【精品】高考数学一轮复习通用版课时跟踪检测(三十五) 基本不等式及其应用

课时跟踪检测（三十五） 基本不等式及其应用
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·连云港调研)若x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋2
y 的最小值为________．
解析：∵x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝2， ∴xy ＝4， ∴1x ＋2y ≥2
2xy ＝2，当且仅当1x ＝2y 且xy ＝4，即x ＝2，y ＝22时取等号，
∴1x ＋2
y 的最小值为 2. 答案： 2
2．当x ＞0时，f (x )＝2x
x 2＋1的最大值为________．
解析：因为x ＞0，所以f (x )＝
2x x 2＋1
＝2x ＋1x
≤2
2＝1，
当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时取等号． 答案：1
3．(2018·苏州期末)已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1
b ＝1，则3a ＋2b ＋b a 的最小值为________．
解析：∵a ＞0，b ＞0，且1a ＋1
b ＝1，
∴3a ＋2b ＋b a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋2b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋b a ＝5＋3a b ＋3b a ≥5＋29＝11，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，
∴3a ＋2b ＋b
a 的最小值为11.
答案：11
4．当3＜x ＜12时，函数y ＝
(x －3)(12－x )
x
的最大值为________． 解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36
x ＝－⎝
⎛⎭⎫x ＋36
x ＋15≤－2 x ·36
x ＋15＝3.
当且仅当x ＝36
x ，即x ＝6时，y max ＝3. 答案：3
5．(2018·通州期末)若log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析：∵log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，
∴log 2a ＋4b ＝log 2ab ，a ＋4b ＞0，ab ＞0. ∴a ＋4b ＝ab ，即a ＋4b ＝ab ， ∴1b ＋4
a ＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1b ＋4a ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4b
a ＝9，当且仅当a ＝2
b ＝6时取等号．
∴a ＋b 的最小值是9. 答案：9
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费
用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800
x 元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批
生产产品80件．
答案：80
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·盐城调研)若x ＞0，y ＞0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y 的最大值为________．
解析：令x ＋y ＝n ，1x ＋4
y ＝m ，
∴m ·n ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y
≥9. ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ·n ≥9，m ＋n ≤9⇒9≥m ＋n ≥m ＋9
m . ∴m 2－9m ＋9≤0，解得
9－352≤m ≤9＋35
2
. ∴1x ＋4
y 的最大值为9＋352. 答案：
9＋35
2
2．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋2
1－b 的最小值为________．
解析：由题意得b ＝14a ，所以0＜14a ＜1，即a ∈⎝⎛⎭⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋2
4a －1
＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝
11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13
[(4－4a )＋(4a －1)]⎝⎛⎭⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a ≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a 时等号成立，
所以所求最小值为4＋42
3.
答案：4＋42
3
3．(2018·连云港期末)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y ＝4，则2x ＋1
y 的最小值是________．
解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y ＝4， ∴4＝2x ＋4y ≥22x
＋2y
，即x ＋2y ≤2，
∴2x ＋1y ≥12⎝⎛⎭⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝12⎝⎛⎭⎫
4＋4y x ＋x y ≥1
2⎝
⎛⎭
⎫
4＋24y x ·x y ＝4， 当且仅当x ＝2y 时等号成立， ∴2x ＋1
y 的最小值是4. 答案：4
4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．
解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝
2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是9
2
.
答案：9
2
5．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面
的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.
解析：设横断面的高为h ，
由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝3
2
x ，
所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32
x ，故BC ＝18x －x
2，
由⎩⎨⎧
h ＝32x ≥ 3，
BC ＝18x －x
2
＞0，得2≤x ＜6，
所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x
2
(2≤x ＜6)， 从而y ＝
18x ＋3x
2
≥2 18x ·3x
2
＝63， 当且仅当18x ＝3x
2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等号成立．
答案：2 3
6．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则
4x ＋2＋1
y ＋1
的最小值为________． 解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以
4x ＋2＋1y ＋1
＝4a ＋1b ＝14(a
＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝1
3时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1
的最小值为94.
答案：9
4
7．(2018·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4
y 的最小值是________．
解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x ＋4(x ＋y )y ＝y x ＋4x
y ＋4≥2y x ·4x y ＋
4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝2
3
时取“＝”，所以y x ＋4y 的最小值是8.
答案：8
8．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1
的最小值为________． 解析：∵x ＋y ＝xy ， ∴3x x －1＋2y y －1＝3x (y －1)＋2y (x －1)(x －1)(y －1) ＝
5xy －3x －2y xy －x －y ＋1＝5x ＋5y －3x －2y
x ＋y －x －y ＋1
＝2x ＋3y .
又∵x ＋y ＝xy 可化为1y ＋1
x ＝1，
∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )⎝⎛⎭⎫
1y ＋1x ＝2x y ＋3y
x ＋5≥22x y ·3y x ＋5＝26＋5，当且仅当2x 2＝3y 2时取等号，
∴
3x x －1＋2y
y －1
的最小值为26＋5. 答案：26＋5
9．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋8
2x －3的最大值；
(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x
2＋83－2x ＋32. 当x ＜3
2时，有3－2x ＞0，
所以3－2x 2＋83－2x
≥2
3－2x 2·8
3－2x
＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－1
2时取等号．
于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－5
2.
(2)因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0，
所以y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤ 2·x ＋2－x
2＝2，
当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，
所以当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 10．(2019·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝4. (1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x ＋3y 的最小值及相应的x ，y 的值． 解：(1)因为4＝2x ＋y ≥22xy ⇒xy ≤2， 所以xy 的最大值为2，当且仅当2x ＝y ＝2， 即x ＝1，y ＝2时取“＝”．
(2)因为9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋
y ＝18， 所以9x ＋3y 的最小值为18，
当且仅当9x ＝3y ，即2x ＝y ＝2⇒x ＝1，y ＝2时取“＝”．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋3
tan 2α
的最小值为________． 解析：∵α为锐角，∴tan α＞0，
∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝3
2tan α＋tan α2≥2
32tan α·tan α
2
＝3， 当且仅当tan α＝ 3，即α＝π
3时取得等号，
∴2tan α＋3
tan 2α的最小值为 3.
答案： 3
2．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．
解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，
得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a ＜－2时，对称轴t ＝a 2＜－1，(*)式恒成立；当a ＞2时，对称轴t ＝a 2，要使(*)式恒成立，则a
2＜4，且
16－4a ＋1≥0，得2＜a ≤
174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤17
4
，则实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，174.
法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.
原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4， ＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝⎛⎭⎫t ＋1t min ＝17
4
，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，174. 答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，17
4 3．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝1
3x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋
10 000
x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完．
(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，
则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：
当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－1
3
x 2＋40x －250.
当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000
x
＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨
⎧
－1
3
x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝
⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.
(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－1
3
(x －60)2＋950.
此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000
x
＝1 200－200＝1 000.
此时x ＝
10 000
x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．
由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。