就是问题的实质。

证明：00,()w t t h c t t t t t n ρλττλ
∞∂∂=∇∇==-=-∂∂ V
V t
c
dV tdV ρλτ∂=∇∇∂⎰
⎰ ，()()(,)(0,)/(0,)t r t t t τττε∞--≤ (0,)(0,)V
V
t dt dt c
dV c dV c V d d ττρρρτττ∂≈=∂⎰
⎰ ()((0,))((0,))w
V
S
S
w
S
S
t
tdV t dS dS
n
h t t dS h t t dS h t t S
λλλ
ττ∞∞∞∂∇∇=∇=-∂=--≈-=-⎰
⎰⎰⎰⎰
(0,)(0,)((0,))((0,))dt dt hS
c
V h t t S t t d d cV ττρττττρ∞∞
=-→=- 此即集总参数法公式。

证毕。

2．薄壁加热理论：
由式1－4－2，得：()H C VC qA d dt ==ρτ//叫升温速度。

由此式可以清楚地看到形
状和密度对升温速度的影响。

()V A C q C H ρ//⨯=
其中： ()球圆柱＝平壁32/13/2//===⎪⎩
⎪
⎨⎧=k k k R k R R R
A V ρρρρρ
()R k C q C H ρ//⨯=
在R 相同时，球的升温速度最快，是厚为2R 平壁的3倍，平壁最慢。

因为物体体积都是有限的，令2/1A L A =和3/1V L v =，V A L L E /=叫形状参数
3/22V E A =, 2//E L A V V =，得：
()V H L E C q C ρ//2⨯=
球：E =2.20, 高径相等的圆柱：E =2.33, 立方体E =2.45 无限长圆柱(L 趋向无穷大)： (
)1/6
/E L R π=a ×a ×n a 的正方形柱 E =
a ×m a ×n a 的长方形柱 E =当m =n 趋向无穷大,为无限大平壁：E =在体积相同时，平壁具有最大的形状参数，升温速度最快，球有最小的形状参数，升温速度最慢，与上面的结论完全相反，但两个结论都是对的。

3．加热方式的影响：
A . 等热流加热，q =c o n s t
()0/t CV qA t +∆=ρτ
B . 等温加热：
对流加热 式1－4－3f t 为常量时的解：
()()()CV hA t t t t f ρτ/exp 0∆--=- 辐射加热：)(440T T q f -=εσ，解为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∆)()(030f f f T T T T AT CV ψψεσρτ θθθθψarctan 2
1
11ln
4
1)(+-+= 适用条件，02.0≤Mo
C ．动态温度加热，测温理论 等速升温：
τ∆+=v t t f f 0，0.,0f t t ==τ
解为：()())(/exp 0t t f v CV hA v t t ττρττ-+∆-=- 温度出现滞后现象，滞后时间()t τ，滞后温差：t v τ
正弦温度加热：
ωτsin 0B t t f f += 0.,0f t t ==τ
解为：()
()()()
()φωτωτρτωτφ-++
∆-+=
-sin 1/exp 1sin 2
2
0t t f B CV hA B t t
温度频率不变，但出现滞后现象，滞后相位差φ，温度振幅减小，减小到
()
2
11ωτt +，()ωτφt arctan =
以上分析告诉我们，若用热电偶一类的温度计测量动态温度，即时显示温度
总是跟不上实际温度变化，必须采取措施，尽量减小误差。

其中测温系统的时间常数是影响精度的主要指标。

4. 动态温度测试仪分析。

用热电偶等测量燃气温度温度，可以看成是薄壁系统。

在低马赫数条件下，可用下面方程进行描述：
))16.273()16.273(()(440+-++-=t t A t t hA d dt VC w f εστ
ρ
在壁面温度比燃气温度低得多时，上式中壁面辐射热量可以忽略不计。

我们整理
成： ))16.273()16.273((440
+-+++
=w f t t h d dt hA VC t t εστρ R M f t t t t ∆+∆+=
动态误差 辐射误差
减小动态误差的方法：
减小密度，体积和比热容，增加燃气和测温元件间的换热系数和感温元件的换热面积。

即减小系统时间常数。

减小辐射误差的方法：减小系统黑度（测温元件表面涂黑度小的材料，元件和低温壁面之间加遮热罩，增加辐射热阻，调整位置减小角系数），增加换热系数，提高壁面温度。

设计新形式，修正误差，如测出时间常数和温度变化曲线，即可算出动态误差。

5 厚壁的非稳态导热：
1D 时无内热源,常物性，有通用方程：
Sphere
n Cylinder n Plate
n dr dt r n dr t d a t
2
1022===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂τ 解有海撕勒图。

现介绍半无限大体的解。

有限
t or x
t
x t t x
t
or q q or t t x t t dx t d a t
f w w 0)(0
0022=∂∂∞
=-=∂∂-=====⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∂∂λ
ττ
1s t B C 的解：（相似法）：令 τ
ηa x
2=
代入上式：得 02
2,
,
02t t q q or
t t d t d d dt w
w
=∞=====
-ηηηηη
当t w =t a 常数时：
)2(0τ
a x
erf t t t t w w =--
当2cos(
)a t t B T πτ=+时 )2cos()exp(aT
x T aT x B t t a π
τππ--+= 振幅得衰减系数：)exp(aT
x
π
-
相位延迟量：aT
x
π
温度波传播速度：T
a
x u πτ2
=∆= 温度波周期不变。