三角形的外心内心垂心重心

三角形的外心内心垂心重心
三角形的“四心
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心•当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.
一、外心
【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心.\ABC的重心一般用字母0表示.
【性质】
1・外心到三顶点等距，即OA = OB = 0C・
2 •外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一
边，即OD 丄BC,OEA.4C,OF丄/〃・
3.ZJ = -ZBOC,ZB = L"OC,ZC = -ZAOB ・
2 2 2
二、内心
【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.MBC的内心一般用字母/表示.
C
【性质】
1 •内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.
2•三角形的面积=三角形的周长x内切圆的半径.
2
3. AE = AF. BF = BD, CD = CE ；
AE + BF±CD =三角形的周长的一半.
44一90。

+存,8“90。

+护,W9O +"C・
三、垂心
【定义】三角形三条高的交点叫重心.\ABC的重心一般用字母H表示.
1 •顶点与垂心连线必垂直对边，
即AH丄BC、BH丄AC,CH丄AB.
2.A ABH的垂心为C, NBHC的
A 垂心为/\ACH的垂心为3 •
【定义】三角形三条中线的交点叫重心・AJBC 的重心一般用字母G 表示. 【性质】
1 •顶点与重心G 的连线必平分对边.
2•重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点
的距离的2倍.
即 GA = 2GD, GB = 2GE, GC = 2GF
3 .重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即总二邑逬竺，儿
=2^
匕严
4•向量性质：(1) GA + GB + GC = O ；
三角形“四心”的向量形式：
结论1：若点O 为\ABC 所在的平面内一点，满足OAOB = OBOC = OCOA t
则点。

为MBC 的垂心.
结论2：若点O 为AABC 所在的平面内一点，满足
OA +~BC 2 =OB -}-CA =OC\7B~ f 则点 O 为\ABC 的垂心.
结论3：若点G 满足GA + GB^GC = O f 则点G 为\ABC 的重心.
结论4：若点G 为\ABC 所在的平面内一点，满足~OG = -(OA^OB + OC)t
则点G 为\ABC 的重心.
结论5：若点/为AJBC 所在的平面内一点，并且满足a H + b •用+ c •丘=6
(其中a,b,c 为三角形的三边)，则点/为AABC 的内心.
结论6：若点O 为MBC 所在的平面内一点，满足
(^ + OB) BA = (dB + OC) CB = (dc + OA) AC ，则点 O 为 \ABC 的夕卜心.
结论7：设/lw(0,+oo),则向量仲=久(«+ <£■),则动点P 的轨迹过的 \AB\ \AC\
■ •
I ■ • I •
I •
(2) PG = -(PA + PB + PC),
5・ S^GC = S^CG/l =S“GB
MB
内心.
向量和“心”
一、重心”的向量风采
【命题1】 已知G 是厶ABC 所在平面上的一点，若"G B -GG0，则G 是
△ ABC 的重心.如图⑴.
定通过△ ABC 的重心.
边上的中线所在直线的向量，所以动点 ⑵. P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心，如图
二、垂心”的向量风采
【命题3】 P 是厶ABC 所在平面上一点，若 PA P^PB P^ PC PA ，则P 是 △ ABC 的垂心. 【解析】
由 况，韋「P "B ,P ^得
（祚 L F ） C0即卩P"B ，UfO ，所以
【命题4】 已知O 是平面上一定点，A, B C 是平面上不共线的三个点，动点
【解
析】
由题意 AP 「(AB AC),当’(0
::时，由于■ (AB AC)表示 BC
图⑵
（是平面上不共线的三个点，动点
CA 同理可证P C ± A ，PAL
B C 二P 是厶ABC 的垂心.如图⑶.
图⑶
A B
P 满足 OP =0A ■ (AB AC) , ■ ( 0 B
B
P 满足O?=OA+扎 1 A ----- +
------ |，九匸（0,+°°），贝U 动点 P 的轨迹 疋
AB cosB AC cosC |
通过△ ABC 的垂心.
的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图⑷. 三、内心”的向量风采 【命题5】 已知I
ABC 所在平面上的一点，且AB 二cAC 二bBC 二a .若
T i T
aIA bIB cIC =0，贝U I 是厶ABC 的内心.
【解析】 AB c o B
AC c Cs
,由于
= 'BC'—'CB|=0,所以
AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P
二 AI
由题意
AC cosC
AB BC AC ■ BC
即岡
盂+冋盂
AC ••• bAB cAC
bc a b c
分别为AB 和AC 方向
上的单位向量,
••• AI与/ BAC平分线共线，即AI平分.BAC .
同理可证：BI 平分.ABC , CI 平分.ACB .从而I 是△ ABC 的内心，如图⑸.
【命题6】 已知0是平面上一定点，A , B （是平面上不共线的三个点，动点
的内心.
则O 是厶ABC 的外心，如图⑺.
【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C 是平面上不共线的三个点，动
轨迹一定通过△ ABC 的外心.
A C
——C 表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上, o sC
，川（0 +叱）,则动点P 的轨迹一定通过 △ ABC
，二当儿三（0 ■二时，AP 表示一 BAC 的
平分线所在直线方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心，如图⑹. 四、外心”的向量风采 【命题7】 已知0是△ ABC 所在平面上一点，若
0V "0B =—0,则 o 是
△ ABC 的外心.
^^2 2 2
【解析】 若O A = O B = 0,则 图⑻
龙=用6=|二「. 0^=RB~0，C
点P 满足OP 二
(T
T 3 IT ：
AB +
AC
AC
COB
c Cs
J
【解析】
由于°-B —°过C BC 的中点，
2
P 满足
【解析】由题意得AP
AC
■
OB OC .
2
人乏（0 + °°）,则动点P 的
A C
动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的外心，如图⑻
练习:
数.满足：AB • AC 二‘ AP ，则.的值为（
） 3
A . 2
B .
C . 3
D . 6
2
2.若.ABC 的外接圆的圆心为 0，半径为1,OA ，OB ・OC=0，贝U OA OB =（
）
A . 1
B . 0
C . 1
2
OA 2OB 2OC = 0，贝U ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（ ）
3 5
A . 0
B .
C .— 2 4
0，若OH -OA OB OC ，贝U H 是 ABC 的（
——2 ——2 ——■ 2 5.0是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，若OA BC = 0B
■ - 2 j 2 ■ 2
CA =OC AB ，则 O 是 ABC 的（ ）
A .外心
B .内心
C .重心 6^ ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为
H, OH = m （OA OB OC ），
则实数m = ______ 7. （06陕西）已知非零向量AB 与AC 满足+AC ） BC=0且•— =2 ,
|Afe| |AC| |Afe| |AC| 2
A .外心
B .内心
C .重心
D .垂心 1■已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点
P ，满足 PA PB PC
3 .点O 在ABC 内部且满足 4. =ABC 的外接圆的圆心为 D .垂心
则厶ABC为（）A.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形B.直角三角形
D .等边三角形
——2 ——————■ 一■ ——一■
8.已知ABC 三个顶点A、B、C，若AB -AB AC AB CB BC CA，则
ABC 为（）
A .等腰三角形
C .直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、
B.等腰直角三角形
D .既非等腰又非直角三角形
1、D、C。