函数及其表示 知识点与题型归纳

●高考明方向
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的
定义域和值域，了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当
的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.
★备考知考情
从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出.
函数的图象主要体现在选择与填空题中用
数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给
出图象求解析式．
一、知识梳理《名师一号》P10
知识点一函数的基本概念
1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么
就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，
记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函
数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
显然，值域是集合B的子集．
从映射的角度看，函数是由一个非空数集
到另一个非空数集的映射．
温馨提示：
(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．
(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．
(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
2、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法
知识点二映射
映射的概念：
设A、B是两个集合，如果按照某种对应法
则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B
中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系
叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
（补充）象和原象：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，
如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做
元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
注意：《名师一号》P11 问题探究问题2
函数与映射的区别与联系
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；
(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，若A ，B 不是数集，则这个映射便不是函数．
知识点三 分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． （补充）复合函数()()=y f g x
二、例题分析：
（一) 映射与函数的概念
例1．（1）(补充)
（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；
（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，
2:22f x y x x →=-+；
（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应 是A 到B 的映射．
答案：（2）
注意：(补充)
判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足
“每元有像”且“像唯一”；即要注意：
①允许一对一、多对一，但不允许一对多；
②B 中元素可有剩余（即允许B 中有的元素没有原象）.
例1．（2）(补充)点(),a b 在映射f 的作用下的象是(),a b a b -+，则在映射f 的作用下点()3,1的原象是 答案：()2,1-
例2.《名师一号》P11 高频考点 例1
有以下判断：
①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧
1 ?x ≥0?－1 ?x <0?表示同一函数； ②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；
④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．
答案: ②③.
解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为
{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩
⎨⎧
1 ?x ≥0?，－1 ?x <0?的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )
表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.
注意：《名师一号》P11 高频考点 例1 规律方法 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；
当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
简而言之
1、函数是一类特殊的映射，是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射。

:f x y →是一对一或多对一
2、函数的三要素（定义域、值域、对应法则）
可简化为两要素（定义域、对应法则）
练习：《名师一号》P10 对点自测1---图像
练习：温故知新P11 第9题
解析式为2
=y x ，值域为{}1,4的函数共有 个。

答案：9 （二）求函数解析式
例1. （1）《名师一号》P11 高频考点 例2
(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x
2，求f (x )的解析式．
解析：(1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，
故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法
求函数解析式常用以下解法：
(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式． 例1. （2）《名师一号》P11 高频考点 例2
(2)已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； 解析：(2)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1
， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1
. 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法
求函数解析式常用以下解法：
(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，
可用换元法，此时要注意新元的取值范围． 例1. （3）《名师一号》P11 高频考点 例2
(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，
f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )；
解析：(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2， 得c ＝2，
f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1.
∴f (x )＝12x 2－32
x ＋2. 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法
求函数解析式常用以下解法：
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待定系数法．
（补充）
（1） 一次函数解析式：()()0f x kx b k =+≠
（2） 二次函数解析式：
① 一般式：()2
()0f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()2
()0f x a x h k a =-+≠
(顶点为(),h k )
③ 两根式：()()()12()0f x a x x x x a =--≠
（12x x 、为相应方程()0f x =的两根）
例1. （4）《名师一号》P11 高频考点 例2
(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )． 解析：(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .
得f (x )＝23x －x 3
(x ≠0)． 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法
求函数解析式常用以下解法：
(4)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
例1. （5）（补充）
已知函数f (x )满足f (0)＝1，
f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)(a 、b ∈R)，求f (x )． 解析：
解法1：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)
＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1，再令－b ＝x 得，
f (x )＝x 2＋x ＋1.
解法2：令b ＝a ，则1＝f (0)＝f (a )－a (2a －a ＋1) ＝f (a )－a (a ＋1)，
∴f (a )＝a (a ＋1)＋1＝a 2＋a ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1. 注意：（补充）求函数解析式常用以下解法：
赋值法
此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化，具体化，从而获解。

（三)分段函数、复合函数
例1.（1）《名师一号》P11 对点自测4
已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是__________．
解析f[g(1)]＝f(3)＝1.
故f[g(x
例1.（2）《名师一号》P11 对点自测6
(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩
⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0. 若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．
解析 由题意得⎩⎨⎧
f ?a ?<0，f 2?a ?＋f ?a ?≤2，或⎩⎨⎧ f ?a ?≥0，－f 2?a ?≤2，
解得f (a )≥－2.
由⎩⎨⎧ a <0，a 2＋a ≥－2，或⎩⎨⎧ a ≥0，－a 2≥－2，
解得a ≤ 2. 例2.《名师一号》P12 高频考点 例3
(2014·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，
则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)
A 项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＋1＝π2＋44
，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≠f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，所以函数f (x )不是偶函数，排除A. B 项，当x >0时，函数f (x )单调递增，而f (x )＝cos x 在区间(－2π，－π)上单调递减，故函数f (x )不是增函数，排除B.
C 项，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，对任意的非零实数T ，
f(x＋T)＝f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，排除C.
D项，当x>0时，f(x)＝x2＋1>1；当x≤0时，f(x)＝cos x∈[－1，1]．故函数f(x)的值域为[－1,1]∪(1，＋∞)，即[－1，＋∞)，所以该项正确，选D.
注意：《名师一号》P12 高频考点例3 规律方法(1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，代入求解．
(2)如果分段函数中每一段上的解析式都是我们常见的基本初等函数，通常可以将这个分段函数的图象画出来，然后结合图象解决一些函数单调性问题、函数零点个数的判断问题、参数取值范围的讨论等问题．
例3《名师一号》P12 特色专题典例
设x≥0时，f(x)＝2；x<0时，f(x)＝1，又规定：
()
()()
() 312
2
---
=>
f x f x
g x x，
试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图象．
【规范解答】对于x>0的不同区间，讨论x－1与x－2的符号可求出g(x)的表达式．
当0<x<1时，x－1<0，x－2<0，
∴g(x)＝3－1
2＝1；
当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0，
∴g(x)＝6－1
2＝
5
2；
当x≥2时，x－1>0，x－2≥0，
∴g (x )＝6－22
＝2. 故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 ?0<x <1?，52 ?1≤x <2?，2 ?x ≥2?.
其图象如下图．
注意：分段函数意义理解不清致误
【易错分析】
①对函数的对应法则不理解，误认为f (x －1)＝f (x －2)＝2，虽然都是x >0但已知函数y ＝f (x )，x 是作为对应法则f 下的自变量，而函数y ＝f (x －1)是复合函数，对应法则f 不是直接作用于x ，而是作用于x －1只有x ≥1时，x －1≥0，此时f (x －1)＝2才成立．
②不理解分段函数的概念，不会对x －1，x －2的符号进行讨论或讨论时易遗漏1≤x <2这种情况．
③忽视分段函数中每一段自变量取值范围端点处等号是否取得，表现在图象上为端点的虚实与衔接，如x ＝1和x ＝2时对应的两点不能同时为实点，否则x 与y 的对应是一对二，不是映射也就构不成函数关系了，另本题中已知条件x >0也是容易忽视的．
【名师点评】
对于分段函数问题是高考的热点，在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．
课后作业
计时双基练P213 基础1-11、培优1-4
课本P11-12变式思考1、2、3；对应训练1、2、3 预习 第二章 第二节 函数的定义域与值域
补充：
练习1：已知2(21)465f x x x +=-+，求()f x 。

答案：2
()59f x x x =-+
练习2：已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )．
解析：令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t
∴sin 2x ＝1－cos 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t
∴f (x )＝－x 2＋2x ，但t ＝1－cos x ∈[0,2]
∴f (x )＝－x 2＋2x x ∈[0,2]．
练习3：设二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x )，且f (x )＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x )的解析式． 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
由f (x ＋2)＝f (2－x )知，该函数的图象关于直线x ＝2对称
∴－b 2a
＝2，即b ＝－4a ① 又图象过点(0,3)，∴c ＝3 ② 由方程f (x )＝0的两实根平方和为10，得
(－b a )2－2c a ＝10，即b 2－2ac ＝10a 2 ③ 由①、②、③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3(a ＝0应舍去)
∴f (x )＝x 2－4x ＋3
练习4：已知函数f (x )满足条件：f (x )＋2f (1x )＝x ，
则f (x )＝________.
解：用1x 代换条件方程中的x 得，f (1x )＋2f (x )＝1x ，把它与原条件式联立．
即得⎩⎪⎨⎪⎧ f ?x ?＋2f ?1x ?＝x ，
①f ?1x ?＋2f ?x ?＝1x . ②
②×2－①得 f (x )＝2－x 2
3x
. 练习5：
已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 且1()()1
f x
g x x +=
-，求()f x 的解析式。

答案：2()1
x f x x =- 练习6：（05山东）函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩ 若()()12f f a +=则a 的所有可能值为（ ）
A.1
B.2-
C.1,2-
D.1,2 答案：C
注意：（补充）转化法
（后置至奇偶性）
已知f (x )在某个区间上的表达式及f (x )具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f (x )在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．
例6. (2010·广东文)已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．
(1)求f (－1)，f (2.5)的值；
(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在
[－3,3]上的单调性．
解析：(1)由f (－1)＝kf (1)，f (2.5)＝1k f (12)知需求f (12
)和f (1)，f (1)＝－1，f (12)＝12×(12－2)＝－34
， ∴f (－1)＝－k ，f (2.5)＝－34k
(2)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x (x －2)，
设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2，
∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)x ；
设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0，
∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋4)(x ＋2)；
设2<x ≤3，则0<x －2≤1，
∵f (x )＝kf (x ＋2)，∴f (x －2)＝kf (x )，
∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k (x －2)(x －4)
综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ k 2?x ＋2??x ＋4? －3≤x <－2kx ?x ＋2? －2≤x <0x ?x －2? 0≤x ≤21k ?x －2??x －4? 2<x ≤3
∵k <0，∴由二次函数的知识知：f (x )在[－3,2)上是增函数，在[－2，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在
[0,1)上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数，又各区间都可以是闭区间，∴f (x )在[－3，－1]上是增函数，在[－1,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．
点评：可用导数讨论单调性
例2.（补充）
用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域．
解析：由题意知，此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a
＋πx ＝l ，即a ＝l 2－π2x －x ，半圆的半径为x ，所以 y ＝πx 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2－π2x －x ·2x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋π2x 2＋lx . 根据实际意义知：
l 2－π2x －x >0，因x >0，解得0<x <l 2＋π
. 即所求函数为y ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋π2x 2＋lx 其定义域是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <l 2＋π. 注意：（补充）应用题求函数解析式
常要根据实际问题的意义来列函数关系，
确定函数的定义域．
点评：求由实际问题确定函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约．。