均值方差分析方法

（2）各种证券投资组合的预期收益率：
4
R P X iR i 1 % 8 4 % 0 6 % 5 % 0 3 0 9 3 % 7 6 % 7 3 .9 % 4 i 1
Return
.
23
二、资产组合的风险与收益衡量
2、组合资产的风险 ➢（1）两种证券组合的风险测定 ① 协方差：两种证券收益变动相互关系的指标 若以A、B两种证券组合为例，则其协方差为：
.
Return 12
二、资产组合的风险与收益衡量
（一）单项资产的投资风险与期望收益
1、不确定条件下的期望收益（均值）：各种可能结 果的期望值（通常用E(X)表示），即所有可能的收益值 与其发生的概率的乘积。
离散型概率分布的期望值：
n
E(X) P(Xi)Xi i1
其中，Xi为随机事件的值，P(Xi)为随机事件i发生的 概率
.
13
二、资产组合的风险与收益衡量
例1：现有S和U两项资产收益率概率分布情况如下 表所示:
资产的收益状况
资产的收益率
经济状况 概 率
S
U
繁荣 0.2
0.25 0.05
适度增长 0.3
0.20 0.10
缓慢增长 0.3
0.15 0.15
衰退 0.2
0.10 0.20
S、U两资产的期望收益率分别为： 17.5E％(RS)＝0.2X0.25+0.3X0.20+0.3X0.15+0.2X0.10＝ 12.5E％(RU)==0.2X0.05+0. .3X0.10+0.3X0.15+0.2X0.2614＝
E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB）
其中：Rp代表两种证券投资组合预期收益率； RA、RB分别代表A、B两种证券的预期收益率
.
19
二、资产组合的风险与收益衡量
例：下表是投资于国库券、股票两种证券的一个组 合，假定其投资比例各占一半，计算两种证券投资组合 的收益率。
RP=1/2×10%+1/2×10%=10%
✓ “Don’t put all eggs into one basket”
.
3
一、均值-方差分析的一般性释义
（一）马科维茨均值-方差组合理论 1、基本内容：
在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组 合中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的有效 前沿(Efficient Frontier)，即一定收益率水平下方差最 小的投资组合，并导出投资者只在有效组合前沿上选择 投资组合。
上使风险最小化的投资组合.
.
6
一、均值-方差分析的一般性释义
再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方 差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协 方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组 合在理论上是可行的。
最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合 的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占 份额，以便实现投资组合的有效性——即对给定的风险 使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最 小化。
其公式为：P 2XA 2A 2XB 2B 22XAXBCO ABV XA 2 A 2XB 2 B 22XAXB ABA B
——组合投资的风险不仅与组合中各个证券的风险 有关，还与各证券在组合中所占的比重以及证券之间的 相互关系有关。
因而可以通过选择组合中的证券和调整组合中证券 的比重来改变组合的风险状况，即资产组合选择理论。
二、资产组合的风险与收益衡量
2、单项资产的风险：被定义为实际现金流收益对其 预期现金流收益的背离
——用方差来描述和衡量风险:一个证券在该时期的 方差是未来收益可能值对期望收益率的偏离（通常称为 离差）的平方的加权平均，权数是相应的可能值的概率 。即
Va(rX)2 P(Xi)[Xi E(Xi)]2
.
11
一、均值-方差分析的一般性释义
2、方差的性质：
（1）方差的相关性：协方差
（2）方差的对称性。与均值发生相同幅度的正偏离 或负偏离，方差是一致的。
（3）方差的稳定性：
方差的固定性：在维纳过程或标准布朗运动中，方 差率为1；
方差的稳定变化：在一般维纳过程和普通布朗运动 中，方差率为b；
方差的非稳定变化：在伊藤过程中，方差率与其它 资产价格和时间有关，随这两个因素而变动。
1[8 (%1% 02 )(1% 21% 02])2% 2
股票
1[1(% 41% 02 )(6%1% 02])4% 2
（2）计算两种证券投资组合的协方差：
AB Pi[RAiE(RA)]R[BiE(RB)]
1[(8%10%)(14%10%)(12%10%)(6%10%)] 2
E(X2)E(X)2
.
15
二、资产组合的风险与收益衡量
上例：S、U两资产收益率的方差分别计算如下：
S 20.2(0.2 50.17 )2 5 0.3(0.2 00.17 )2 5
0.3(0.1 50.17 )2 5 0.2(0.1 00.17 )2 50.0026
U 20.2(0.0 50.12 )2 5 0.3(0.1 00.12 )2 5
均值-方差分析的含义是：投资者的效用函数由资产 的收益和风险决定，用简化的数学方式表示即投资者的 效用函数仅包括均值和方差两个自变量。
✓ 期望收益率的衡量：以均值来衡量，是指在未来不 确定情况下对投资收益率所有可能的取值的加权平均 。其权数为相应的概率值。
✓ 风险的衡量：以方差来衡量，是未来收益率的所有 可能取值对期望收益率的偏离的加权平均。权数仍然 为相应的概率值。
分资产完全正相关时
2、一个无风险资产与一个风险资产构成的组合的 标准差有什么特征？
该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合 投资于这部分风险资产的比例。
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28
二、资产组合的风险与收益衡量
例：利用前表的资料计算两种证券投资组合的风险： 解： （1）计算单一证券的标准差
国库 券1 ni n1[Ri E(R)2]
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27
二、资产组合的风险与收益衡量
思考：
1、不同的相关系数是否表明资产组合的风险大小 ？
✓ A B 1 时 P 2 ( ， X AA X BB ) 2 。即资产组合的风险最大
✓ A B 1 时 P 2 ( ， X AA X BB ) 2。资产组合的风险最小 ✓ A B 0 时 P 2 ， X A 2A 2 X B 2B 2。资产组合的风险小于成
Return
.
8
一、均值-方差分析的一般性释义
（二）均值-方差分析的含义 一个随机变量的概率分布可以用一些数值特征—矩
来描述： 一阶原点矩——均值（数学期望） 二阶中心矩——方差
均值和方差是同一随机变量在同一时期运动轨迹的 不同统计值，分别用于对金融活动收益与风险的衡量
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9
一、均值-方差分析的一般性释义
的加权平均，以构成比例为权重。 每一资产对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预
期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其 他一切无关。
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18
二、资产组合的风险与收益衡量
1、组合资产的收益 ➢ （1）两种证券形成的投资组合的收益率的测定 投资者将资金投资于A、B两种证券，其投资比重分 别为XA和XB，XA+XB=1，则两证券投资组合的预期收益 率Rp等于每个预期收益率的加权平均数，即：
.
20
二、资产组合的风险与收益衡量
➢ （2）多种证券投资组合收益率的测定 证券投资组合的预期收益率就是组成该组合的各种 证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证 券的资金占总投资额的比例，即：
n
Rp Xi Ri i1
Rp代表证券投资组合的预期收益率； Xi是投资于证i券的资金占总投资额的比例或权数； Ri是证券i的预期收益率； n是证券组合中不同证券的总数。
欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的 资产之外，还应挑选相关系数较低的资产。
.
4
一、均值-方差分析的一般性释义
2、 均值-方差组合选择的实现方法：
（1）收益——证券组合的期望报酬 （2）风险——证券组合的方差 （3）风险和收益的权衡——求解二次规划
.
5
一、均值-方差分析的一般性释义
首先，投资组合的两个相关特征： （1）它的期望回报率（均值）; （2）可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度 量，其中方差作为一种度量在分析上是最易于处 理的. 其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资组 Байду номын сангаас，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大 化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平
1 AB 1
在 -1和 +1之间的相关性可减 少风险但不是全部
相关系数的符号取决于协方差的符号：
AB 0 ，两个变量负相关
AB 1，完全负相关
AB 0 ，两个变量完全不相关
AB 0 ，两个变量正相关
AB
1
，
完全正相关 .
26
二、资产组合的风险与收益衡量
③两证券组合的方差：表示组合的实际收益率偏离 组合期望收益率的程度，以此来反映组合风险的大小。
.
21
二、资产组合的风险与收益衡量
例：用下表中的数据计算证券投资组合的预期收益率
证券组合 第一种证券 第二种证券 第三种证券 第四种证券
期初投资值（元） 期末市值（元） 数量（%）
1000
1400
18
400
600
6
2000
2000
39
1800
3000
37
.
22
二、资产组合的风险与收益衡量
解：（1）各种证券的预期收益率如下： E(R1)141 00100000 40% 0E(;R2)60 40 0 40 005% 0 E(R3)202 00200000 00;E(R4)301 08100800 60% 7
CO (XV A,XB)ABE{X [AE(XA)]X[BE(XB)]}
Pk{X [AkE(XA)]X[BkE(XB)]}
其中，XA代表证券A的收益率；XB代表证券B的收 益率；
E(XA)代表证券A的收益率的期望值；E(XB)代表证 券B的收益率的期望值；
σAB代表A、B两种证. 券收益率的协方差。
✓ 标准差：也反映未来收益率的所有可能取值对期望 收益率的偏离程度。
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10
一、均值-方差分析的一般性释义
1、均值的性质 （1）均值的稳定性：以漂移率来衡量均值的固定性
（2）均值的确定性：均值作为一阶矩，加总时不会 相互抵消，具有确定性
（3）均值的随机性：本身具有一定的随机性
（4）均值的相关性：均值具有记忆效应
.
2
一、均值-方差分析的一般性释义
马科维茨投资组合选择理论的基本思想为：投资组 合是一个风险与收益的trade-off问题，投资组合通过分 散化的投资来对冲掉一部分风险。 ✓ “Nothing ventured, nothing gained”
✓ "For a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk to maximize the return”
均值-方差分析方法
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1
一、均值-方差分析的一般性释义
（一）问题的提出 Markowitz(1952)发展了一
个在不确定条件下严格陈述的 可操作的资产组合选择理论： 均值-方差方法 Mean-Variance methodology.
马科维茨(H. Markowitz, 1927～) 《证券组合选择理论》
0.3(0.1 50.12 )2 5 0.2(0.2 00.12 )2 50.0026
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16
二、资产组合的风险与收益衡量
小结 对于单个证券的持有者而言： 收益指标：期望收益 风险指标：标准差或方差
Return
.
17
二、资产组合的风险与收益衡量
（二）组合资产的风险与期望收益 资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率
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7
一、均值-方差分析的一般性释义
3、几个基本概念
（1）证券投资组合的选择：如何构筑各种有价证券 的头寸（包括多头和空头）来最好地符合投资者的收益 和风险的权衡
（2）无差异曲线：对一个特定的投资者而言，任意 给定一个证券组合，根据他对期望收益率和风险的偏好 态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，可以得到一 系列满意程度相同的（无差异）证券组合。所有这些组 合在均值方差（或标准差）坐标系中形成一条曲线，这 条曲线就称为该投资者的一条无差异曲线。
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二、资产组合的风险与收益衡量
注： ✓ 协方差>0，则两种证券的回报率正相关 ✓ 协方差<0，则两种证券的回报率负相关 ✓ 协方差=0，则两种证券没有任何互动关系
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二、资产组合的风险与收益衡量
② 相关系数（测量两种股票收益共同变动的趋势 ） ：协方差的标准化
AB
COV ( A, B)
A B