高中数学(人教实验A版选修2-1)2.2椭圆同步练测.docx

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2.2 椭圆同步练测
建议用时实际用时满分实际得分
45分钟100分
一、选择题（每小题5分，共20分）
1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长
为，离心率为，则椭圆的方程是（）
A. B.
C. D.
2．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）
A．
5
4
B.
3
2
C.
2
2
D.
1
2
3．若AB是过椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐
标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）
A．
2
2
c
a
- B.
2
2
b
a
-
C．
2
2
c
b
-D．
2
2
a
b
-
4．“-3<m<5”是“方程表示椭圆的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题（每小题5分，共10分）
5.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.
6.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．
三、解答题(共70分)
7.（15分）已知点A(－2,0)、B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线
段MN的中点到y轴的距离为4
5，且直线l与圆x
2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程
8.（20分）如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且 |MD |＝ 4
5
|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被轨迹C 所截线段的长度
9. （15分）已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12
.
(1）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；
（2）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若 △PAB 的面积为
36
13
，求直线AB 的方程
10. （20分）已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（a＞b＞0）的离心率e=
2
2
，左、右焦点分别为F1、
F2，点P的坐标为(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程
（2）（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，，且+=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标
一、选择题
1. D 解析：由长轴长为12，离心率为，可得,所以.又焦点在轴上，所以椭圆的方程为.
2. B 解析：∵ a =2b , ()
2
2323,.2
c c b b b e a ∴=
-==
=故选B . 3.B 解析： 设A （x 1，y 1），M （x 0，y 0），则B （x 1，y 1），则k AM •k BM =22
0122
01y y x x --.
∵A ，M 在椭圆上，∴2222001122221,1x y x y a b a b
+=+=，两式相减，可得k AM •k BM =2
2b a - ，故选B ．
4.B 解析：由方程表示椭圆知即-3<m <5且m ≠1.故选B . 二、填空题
5. 4或- 解析：①当焦点在x 轴上时，，， ∴=k -1>0.∴ k >1且e = = = = .解得k =4.
②当焦点在y 轴上时， =9， =k +8>0，∴=9-k -8=1-k >0. ∴ -8<k <1且e = = = = .解得k =- .
6. 解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是椭圆，其中 ，,所以椭圆方程为. 三、解答题
7. 解：易知直线l 与x 轴不垂直，
设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)． ①
又设椭圆方程为22
2214
x y a a +=-(a 2>4)． ②
因为直线l 与圆x 2＋y 2
＝1相切， 故
221
k k +＝1，解得k 2
＝13
.
将①代入②整理，得(a 2
k 2
＋a 2
－4)x 2
＋4a 2k 2
x ＋4a 2k 2
－a 4
＋4a 2
＝0，
而k 2＝13，即(a 2－3)x 2＋a 2x －34
a 4＋4a 2
＝0.
设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2
23
a a --，
由题意有223a a -＝2×45(a 2>3)，求得a 2
＝8.经检验，此时∆>0.
故所求的椭圆方程为22
184
x y +=.
8.解：(1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x P ，y P )，
由已知得,5,4
P P x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∵ 点P 在圆上，∴ x 2＋2
＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋(x －3)
2
25
＝1，即x 2－3x －8＝0.
∴ x 1＝
3－412，x 2＝3＋412
.
∴ 线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝
4125×41＝415
. 9.解：（1）由题意可知1c =，1
2
c a =，所以2a =.
所以2
2
2
3b a c =-=.
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-.
(2）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+,1122(,),(,)A x y B x y , 由可得22
(34)690m y my ++-=. 所以∆223636(34)0,m m =++>1212
2269
,.3434
m y y y y m m +=-=-++ 所以△PAB 的面积()
2
121212111
3422
S PF y y y y y y =
-=⨯⨯+-
2
22223636181
2343434
m m m m m +⎛⎫=-+
= ⎪+++⎝⎭. 因为△PAB 的面积为3613，所以22123413
m m +=
+. 令21t m =
+，则
22
(1)3113
t t t =?+.
解得11
6
t =
（舍去），22t =.所以3m =?. 所以直线AB 的方程为+310x y -=或310x y -
-=.
10.解：（1）由椭圆C 的离心率e =
22，得22
c a = ，其中c = 22a b -.
∵ 椭圆C 的左、右焦点分别为F 1（c ，0），F 2（c ，0）， 又点F 2在线段PF 1的中垂线上，∴ |F 1F 2|=|PF 2|，
∴ (2c ) 2 =(3)2+(2-c )2，解得c =1，a 2=2，b 2
=1.
∴ 椭圆的方程为22
x +y 2
=1．
（2）由题意，知直线MN 存在斜率，其方程为y =kx +m ．
由2
21,2x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y ，得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 22=0． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
则x 1+x 2=2421
km k -+，x 1x 2=2222
21m k -+，且2111F M kx m k x +=- ，222.1F N
kx m k x +=- 由已知α+β=π，得220,F M F N k k += 即
12120.11
kx m kx m
x x +++=--化简，得12122()()20,kx x m k x x m +-+-=
∴222224()220,2121
m km m k k m k k --∙--=++整理得m =2k ．
（3）∴直线MN 的方程为y =k （x 2），因此直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）。