北师版高考总复习数学精品课件 第七章平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用

1
C.-
4
B.
3

4
D.-
3

4
)
答案 A
解析 由 2 = + 可知圆心 O 为 BC 边的中点,即 BC 为直径.又
||=| |=||,所以 ΔABO 为等边三角形,∠ABO=60°.因此在 上的投
1
影向量为
2
=
1
.
4
6. 已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角θ=
12 +12 22 +22
A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离 |AB|=|| |AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2
a⊥b 的充要条件
a·b=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 12 + 12 · 22 + 22
.
答案 120°
解析 由已知得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,因此4×42-4×4×3cos θ-3×32=61,解得
cos θ=-
1
,所以a与b的夹角θ=120°.
2
研考点 精准突破
考点一
平面向量数量积的运算
例题(1)(2023·福建厦门高三期中)著名数学定理“勾股定理”的一个特例是
“勾3股4弦5”,我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”
|||| 2
3
1
,∴a·b=- ,
2
2
A.
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a·b<0,即-2x +3x<0,解得 x<0 或
2
x≠0,则当 a 与
-2
b 共线时,
和 b 反向,不满足题意,故
=
1
,得
3
1
x=-6,此时
3
x> .易知
2
1 1
1
a=(-6,-2),b=(3,1),b=-2a,此时
x1x2+y1y2=0
微思考 由a·b=0一定可以得出a=0或b=0吗?
提示 不能推出a=0或b=0,因为当a·b=0时,还有可能a⊥b.
3.向量数量积的运算律
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
数乘结合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
微点拨 向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等
|b|=
.
(2)在边长为 4 的等边三角形 ABC 中,已知 =
=m +
1

,则|
|=
2
2
,点
3
P 在线段 CD 上,且
.
(3)(2023·浙江宁波高三月考)平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为
60°,且(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最小值是
.
实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
强基础 固本增分
1.平面向量数量积的概念
(1)向量的夹角
已知两个
非零
向量a和b,O是平面上的任意一点,作 =a, =b ,向量
a与b的夹角∠AOB记为<a,b>或θ(0°≤θ≤180°).
微思考
在等边三角形 ABC 中,向量 与的夹角是 60°吗?
.
( × )
( × )
(
)
4.在△ABC 中,若点 O 满足 · = · = ·,则 O 为△ABC 的垂
心.
(
)
题组二 双基自测
5.已知△ABC 的外接圆圆心为 O,且 2 = + ,||=| |,则向量
在向量 上的投影向量为(
1
A.4
量,可以表示为

a· .
||
微点拨 1.投影向量仍然是一个向量.
2.向量 a 在 b 上的投影向量与 b
a 上的投影向量与 a
|·|
共线,其模等于|a||cos<a,b>|= || ;向量
b在
|·|
共线,其模等于|b||cos<a,b>|= || .
3.向量 a 在 b 上的投影向量1 =|a|cos<a,b>e(e 为与 b 同向的单位向量).
= 1,
25
9
=λ+μ ,所以
所以 λ+μ=1+m=16 ,因此 m=16 ,所以 = +
= ,
9
.又
16
2
+
= − ,所以 · =( +
7

16
·=9-9=0.故选 A.
9
)·(
16
−
9
)=16 2
−
(2)(方法1)依题意建立如图所示的平面直角坐标系,
为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.在等腰直角三角形 ABC 中,若 A 为直角,则, 的夹角为 45°.
2.与向量 a=(3,-4)共线的单位向量为
3 4
,5 5
3.若向量 a,b 满足|a·b|=|a||b|,则 a∥b.
提示 不是.如图,在等边三角形 ABC 中,向量与 的夹角是 120°,不是 60°.
(2)平面向量的数量积
|a||b|cos θ
两个向量的数量积是一个实数,不再是向量
称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|cos θ.
微思考 两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗?
的问题,比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年.如图,在矩形ABCD
中,△ABC满足“勾3股4弦5”,设BC=4,E为线段AD上的动点,且满足
=λ+μ ,若
A.0
C.- 2
25
λ+μ=16 ,则
B.-1
D. 2
·=(
)
(2)(2023·天津和平高三月考)在△ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°.若 P 为△
于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.
1
+ 2 - 2
2
2
4.极化恒等式:a·b= [(a+b) -(a-b) ]=( ) -( ) .特别地,在△ABC
4
2
2
2 1
中,若形 ABCD 中,若 O 为对角线
2
3
m+4=1,即
2
边长为 4 的等边三角形,所以||
2
1
60°+4 ||
=
1
1
1
×16+4×4×4×2
16
+
1
m=4.所以
1
=(4
+
=
1
=m
2
1

4
+
1

.又△ABC
2
2
1
2 1
+ 2 ) =16 | |
1
×16=7,故||=
4
7.
+
3
.因为
4
+
是
1
|
则 C(0,0),A(3,0),B(0,4).因为 PC=1,所以点 P
在以 C 为圆心,1 为半径的圆上运动,设 P(cos
θ,sin θ),θ∈[0,2π),则=(3-cos θ,-sin θ),
=(-cos θ,4-sin θ),所以 ·=(-cos θ)
×(3-cos θ)+(4-sin θ)×(-sin θ)=cos2θ-3cos θ4sin θ+sin2θ=1-3cos θ-4sin θ=1-5sin(θ+φ),其
C 的轨迹是以
3 3
M(2 , 2 )为圆心,1 为半径的圆,
规律方法 求平面向量的模的两种方法
考向2求向量的夹角
题组(1)(2023·山东淄博高三月考)已知单位向量a,b,c满足a+b=c,则向量a
和b的夹角为(
2π
A.
3
)
π
B.
2
π
C.
3
π
D.
6
(2)(2023·广东珠海高三期中)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a与b的夹
||
|cos
4
(3)由题意不妨设 O 为坐标原点,令 a=(1,0),b=(1, 3),设 =c=(x,y).
∵(c-2a)·(c-b)=0,∴(x-2,y)·(x-1,y- 3)=0,∴x2-3x+2+y2- 3y=0,
3 2
3 2
即(x-2) +(y- 2 ) =1,故点
故|c|min=|OM|-1= 3-1.
角为钝角,则x的取值范围是(
A.
3
0,
2
C.(-∞,0)∪
3
,+∞
2
)
B.
3
,+∞
2
D.
1
-∞,6
∪
1
- ,0
6
∪
3
,+∞
2
答案 (1)A
(2)D
解析 (1)∵a+b=c,∴(a+b)·(a+b)=c·c,∴|a| +|b| +2a·b=|c|
2
2
·
1
2π
∴cos<a,b>= =- .∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>= .故选
标系(如图),由正三角形 CDE 及正方形 ABCD 的边长为 2 可
知,C(2,2),E(1,2+ 3),所以 ·=(2,2)·(1,2+ 3)=6+2 3.故选 D.
考点二
平面向量数量积的应用(多考向探究预测)
考向1求向量的模
题组(1)(2023·辽宁大连高三月考)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则
提示 不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0).
(3)投影
如图,已知两个非零向量 a 和 b,作=a,=b,过点 A 向直线 OB 作垂线,垂
足为 A',得到 a 在 b 上的投影 γ=',γ 称为投影向量.
|a|cos<a,b>称为投影向量 γ 的数量,也称为向量 a 在向量 b 方向上的投影数
1
1
3
| + |=5,于是 ·=1+ ·( + )=1+1×5×cos θ,其中 θ 为向量
与 + 的夹角,所以-1≤cos θ≤1,因此-4≤ ·≤6.故选 D.
1
(3)由题得,a·b=1×3cos<a,b>=1×3× =1,则(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=11.
ABC 所在平面内的动点,且 PC=1,则 ·的取值范围是(
A.[-5,3]
C.[-6,4]
B.[-3,5]
D.[-4,6]
(3)(2022·全国甲,理 13)设向量 a,b
(2a+b)·b=
)
.
1
的夹角的余弦值为 ,且|a|=1,|b|=3,则
3
答案 (1)A
(2)D
(3)11
解析 (1)由题意可得 BA=3,设 =m ,则 = + = +m
第七章
第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意
义,会计算平面向量的数量积.
课标解读
2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他
2.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
向量的有关概念
几何表示 坐标表示
模
数量积
|a|= · |a|= 12 + 12
|a||b|cos θ x1x2+y1y2
夹角
cos
·
θ=
||||
cos θ=
1 2 +1 2
中 sin
3
φ=5,cos
4
φ=5.因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以
-4≤1-5sin(θ+φ)≤6,即 ·∈[-4,6].故选 D.
(方法 2)因为 = + , = + ,所以 ·=( + )·( +
)=| |2+ ·( + )+ · .因为 PC=1,CA⊥CB,所以 · =0,且
4
交点,则 · =
1
(| |2-||2)=||2-||2.
4
常用结论
1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角
3
规律方法 求平面向量数量积的三种方法
对点训练(2023·安徽芜湖高三月考)已知正方形 ABCD 的边长为 2,以 CD 为
边作正三角形 CDE,使得 A,E 位于直线 CD 的两侧,则 · 的值为(
A.6-2 3
B.6-2 2
C.6+2 2
D.6+2 3
)
答案 D
解析 以 A 为坐标原点,以射线 AB,AD 为 x,y 轴的非负半轴,建立平面直角坐
答案 (1)3 2
(2) 7 (3) 3-1
解析 (1)由|a-b|=5 得(a-b)2=25,即 a2-2a·b+b2=25,结合|a|=3,a·b=1,得
32-2×1+|b|2=25,所以|b|2=18,即|b|=3 2.
(2)因为 =
2
,所以
3
点 P 在线段 CD 上,所以
=
3
.所以=m