浙江专用2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系教师用书

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2018版高考数学一轮复习第九章解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系真题演练集训理新人教A版

2018版高考数学一轮复习第九章解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系真题演练集训理新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10答案：C解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案：C解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴ |AB |2＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案：4解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读圆与线性规划的综合应用[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为|0－－＋1|＝5，12＋22此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为5－1.[答案]5－1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．。

2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第9章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知识梳理1.直线与圆的位置关系设圆C ：【x －a 】2＋【y －b 】2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C 【a ，b 】到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y 【或x 】，得到关于x 【或y 】的一元二次方程，其判别式为Δ.2.设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件.【】【2】如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.【】【3】如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.【】【4】从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.【】【5】过圆O：x2＋y2＝r2上一点P【x0，y0】的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.【】解析【1】“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件.【2】除外切外，还有可能内切.【3】两圆还可能内切或内含.答案【1】×【2】×【3】×【4】√【5】√2.【2015·安徽卷】直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是【】A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或12解析圆的标准方程为【x－1】2＋【y－1】2＝1，圆心【1，1】到直线3x＋4y＝b的距离为|7－b|5＝1，解得b＝2或b＝12，故选D.答案 D3.【2017·西安调研】若直线x－y＋1＝0与圆【x－a】2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是【】A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.【－∞，－3]∪[1，＋∞】解析由题意可得，圆的圆心为【a，0】，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案 C4.【2015·湖南卷】若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2【r>0】相交于A，B两点，且∠AOB＝120°【O为坐标原点】，则r＝________.解析如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2. 答案 25.【必修2P133A9改编】圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线的方程为________；公共弦长为________.解析由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0，即为两圆公共弦所在的直线方程.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以，所求弦长为2 2. 答案 x －y ＋2＝0 2 26.【2017·东阳调研】在坐标平面内，与点A 【1，2】距离为1，且与点B 【3，1】的距离为2的直线共有________条.解析分别以A ，B 为圆心，以1，2为半径作圆，两圆的公切线有两条. 答案 2考点一直线与圆的位置关系【例1】【1】“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆【x －a 】2＋【y －3】2＝8相切”的【】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【2】直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是【】 A.【3，2】 B.【3，3】 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析【1】若直线y ＝x ＋4与圆【x －a 】2＋【y －3】2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆【x －a 】2＋【y －3】2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆【x －a 】2＋【y －3】2＝8相切”的充分不必要条件.【2】当直线经过点【0，1】时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233【切点在第一象限】，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 答案【1】A 【2】D规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法【1】几何法：利用d 与r 的关系. 【2】代数法：联立方程之后利用Δ判断.【3】点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 【训练1】【1】已知点M 【a ，b 】在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是【】 A.相切 B.相交 C.相离D.不确定【2】【2017·杭州双基测试】圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________.解析【1】因为M 【a ，b 】在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆O 相交.【2】法一将直线方程代入圆方程，得【k 2＋1】x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12【k 2＋1】＜0，解得－3＜k ＜ 3.法二圆心【0，0】到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d ＞1，即2k 2＋1＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案【1】B 【2】－3＜k ＜ 3 考点二圆的切线、弦长问题【例2】【1】【2016·全国Ⅰ卷】设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.【2】过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________.解析【1】圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋【y －a 】2＝a 2＋2，圆心为C 【0，a 】，半径r ＝a 2＋2，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π【a 2＋2】＝4π.【2】将圆的方程化为标准方程为【x －3】2＋【y －4】2＝5，则圆心为【3，4】，半径长为 5.由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心【3，4】到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为【4，2】，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ |＝4. 答案【1】4π 【2】4 规律方法【1】弦长的两种求法①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. ②几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 【2】圆的切线方程的两种求法①代数法：设切线方程为y －y 0＝k 【x －x 0】，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .②几何法：设切线方程为y－y0＝k【x－x0】，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.【训练2】【1】过点【3，1】作圆【x－2】2＋【y－2】2＝4的弦，其中最短弦的长为________.【2】过点P【2，4】引圆【x－1】2＋【y－1】2＝1的切线，则切线方程为________. 解析【1】设P【3，1】，圆心C【2，2】，则|PC|＝2，半径r＝2，由题意知最短的弦过P【3，1】且与PC垂直，所以最短弦长为222－（2）2＝2 2.【2】当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k 【x－2】，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k－1＋4－2k|k2＋（－1）2＝|3－k|k2＋1＝1，解得k＝4 3，∴所求切线方程为43x－y＋4－2×43＝0，即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.答案【1】22【2】x＝2或4x－3y＋4＝0考点三圆与圆的位置关系【例3】【2017·浙江五校联考】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x －12y＋m＝0.【1】m取何值时两圆外切？【2】m取何值时两圆内切？【3】当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解因为两圆的标准方程分别为【x－1】2＋【y－3】2＝11，【x－5】2＋【y－6】2＝61－m，所以两圆的圆心分别为【1，3】，【5，6】，半径分别为11，61－m，【1】当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m，得m＝25＋1011.【2】当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.【3】由【x 2＋y 2－2x －6y －1】－【x 2＋y 2－10x －12y ＋45】＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 故两圆的公共弦的长为2（11）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 规律方法【1】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.【2】若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到.【训练3】【1】【2016·山东卷】已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0【a ＞0】截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：【x －1】2＋【y －1】2＝1的位置关系是【】 A.内切B.相交C.外切D.相离【2】【2017·台州市调研】已知圆C 1：【x －a 】2＋【y ＋2】2＝4与圆C 2：【x ＋b 】2＋【y ＋2】2＝1 相外切，则ab 的最大值为【】A.62B.32C.94D.2 3解析【1】∵圆M ：x 2＋【y －a 】2＝a 2，∴圆心坐标为M 【0，a 】，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋【2】2＝a 2，解得a ＝2.∴M 【0，2】，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N 【1，1】，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.【2】由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即【a ＋b 】2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立. 答案【1】B 【2】C[思想方法]1.解决有关弦长问题的两种方法：【1】几何法，直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2；【2】代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形. [易错防范]1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.基础巩固题组【建议用时：40分钟】一、选择题1.【2016·全国Ⅱ卷】圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝【】 A.－43B.－34C. 3D.2解析由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为【1，4】，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43. 答案 A2.【2017·金华调研】过点【3，1】作圆【x －1】2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为【】 A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵过点【3，1】作圆【x －1】2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，∴点【3，1】在圆【x －1】2＋y 2＝r 2上， ∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12， ∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2【x －3】，即2x ＋y －7＝0.故选B. 答案 B3.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是【】 A.－2B.－4C.－6D.－8解析将圆的方程化为标准方程为【x ＋1】2＋【y －1】2＝2－a ，所以圆心为【－1，1】，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B. 答案 B4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有【】 A.1个B.2个C.3个D.4个解析圆的方程化为【x ＋1】2＋【y ＋2】2＝8，圆心【－1，－2】到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点.答案 C5.【2017·温州调研】过点P 【1，－2】作圆C ：【x －1】2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为【】 A.y ＝－34B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14解析圆【x －1】2＋y 2＝1的圆心为【1，0】，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为【x －1】2＋【y ＋1】2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12. 故选B. 答案 B 二、填空题6.【2016·全国Ⅲ卷】已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 解析设A 【x 1，y 1】，B 【x 2，y 2】，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， ∴A 【－3，3】，B 【0，23】. 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3【x ＋3】，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－【－2】＝4. 答案 47.【2017·宁波调研】点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________；|PQ |的最大值是________. 解析把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得【x －4】2＋【y －2】2＝9，【x ＋2】2＋【y ＋1】2＝4.圆C 1的圆心坐标是【4，2】，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是【－2，－1】，半径是2.圆心距d ＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝3 5.所以，|PQ |的最小值是35－5，|PQ |的最大值为35＋5. 答案 35－5 35＋58.【2017·贵阳一模】由直线y ＝x ＋1上的一点向圆【x －3】2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________.解析设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1.要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离.设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥（22）2－1＝7. 答案7三、解答题9.【2015·全国Ⅰ卷】已知过点A 【0，1】且斜率为k 的直线l 与圆C ：【x －2】2＋【y －3】2＝1交于M ，N 两点. 【1】求k 的取值范围；【2】若OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解【1】易知圆心坐标为【2，3】，半径r ＝1，由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.【2】设M 【x 1，y 1】，N 【x 2，y 2】.将y ＝kx ＋1代入方程【x －2】2＋【y －3】2＝1，整理得【1＋k 2】x 2－4【1＋k 】x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝【1＋k 2】x 1x 2＋k 【x 1＋x 2】＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.10.已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：【x －1】2＋【y ＋1】2＝12. 【1】试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；【2】求直线l 被圆C 截得的最短弦长.法一【1】证明由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，（x －1）2＋（y ＋1）2＝12，消去y 得【k 2＋1】x 2－【2－4k 】x －7＝0，因为Δ＝【2－4k 】2＋28【k 2＋1】>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点. 【2】解设直线与圆交于A 【x 1，y 1】，B 【x 2，y 2】两点，则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝211－4k ＋31＋k 2，令t ＝4k ＋31＋k2，则tk 2－4k ＋【t －3】＝0，当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t 【t －3】≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.法二【1】证明因为不论k 为何实数，直线l 总过点P 【0，1】，而|PC |＝5<23＝R ，所以点P 【0，1】在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.【2】解由平面几何知识知过圆内定点P 【0，1】的弦，只有与PC 【C 为圆心】垂直时才最短，而此时点P 【0，1】为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.能力提升题组【建议用时：25分钟】11.【2017·衡水中学月考】两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为【】 A.1B.3C.19D.49解析 x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即【x ＋a 】2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋【y －2b 】2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径则a 2＋（2b ）2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2，即a ＝±2b 时取等号. 答案 A12.【2015·山东卷】一条光线从点【－2，－3】射出，经y 轴反射后与圆【x ＋3】2＋【y －2】2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为【】A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34解析由已知，得点【－2，－3】关于y 轴的对称点为【2，－3】，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点【2，－3】.设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k 【x －2】，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D. 答案 D13.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A 【m ，0】，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP→＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________. 解析曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2，0]，对于点A 【m ，0】，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6， ∴m ＝6＋x P2∈[2，3]. 答案 [2，3]14.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M 【1，a 】.【1】若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程. 【2】若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最解【1】由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，则a＝±3.当a＝3时，点M为【1，3】，k OM＝3，k切＝－33，此时切线方程为y－3＝－33【x－1】.即x＋3y－4＝0，当a＝－3时，点M为【1，－3】，k OM＝－3，k切＝33.此时切线方程为y＋3＝33【x－1】.即x－3y－4＝0.所以所求的切线方程为x＋3y－4＝0或x－3y－4＝0.【2】设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2【d1，d2≥0】，则d21＋d22＝OM2＝3.又有|AC|＝24－d21，|BD|＝24－d22，所以|AC|＋|BD|＝24－d21＋24－d22.则【|AC|＋|BD|】2＝4×【4－d21＋4－d22＋24－d21·4－d22】＝4×[5＋216－4（d21＋d22）＋d21d22]＝4×【5＋24＋d21d22】.因为2d1d2≤d21＋d22＝3，所以d21d22≤9 4，当且仅当d1＝d2＝62时取等号，所以4＋d21d22≤52，所以【|AC|＋|BD|】2≤4×⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC|＋|BD|≤210，即|AC|＋|BD|的最大值为210.15.【2017·宁波十校联考】已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.【1】求圆C的方程；【2】过点M【1，0】的直线与圆C交于A，B两点【A在x轴上方】，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.解【1】设圆心C 【a ，0】⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5【舍】.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.【2】当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k 【x －1】，N 【t ，0】，A 【x 1，y 1】，B 【x 2，y 2】，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得【k 2＋1】x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－【t ＋1】【x 1＋x 2】＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为【4，0】时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立.。

2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2017·杭州高级中学月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．答案 4解析由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2， x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点．题型二弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为 y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．答案 0或－8解析设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1，②x 1＋x 2＝2x 0，③y 1＋y 2＝2y 0，④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)答案 B解析要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|ba|>3，∴e ＝1＋b 2a2>2，即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．(2016·青岛模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|F A |＋|FB |等于( ) A ．5B ．6C ．35D ．7 答案 D解析把点A 的坐标(1,2)分别代入抛物线y 2＝2px 与直线方程ax ＋y －4＝0，得p ＝2，a ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0消去y ，得x 2－5x ＋4＝0，则x A ＋x B ＝5.由抛物线定义得 |F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝7，故选D.3．(2016·丽水一模)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455 C.4105 D.8105答案 C解析设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2016·天津模拟)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．0答案 A解析因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54B ．5C.52D. 5 答案 D解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋(b a )2＝ 5. 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案 D解析抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2.设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和为x 1＋x 2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在．7．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．答案 6解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.8．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．答案 3x ＋4y －13＝0解析设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.9．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是其上顶点，且△AF 1F 2是等腰直角三角形，延长AF 2与椭圆C 交于另一点B ，若△AF 1B 的面积为6，则椭圆C 的方程为________．答案 x 29＋2y 29＝1 解析因为△AF 1F 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ，a ＝2c ，设|BF 2|＝x ，则由椭圆的定义可知|BF 1|＝22c －x ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可知(22c －x )2＝x 2＋4c 2－2x ·2c ·cos 3π4，解得x ＝2c 3，所以1AF B S ＝12AF F S ＋12BF F S ＝12×2c ×c ＋12×2c ×23c ×sin 3π4＝6，解得c 2＝92，所以b 2＝92，a 2＝9，则椭圆的方程为x 29＋2y 29＝1. 10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．答案 (1,7＋43)解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0，由题意得方程在1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)，所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1) ＝－1＋42－ 3(1－1m 2)，由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. ∴所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.∴F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2，故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)解由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．*13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1. ① 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ，得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4. ②∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)2 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1，当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立． ∴(S △AOB )max ＝1.。

(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.3圆的方程教师用书1．圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足． 2．方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得(x ＋m2)2＋(y －1)2＝m 24＋1－3.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.3．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即a ＋2＋1＝a －2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝＋2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.4．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________．答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二与圆有关的最值问题例2 (2016·盐城检测)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值．解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在例2的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在例2的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋2＋y －2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．23．利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．规范解答解一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y ＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.3．(2016·福州质检)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是 ( ) A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内 D ．不确定答案 B解析将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0，即＋a2＋＋2＞2a ，所以原点在圆外．4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1. 6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 C解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2017·杭州质检)设直线l 1：mx －(m －1)y －1＝0(m ∈R )，则直线l 1恒过定点_______；若直线l 1为圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的一条对称轴，则实数m ＝_______. 答案 (1,1) 2解析 l 1方程变形为m (x －y )＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴l 1恒过定点(1,1)．l 1过圆心(0，－1)，则m －1－1＝0，∴m ＝2.8．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.9．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为___________________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．(2016·浙江五校高三第二次联考)直线mx ＋y －4＝0与直线x －my －4＝0相交于点P ，则P 到点Q (5,5)的距离|PQ |的取值范围是__________．答案 [2，52]解析直线mx ＋y －4＝0过定点A (0,4)，直线x －my －4＝0过定点B (4,0)，且两直线互相垂直，所以点P 在以AB 为直径的圆上运动，圆心K (2,2)，r ＝2 2.又|QK |＝32，所以2＝32－22≤|PQ |≤32＋22＝52，即|PQ |的取值范围是[2，52]．11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1. ①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2， ②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③ 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．(2016·宁波五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝＋2＋－2＝4 2.所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

浙江2020版高考数学第九章平面解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系讲义(含解析)

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( √ ) 题组二教材改编2.[P128T4]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.[P130练习]圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案 B解析两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.[P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2. 题组三易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－22，22] C.[－2－1，2－1] D.[－22－1，22－1]答案 D解析圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.42C.8D.8 2 答案 C解析因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a ，a )，则|a |＝(a －4)2＋(a －1)2，解得a ＝5＋22或a ＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)，故|C 1C 2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.7.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.题型一直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定答案 A解析因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0，0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A. 命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1).解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用d 与r 的关系. ②代数法：联立方程之后利用Δ判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2018·浙江名校联盟联考)已知直线l ：y ＝ax ＋b (a >0)，圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0，且a 2＋b 2＝1－2ab ，则直线l 与圆C 的位置关系是( ) A.相离 B.不确定 C.相切 D.相交答案 D解析联立直线l 的方程与圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x 2＋y 2－2x ＝0，(a 2＋1)x 2＋(2ab －2)x ＋b 2＝0，Δ＝4－8ab －4b 2. ∵1－2ab ＝a 2＋b 2，∴Δ＝4a 2>0.故直线l 与圆C 相交.(2)(2018·浙江省台州市适应性考试)在直线l ：y ＝kx ＋1截圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0所得的弦中，最短弦的长度为____________. 答案 2 2解析直线l 是直线系，过定点(0，1)，定点(0，1)在圆C 内，要使直线l ：y ＝kx ＋1截圆C ：(x －1)2＋y 2＝4所得的弦最短，必须使圆心(1，0)和定点(0，1)的连线与弦所在直线垂直，此时定点和圆心的连线，圆心和弦的一个端点的连线与弦的一半围成一个直角三角形，因为圆心与定点之间的距离为(0－1)2＋(1－0)2＝2，半径为2，所以最短弦的长度为222－(2)2＝2 2.(3)过点P (2，4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________. 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.题型二圆与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例4 分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切.解将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k <50. 从而|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k <6，即14<k <34时，两圆相交.当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切；当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切. 所以当k ＝14或k ＝34时，两圆相切. 命题点2 公共弦问题例5 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.(1)证明由题意将圆C 1和圆C 2一般方程化为标准方程，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝16，则圆C 1的圆心C 1(1，3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5，6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2， ∴圆C 1和C 2相交.(2)解圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5，6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27. 思维升华(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2<|MN |<r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆x 2＋y 2＋2x －13＝0相交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______________. 答案 x －2y ＋6＝0解析两个圆的方程两端相减，可得2x －4y ＋12＝0. 即x －2y ＋6＝0.1.(2018·杭州模拟)已知p ：直线y ＝2x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1至少有一个公共点，q ：m ≤5，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析把y ＝2x ＋m 代入x 2＋y 2＝1中，得5x 2＋4mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝16m 2－20(m 2－1)≥0，解得－5≤m ≤5，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2.(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.3.(2018·杭州质检)设圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A.外离B.外切C.相交D.内含答案 A解析 ∵|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－2－0)2＝22>1＋1，∴两圆外离，故选A.4.(2018·金华模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14答案 B解析圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.5.(2019·台州调研)若点A (1，0)和点B (4，0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条答案 C解析如图，分别以A ，B 为圆心，1，2为半径作圆.由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).6.直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，若|OA →＋OB →|>2|AB →|，则m 的取值范围是( )A.(5，25)B.(25，5)C.(5，5)D.(2，5) 答案 B解析 ∵直线x ＋2y ＋m ＝0与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于相异两点A ，B ， ∴O 点到直线x ＋2y ＋m ＝0的距离d < 5.记OA →＋OB →＝OD →，则四边形OADB 是菱形，且|OD →|＝2d . ∵|OA →＋OB →|>2|AB →|，∴2d >2|AB →|，即d >|AB →|＝25－d 2，解得d >2.又d <5，∴2<d <5，即2<|m |5< 5.又m >0，解得m ∈(25，5).7.(2018·浙江省杭州市七校联考)过F (1，0)作直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆心到直线l 的距离为________，直线l 的方程为________________________. 答案 1 y ＝±24(x －1) 解析易知直线l 的斜率存在，故可设直线l ：y ＝k (x －1)，得圆心(4，0)到直线l 的距离d ＝|k (4－1)|k 2＋1，又由圆的弦、半径、弦心距三者间的关系得d ＝4－(3)2＝1，得|k (4－1)|k 2＋1＝1，即k ＝±24，故直线l 的方程为y ＝±24(x －1). 8.(2018·宁波模拟)已知直线l ：mx －y ＝1.若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则m 的值为________；动直线l 被圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0截得的弦长的最小值为______. 答案－1 223解析由直线mx －y ＝1与直线x －my －1＝0平行得m 2－1＝0，且m 1≠－1－1，解得m ＝－1.圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝25，直线mx －y ＝1过定点(0，－1)，因为点(0，－1)在圆(x ＋1)2＋y 2＝25内，则当直线l 垂直于点(0，－1)与圆心(－1，0)连线所在的直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时圆心到直线mx －y ＝1的距离即为点(0，－1)与圆心(－1，0)连线的长度，即为12＋(－1)2＝2，则直线被圆截得的弦长的最小值为225－(2)2＝223.9.已知圆E ：x 2＋y 2－2x ＝0，若A 为直线l ：x ＋y ＋m ＝0上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且△ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是______________.答案 [－22－1，22－1]解析设圆E 的圆心为E ，半径为r ，圆E ：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心E (1，0)，半径r 为1，由题意知直线l 上存在点A ，使得r |AE |＝sin30°＝12，即|AE |＝2r . 又因为|AE |≥d (d 为圆心到直线l 的距离)，故要使点A 存在，只需d ≤2r ＝2，可得|1＋m |2≤2，解得m ∈[－22－1，22－1].10.已知圆C 1：x 2＋y 2＋2ay ＋a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2bx －1＋b 2＝0外切，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为____________.答案 49解析 x 2＋y 2＋2ay ＋a 2－4＝0，即x 2＋(y ＋a )2＝4，x 2＋y 2－2bx －1＋b 2＝0，即(x －b )2＋y 2＝1.依题意可得a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9，故a 2＋b 29＝1.所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2a 2＋b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2＋a 2b 2＋1≥19⎝⎛⎭⎪⎫2＋2b 2a 2×a 2b 2＝49，当且仅当a ＝±b 时取等号.11.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1，3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程.解把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1，2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围. 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0). 且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即(t －2)2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221].13.已知直线l ：(m ＋2)x ＋(m －1)y ＋4－4m ＝0上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是( ) A.m ≤1或m ≥2 B.2≤m ≤8 C.－2≤m ≤10 D.m ≤－2或m ≥8答案 C解析如图，设切点分别为A ，B .连接AC ，BC ，MC ，由∠AMB ＝∠MAC ＝∠MBC ＝90°及|MA |＝|MB |知，四边形MACB 为正方形，故|MC |＝2＋2＝2，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(－1，2)到直线l 的距离d ＝|－m －2＋2m －2＋4－4m |(m ＋2)2＋(m －1)2≤2，即m 2－8m －20≤0，∴－2≤m ≤10，故选C. 14.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________. 答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt△OAO 1斜边上的高的2倍，∴|AB |＝2×5×255＝4.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C.(1，2) D.(9，0)答案 C解析因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(9－2m )2＋m 24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t ，求实数t 的取值范围.解由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，显然Δ＝16＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3，2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外.圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t ，即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以|EP ′||DE |＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋()2－t 2≥22，整理得t 2－4t －314≤0，解得2－472≤t ≤2＋472，故实数t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－472，2＋472.。

2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆圆与圆的位置关系理

第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离 d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C.答案 C2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( )A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案 C4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )． A ．－32B ．－3 C ．3 D ．3 2解析易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2；圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a2＋b22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)，∴a ＋b 的最大值为3 2.答案 D 5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 答案 B6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )．解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与。

浙江高考数学第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件

解析
3
关闭
-15答案
考点一
考点二
考点三
圆与圆的位置关系及其应用(考点难度★★) 【例2】已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切, 则ab的最大值为( )
A.
6 2
B.
3 2
C.
9
4
D.2 3
关闭
由圆 C1 与圆 C2 外切,可得 (�� + ��)2 + (-2 + 2)2 =2+1=3,即(a+b)2=9, 根据基本不等式可知 ab≤ ab 的最大值为4. C
解析
9 �� +�� 2
2=9,当且仅当
4
a=b 时等号成立.故
关闭
-16答案
考点一
考点二
考点三
方法总结1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手.如果用代数法,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论. 2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行化归,一般需要运用数形结合思想.
考点一
考点二
考点三
直线与圆的位置关系及应用(考点难度★★) 【例1】圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能
关闭
∵直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),
又12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,
5 |3-2�� | �� 2 +1

课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理20171014

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②相交2r2－d2相切相离(1)[教材习题改编]圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________．答案：x －3y ＋2＝0解析：圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上．易知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0， ∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33， ∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为________．答案：5x －12y ＋26＝0或x －2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x －2＝0. 当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以切线方程为y －3＝512(x －2)，即5x －12y ＋26＝0.综上可知，切线方程为5x －12y ＋26＝0或x －2＝0.[典题1] (1)[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 [答案] B[解析] 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 解法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|a ＋1－a －1＋2a |a ＋12＋a －12＝|2a ＋2|2a 2＋2 . 再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交．解法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )，整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．(3)已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. ①求证：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；②求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解法一：①[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －12＋y ＋12＝12消去y ，得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． ②[解] 设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34；当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.则直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.解法二：①[证明] 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝r ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．②[解] 由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理知，|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.[点石成金] 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点2 切线、弦长问题[教材习题改编]过点P (1,0)的直线l 被圆O ：(x －1)2＋(y －1)2＝1截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．答案：1或－1解析：点P (1,0)在圆O 上，而圆O 的半径为1，由图(图略)可知直线l 的斜率为1或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________．答案：2 3解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|0＋3×0－2|12＋32＝1，则|AB |＝222－12＝2 3.2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．过点P (－1,0)作圆(x －1)2＋y 2＝1的切线，则切线方程是________．答案：y ＝±33(x ＋1) 解析：作出图形(图略)，可知过点P (－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°，所以切线方程为y ＝±33(x ＋1).[典题2] (1)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则圆的半径 r ＝|a ＋1|，圆心(a,0)到y ＝x ＋1的距离为|a ＋1|2，由截得的弦长为22，得|a ＋1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋2，解得a ＝－3，所以过圆心且与 l 平行的直线为 y －0＝x ＋3，即x －y ＋3＝0. (2)已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. ①求过点P 的圆C 的切线方程；②求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意，得圆心C (1,2)，半径r ＝2. ①∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22－1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. ②∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝3－12＋1－22＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过点M 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. [提醒] 代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－1＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.2．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为 5. 由题意可设切线方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点P ，Q 的坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.考点3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离 ________________ ________________ 外切 ________________ ________________ 相交 ________________ ________________ 内切 ____________ ____________ 内含________________________答案：d >r 1＋r 2 无解 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解(1)[教材习题改编]圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4与圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．答案：相交解析：两圆圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3. ∵|O 1O 2|＝[2－－2]2＋1－02＝17，3－2<17<3＋2，∴两圆相交．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．答案：2 2解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.两圆相切：注意是内切还是外切．若两圆x 2＋y 2＝1与(x －a )2＋(y ＋a )2＝4(a >0)相切，则a ＝________. 答案：22或322解析：两圆的圆心距为2a ，半径分别为r 1＝1，r 2＝2.当两圆内切时， 2a ＝2－1＝1，得a ＝22；当两圆外切时， 2a ＝2＋1＝3，得a ＝322.[典题3] 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94 D ．2 3[答案] C[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋22＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[题点发散1] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值．解：由C 1与C 2内切，得a ＋b2＋－2＋22＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.[题点发散2] 把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程．圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．[题点发散3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故a ＋b2＋－2＋22>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．[点石成金] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案：B解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．2．过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10答案：C解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案：C解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴ |AB |2＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案：4解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读圆与线性规划的综合应用[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．由题意，得|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为 |0－2×－1＋1|12＋22＝5，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ |的最小值为5－1. [答案] 5－1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．。

2018年高考数学浙江专用总复习教师用书：第九章平面

第2讲两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d 诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合.(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.(2016·北京卷)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B.2 C. 2D.2 2解析圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C3.(2017·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A.2 B.－3 C.2或－3D.－2或－3解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C. 答案 C4.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________. 解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.答案3245.(必修2P89练习2改编)已知P (－2，m )，Q (m ，4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.解析由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.答案 16.(2017·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x ，1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________.解析设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0；原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|12＋12＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值. 答案 x ＋y －1＝022考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A.－1 B.2 C.0或－2D.－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 (1)若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2. (2)因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1. 即(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝－2.答案 (1)D (2)－2规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (1)(2017·重庆一中检测)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.34(2)(2017·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________.解析 (1)由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.(2)由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 答案 (1)D (2)25考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.(2)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0，2).而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2，1)，斜率为k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.(2)法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1规律方法 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等.【训练2】 (1)曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3，2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010(2)(2017·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833解析 (1)曲线y ＝2x －x 3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1).切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P (3，2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. (2)因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3，2a 2≠18，a ≠2，a ≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823，故选B.答案 (1)A (2)B 考点三对称问题【例3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程.解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3).又∵m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1，1)，N (4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上.易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.规律方法 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直.(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.【训练3】光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.解法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y2＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－（y ＋y 0）＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.[思想方法]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.[易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数分别化为相同的形式.。

2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文

1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.【知识拓展】1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析直线x －2y －2＝0可化为y ＝12x －1，所以过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为y ＝12x ＋b ，将点(1,0)代入得b ＝－12.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2B ．2－ 2C.2－1D.2＋1答案 C解析依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 D解析圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.4．(2017·绍兴柯桥区质检)设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝________，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 答案 12－7解析若l 1∥l 2，则a ＋1＝32，∴a ＝12，若l 1⊥l 2，则(a ＋1)＋6＝0，∴a ＝－7.题型一两条直线的平行与垂直例1 (1)(2016·杭州质检二)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. ①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 ①方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.②方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在， l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0，所以sin α＝±22，所以α＝k π±π4，k ∈Z .又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二两条直线的交点与距离问题例2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________________．(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．答案 (1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)方法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.(2)(2016·济南模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( ) A.522B ．52C.1522D ．15 2 答案 B解析设P 1P 2的中点为P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20，即x －y ＝10. ∴y ＝x －10，∴P (x ，x －10)， ∴P 到原点的距离d ＝x 2＋(x －10)2 ＝2(x －5)2＋50≥50＝5 2. 题型三对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 (2016·苏州模拟)过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2 点关于直线对称例4 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．33B ．6C ．210D ．2 5 答案 C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)．则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例5 (2016·泰安模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35.④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，∴x′＋02＝1，x′＝2，y′＋32＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.2．妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．思想方法指导因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c ≠1)．规范解答解依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．典例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．思想方法指导可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．规范解答解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 (1)充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；(2)必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1. 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·台州模拟)已知两条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：3x ＋ay ＋2＝0且l 1⊥l 2，则a 等于( )A ．－13B.13C ．－3D ．3答案 C解析由l 1⊥l 2，可得1×3＋1×a ＝0， ∴a ＝－3.3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2016·兰州模拟)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A.2B ．2C ．3D ．4 答案 B解析点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2. 故选B.5．(2016·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910，故选C.6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( ) A.345B.365C.283D.323 答案 A解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345，故选A.7．(2016·舟山训练)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________. 答案 0或83解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83.8．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．答案－1 1 2 2解析若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.9．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示，由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.10．(2016·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|PB |＋|PD |＋|P A |＋|PC |≥|BD |＋|AC |＝|QA |＋|QB |＋|QC |＋|QD |，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点．∵A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2(x －1)，y －5＝－(x －1)，得Q (2,4)． 11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.*13.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1， l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)；联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．。

(浙江专用)高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件.pptx

当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,kAB>0和kAB<0时各有一条满足题意的直线l.
设圆的圆心为C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0= x1 ,yx02= , y1 y2
2
2
∴kAB= y2 =y1
x2 x1
=y2 y.1
y22 y12
2 y0
44
∵kCM= y0,且kABkCM=-1,∴x0=3.
x0 5
∴r2=(3-5)2+ y02>4(∵y0≠0),即r>2.
另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y0-y1),
∵点B,A在抛物线上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①
y12=4x1,② 由①②得 y12-2y0y1+2 y02-12=0, ∵Δ=4 y02-4(2 y02-12)>0,∴ y0<2 12. ∴r2=(3-5)2+ y02=4+ y02<16,∴r<4. 综上,r∈(2,4),故选D.
35
B3.- 或2 -
23
5C.- 4 或-
45
4 D.3- 或-
Байду номын сангаас34
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即
kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ | 3=k 1,2解得2kk=3- | 或k=- . 4
3
k2 1
3
4
评析本题主要考查直线和圆的位置关系.
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= |=AC=|26.故22 40 4 选C.

【K12教育学习资料】课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②相交2r2－d2相切相离(1)[教材习题改编]圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________．答案：x －3y ＋2＝0解析：圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上．易知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0， ∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33， ∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为________．答案：5x －12y ＋26＝0或x －2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x －2＝0. 当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以切线方程为y －3＝512(x －2)，即5x －12y ＋26＝0.综上可知，切线方程为5x －12y ＋26＝0或x －2＝0.[典题1] (1)[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 [答案] B[解析] 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 解法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝a ＋－a －＋2a |a ＋2＋a －2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交．解法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )，整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．(3)已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. ①求证：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； ②求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解法一：①[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －2＋y ＋2＝12消去y ，得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． ②[解] 设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34；当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.则直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.解法二：①[证明] 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝r ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．②[解] 由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理知，|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.[点石成金] 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点2 切线、弦长问题[教材习题改编]过点P (1,0)的直线l 被圆O ：(x －1)2＋(y －1)2＝1截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．答案：1或－1解析：点P (1,0)在圆O 上，而圆O 的半径为1，由图(图略)可知直线l 的斜率为1或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________．答案：2 3解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|0＋3×0－2|12＋32＝1，则|AB |＝222－12＝2 3.2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．过点P (－1,0)作圆(x －1)2＋y 2＝1的切线，则切线方程是________．答案：y ＝±33(x ＋1) 解析：作出图形(图略)，可知过点P (－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°，所以切线方程为y ＝±33(x ＋1).[典题2] (1)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则圆的半径 r ＝|a ＋1|，圆心(a,0)到y ＝x ＋1的距离为|a ＋1|2，由截得的弦长为22，得|a ＋1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋2，解得a ＝－3，所以过圆心且与 l 平行的直线为 y －0＝x ＋3，即x －y ＋3＝0. (2)已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. ①求过点P 的圆C 的切线方程；②求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意，得圆心C (1,2)，半径r ＝2. ①∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22－1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. ②∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝－2＋－2＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过点M 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. [提醒] 代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.2．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为 5. 由题意可设切线方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点P ，Q 的坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.考点3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).12121212d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解(1)[教材习题改编]圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4与圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．答案：相交解析：两圆圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3. ∵|O 1O 2|＝[2－－2＋－2＝17，3－2<17<3＋2，∴两圆相交．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．答案：2 2解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.两圆相切：注意是内切还是外切．若两圆x 2＋y 2＝1与(x －a )2＋(y ＋a )2＝4(a >0)相切，则a ＝________.答案：22或322解析：两圆的圆心距为2a ，半径分别为r 1＝1，r 2＝2. 当两圆内切时， 2a ＝2－1＝1，得a ＝22；当两圆外切时， 2a ＝2＋1＝3，得a ＝322.[典题3] 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94 D ．2 3[答案] C[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[题点发散1] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值．解：由C 1与C 2内切，得a ＋b2＋－2＋2＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.[题点发散2] 把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程．圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．[题点发散3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故a ＋b2＋－2＋2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．[点石成金] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案：B解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．2．过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10答案：C解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案：C解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴ |AB |2＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案：4解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读圆与线性规划的综合应用[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．由题意，得|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为 |0－－＋1|12＋22＝5，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ |的最小值为5－1. [答案] 5－1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件

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角度三由弦长及切线问题求参数
已知点 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，
PB 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的两条切线，A，B 是切点，若四
边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( )
A．3 C．2 2
B．
21 2
方法几何法：圆心距 d 代数法：两圆方程联立组
位置关系外离外切
与 r1，r2 的关系 _d_>_r_1_＋__r_2 __ _d_＝__r_1_＋__r_2 _
成方程组的解的情况 _无__解__
一组实数解
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方法几何法：圆心距 d 与代数法：两圆方程联立
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【解析】 (1)因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2＞1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ |a·0＋a2b＋·0b－2 1|＝ a21＋b2＜1，所以直线与圆相交． (2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是 Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得 k∈(－ 3， 3)．
而 S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为 2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线 kx＋y＋4＝0 的距离 d，此时 d＝ k|25＋| 1＝ 12＋22＝ 5，即 k2＝4，因为 k>0，所以 k＝2.
【答案】 D
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(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法 ①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. ②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|.

(浙江专用)高考数学第九章平面解析几何4第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系高效演练分层突破

第4讲直线与圆、圆与圆的地址关系[基础题组练]1．已知会集A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x＋＝1}，则∩B 的元素个数为( )yAA ．4B ．3C ．2D ．1分析：选C.(直接法)会集A 表示圆，会集B 表示一条直线，又圆心 (0，0)到直线x ＋y12<1＝r ，所以直线与圆订交．＝1的距离d ＝＝222．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是 ()A ．[－2，2]B ．[－22，22]C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1，22－1]分析：选D.圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为 2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m | |m ＋1||m ＋1|＝，若直线l 与圆C 恒有公共点，则 ≤2，解得－222 22－1≤m ≤22－1，应选D.3．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为 23，则a 的值为()A ．±2B ．2C ．－2D ．无解分析：选A.圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为原点 O ，半径r ＝|a |.将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0左右分别相减，可得a 2＋ay －6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a 2＋ay －6＝0.62原点O 到直线a ＋ay －6＝0的距离d ＝a －a ，依据勾股定理可得226 2a ＝(3) ＋－a，a所以a 2＝4，所以a ＝±2.应选A.4．(2020·台州中学高三月考)若直线y ＝kx ＋4＋2k 与曲线y ＝ 4－x 2有两个交点，则k 的取值范围是()A．[1，＋∞)3B.－1，－43C.4，1 D．(－∞，－1]分析：选B.曲线y＝4－x2即x2＋y2＝4(y≥0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，以下列图．直线y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k的直线，4结合图形可得k AB＝－4＝－1，|4＋2k| 3 3因为1＋k 2＝2，解得k＝－，即k AT＝－，4 4所以要使直线与半圆有两个不一样的交点，k的取值范围是3 －1，－.45．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为( )A．－4 B．4C．－8 D．8D E分析：选C.圆心C－2，－2.DE4×－2－3×－2＋3由题意得＝1，42＋（－3） 2即|4 －3－6|＝10，①DE在圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，(－D)2－4×(－3)＝16.因为D<0，所以D＝－2.将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，所以E ＝－8 或E ＝－ 43(舍去)．6．已知圆C ：(x －3) 2＋(y －1) 2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 获得最大值时，点P 的坐标是()A.3 2B.333，22，22 2C.3 3D.333，23，22 2分析：选D.设(， b )为圆上一点，由题意知，→·→＝0，即( ＋ )( a － t )＋ 2＝0，PaAP BP at b2222 ＝a 22 OP | 2＝2＋1＝3，即t 的最大值为 3，此时k ＝ 3a－t ＋b＝0，所以t＋b＝|，|OP|，max OP3OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为33 ＝ 3 3，即P 3 3，横坐标为 3× 2 3，.2 2 22 7．(2020·浙江高中学科基础测试 )由直线3－4＋5＝0上的一动点 P 向圆 x 2＋y 2－4xyx＋2y ＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．分析：当直线上的点到圆心 (2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离＝|3×2－4×（－1）＋5|＝3，＝1，所以切线长为2 2.d32＋（－4）2r答案：2 28．(2020·杭州七校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l过圆心且交圆 C 于A ，B 两点，交 y 轴于 P 点，若2 →＝→ ，则直线l 的斜率k ＝________．PA PB分析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|PA |＋|AC |＝35，过圆心C (3，5)作 y 轴的垂线，垂足为 1，则|1|＝3，|1|＝（35）2－32＝6.记直线 l 的倾斜角为θ ，C CC PC 则有|tanθ|＝|PC | ＝2，即 k ＝±2.1| CC 1|答案：±29．已知圆：( x －1)2＋( y －2)2＝2，若等边△的一边为圆C 的一条弦，则| |CPAB ABPC的最大值为________．分析：已知圆：( x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(1，2)，半径 r ＝ 2，若等边△PABCC的一边为圆C 的一条弦，则 ⊥ .在△中，∠＝30°，由正弦定理得 |AC | ＝ABPCABPAC APCsin30°|PC |，所以|PC |＝22sin ∠PAC ≤22，故|PC |的最大值为22.sin∠PAC答案：2 210．(2020·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．分析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝ |5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不如看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意：b ＋1＝ a 2＋（b －1）2a ＝2|4 a －3 ＋5|，解得 .b ＋1＝bb ＝1 42＋（－3）2所以|O 1O 2|＝22＋12＝5.答案： 511．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1) 当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．222－0解：(1)已知圆C ：(x －1) ＋y ＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P ，C ，所以k PC ＝2－1＝2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当直线l 的倾斜角为 45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为1 34.，又因为圆的半径为3，所以弦AB 的长为212．圆1 的方程为 x 2＋(y ＋1)2＝4，圆2的圆心坐标为(2，1)．OO(1) 若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2) 若圆O 1与圆O 2订交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 的半径为r ，由两圆外切知 | O O | ＝r ＋r .221 2 1 21 22＋（ 2＝2 2，又|OO |＝（2－0） 1＋1）所以r2＝|12|－1＝22－2.OOr2(x －2)2＋(y －1) 2＝12－82.所以圆O 的方程为(2)设圆O 2的方程为(x －2) 2＋(y －2 21)＝r 2，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，2相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 2－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，2 －| AH | 2因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 1 ＝2.|4×0＋4×（－1）＋ r 22－8| |r 22－12| ，又|O 1H |＝ 42＋42＝ 4 2|r 22－12| 22所以 4 2 ＝ 2，解得r 2＝4 或r 2＝20.所以圆2的方程为( x －2)2＋( y －1) 2＝4或( x －2) 2＋(y －1)2＝20.O[综合题组练]1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R1 1且ab ≠0，则a 2＋b 2的最小值为()A ．1B ．314 C.9D.9分析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a ，0)和(0，2b )，半径分别为 2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有22242111991 1＋4b 2 a 2 1 a ＋4b＝3，即a ＋＝9，所以2＋2＝2＋ 2＝2＋ 2＋4≥×(1＋4＋4)bab9ab 9ab94b 2 a 2＝1. 当且仅当a 2 ＝b 2，即|a |＝ 2|b |时取等号，应选 A.2．在平面直角坐标系 xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为 1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是()A. 0， 12B ．[0，1]5C. 1， 12D.1250，5分析：选A.因为圆心在直线 y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为( x － a ) 2＋[ y －2( －2)]2＝1.a设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点 M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ；由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为 12 .应选A.0， 53．(2020·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，－1)，则圆： x 2 ＋ y 2－6－2y ＝0关于直线 l 对称的圆 ′的方程为______________；aC xC圆C 与圆C ′的公共弦的长度为 ________．分析：由题设将圆 C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0中的x ，y 换为y ＋1，x －1可得圆C ′的方程为( y ＋1)2＋(x －1)2－6( y ＋1)－2(－1)＝0，即x 2＋y 2－4－4 y －2＝0，也即(x －2)2＋(yxx－2) 2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x －y －1＝0，圆心C ′(2，2)d ＝ 1，半径r ＝ 10，故弦长L ＝21到该直线的距离 210－2＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10 384．已知抛物线： y 2＝2 x ，过点(2，0)的直线l 交 C 于， B 两点，圆 M 是以线段ABCA为直径的圆．(1) 证明：坐标原点O 在圆M 上；(2) 设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.x ＝my ＋，由y 2＝2x 2 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.2 y 2（y 1y 2y 1 2 2）又x 1＝2，x 2＝2，故x 1x 2＝ 4＝4.所以的斜率与的斜率之积为y 1 y 2－4 ⊥.故坐标原点O 在圆M·＝＝－1，所以OAOBx 1 x 24OAOB上．(2)由(1)可得y1＋ 2＝2， x 1＋ 2＝(1＋ 2)＋4＝22＋4.ymxmyym2故圆心M 的坐标为(m ＋2，m )，圆的半径r ＝（ 2＋2）2＋2.Mmm→→因为圆M 过点P (4，－2)，所以AP ·BP ＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1) 1 21 2＝4.可得yy ＝－4，xx21所以 2m －m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当1l 的方程为 2 x ＋－4＝0，圆心的坐标为9 1，圆的半径为＝－时，直线，－m 2 y M 4 2 M85 9212854，圆M的方程为x－4＋y＋2＝16.5．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax－y＋5＝0(a＞0)与圆订交于A，B两点，务实数a的取值范围；(3)在(2)的条件下，能否存在实数a，使得弦AB的垂直均分线l过点P(－2，4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明原由．解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈N*)．因为圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|＝5，5即|4m－29|＝25.因为m为正整数，故m＝1. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.(2)把直线ax－y＋5＝0，即y＝ax＋5代入圆的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，因为直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，故＝4(5a－1)2－4(a2＋1)＞0，即12a2－5a＞0，因为a＞0，解得a＞5，125所以实数a的取值范围是12，＋∞.(3)设吻合条件的实数a存在，1则直线l的斜率为－a，1l的方程为y＝－a(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0.因为l垂直均分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上，3所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝4.3因为4∈ 512，＋∞，故存在实数3 a＝4，使得过点P(－2，4)的直线l垂直均分弦AB.。

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（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离答案 B解析由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解得a ＝－43. 3．(2016·嘉兴高三下学期教学测试二)若点A ，B 为圆(x －2)2＋y 2＝25上的两点，点P (3，－1)为弦AB 的中点，则弦AB 所在的直线方程为________．答案 x －y －4＝0解析设圆心为M ，则M (2,0)，∴k MP ＝－1， ∴直线AB 的斜率为1，∴直线AB 方程为y ＋1＝x －3，即x －y －4＝0.4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为_____．答案 52－4解析圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为－2＋＋2－1－3＝52－4.题型一直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内．直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交，故选C.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．过点A (3，1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[0，3] C ．[0,1] D ．[－3，3]答案 B解析设直线l 的方程为y －1＝k (x －3)，则圆心到直线l 的距离d ＝|3k －1|1＋k 2，因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以d ≤1，即|3k －1|1＋k 2≤1，得0≤k ≤ 3. 题型二圆与圆的位置关系例2 (1)(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)(2016·重庆模拟)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________．答案 (1)B (2)(－22，0)∪(0,22) 解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<a2＋a2<2＋2，∴0<|a|<2 2.∴a∈(－22，0)∪(0,22)．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，－2＋－2＝11＋61－m，解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为2112－|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.题型三直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________.答案 4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝23，|AB|＝23，所以|OM|＝3，解得m＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k ＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32，故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.6．高考中与圆交汇问题的求解考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33)．答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)C (2)A1．(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2．(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．3．(2016·南昌二模)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 B解析圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1， ∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2016·泰安模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析如图所示，由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．6．(2016·岳阳一模)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0答案 B解析当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1，符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，得圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.7．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.8．(2016·天津四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案 22解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l . ∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22. 9．(2016·浙江名校协作体高三联考)已知点A (1－m,0)，B (1＋m ，0)，若圆C ：x 2＋y 2－8x－8y ＋31＝0上存在一点P 使得PA →·PB →＝0，则正实数m 的最小值为________．答案 4解析圆C ：(x －4)2＋(y －4)2＝1，由已知PA ⊥PB ，设AB 的中点为M (1，0)，∴|PM |＝12|AB |＝m ，又|MC |＝5，r ＝1，∴4≤|PM |≤6，∴正实数m 的最小值为4.10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2,1)．(1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解 (1)圆O 1的圆心坐标为(0，－1)，半径r 1＝2，圆O 2的圆心坐标为(2,1)，圆心距为|O 1O 2|＝－2＋＋2＝22，由两圆外切知，所求圆的半径为r 2＝22－2，圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意知，圆心O 1到AB 的距离为22－22＝2，当圆心O 2到AB 的距离为22－2＝2时，圆O 2的半径r 2＝22＋22＝2，此时圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.当圆心O 2到AB 的距离为22＋2＝32时，圆O 2的半径r 2′＝22＋22＝25，此时圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝20.综上知，圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.*13.(2016·绍兴六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)(a >－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1. 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0 ⇒k x 1－x 1－t ＋k x 2－x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。

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