江苏省邗江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题

邗江中学高一数学期中考试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线50x +
-=的倾斜角为（ ）
A.30-︒
B.150°
C.120°
D.60°
2．在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，那么△ABC 最大内角为（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3. 当a 为任意实数时，直线（a －1）x －y ＋2a ＋1＝0恒过的定点是（ ）
A ．（2，3）
B ．（－2，3）
C ．⎝⎛
⎭⎫1，－12
D ．（－2，0）
4. 设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
D ．若a ⊥γ，β⊥γ，则α∥β
5．若点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线ax ＋by ＝R 2与圆的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1
B
C ．2
D
7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+.若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（ ） A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8. 如果圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a +3）2＝1上存在两个不同的点P ，Q ，使得|OP |＝|OQ |＝2（O 为坐标原点），则a 的取值范围（ ）
A ．0＜a ＜3
B ．0≤a ≤3
C ．a ＜﹣1或a ＞4
D ．a ≤﹣1或a ≥4
9. 第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行,气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ） A.20°
B.28°
C.38°
D.48°
10. 已知点()y x P ,是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是22:20C x y y ++=的两条切
线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）
A. 2
B.5
C.25
D.4
11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A ．PC 1与AA 1异面 B. PC 1与A 1C 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D. PC 1与平面AB 1D 1平行
12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为_________.
14. 直线1:60l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为 ． 15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以722千
米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米（观测站高度忽略不计，结果保留根号）．
16. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）
（1）已知△ABC 顶点的坐标为A （4，3），B （5，2），C （1，0），求△ABC 外接圆的方程； （2）求直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长.
18. （本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的面积为S
且满足222
),S a c b b =
+-= （1）求角B 的大小； （2）当a +c ＝9时，求S .
19. (本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．
S ABC -M N 、SC BC
、SA =
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．
1
20．（本小题满分12分）
在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ(其中sin θ＝26
26，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C.
(1) 求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2) 若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
21. （本小题满分12分）
已知圆M 的方程为22
(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的
切线,PA PB ，切点为,A B ．
（1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；
东
（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程.
22. （本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且
1 2.AB AC A B ===
（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；
（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．
,,A P M
高一数学期中考试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线50x +-=的倾斜角为（ ） A.30-︒
B.150°
C.120°
D.60°
【答案】B
2．在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，那么△ABC 最大内角为（ ） A ．30° B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C
3. 当a 为任意实数时，直线（a －1）x －y ＋2a ＋1＝0恒过的定点是（ ）
A ．（2，3）
B ．（－2，3）
C ．⎝⎛
⎭⎫1，－12
D ．（－2，0）
【答案】B
4. 设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若a ⊥γ，β⊥γ，则α∥β
【答案】C
5．若点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线ax ＋by ＝R 2与圆的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B
6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1
B
C ．2
D
【答案】B
7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+.若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
8. 如果圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a +3）2＝1上存在两个不同的点P ，Q ，使得|OP |＝|OQ |＝2（O 为坐标原点），则a 的取值范围（ ） A ．0＜a ＜3 B ．0≤a ≤3 C ．a ＜﹣1或a ＞4 D ．a ≤﹣1或a ≥4
【答案】A
9. 第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行,气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的
夹角约为（ ） A.20° B.28° C.38° D.48°
【答案】C
10. 已知点()y x P ,是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是22:20C x y y ++=的两条切
线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）
A. 2
5
C.25
D.4
【答案】A
11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A ．PC 1与AA 1异面 B. PC 1与A 1C 垂直
C ．PC 1与平面AB 1
D 1相交 D. PC 1与平面AB 1D 1平行 【答案】D
12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为_________. 【答案】 2
14. 直线1:60l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为 ． 【答案】-1
15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以
722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方
向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米（观测站高度忽略不计，
结果保留根号）．
【答案】
23
5
16. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 . 【答案】π36
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）
（1）已知△ABC 顶点的坐标为A （4，3），B （5，2），C （1，0），求△ABC 外接圆的方程； （3）求直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长.
【解析】（1）设所求圆的方程为22
0x y Dx Ey F ++++=.
因为点A,B,C 在所求的圆上，故有43250,6,52290,2,10 5.D E F D D E F E D F F +++==-⎧⎧⎪⎪
+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩
故所求圆的方程为22
6250x y x y +--+=. ………………………5分
（2）圆心（2，-1）到直线x +2y -3=0
的距离d =
r=2，
故弦长为5
==
. ………………………10分 18. （本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的面积为S
且满足222
),S a c b b =
+-= （1）求角B 的大小； （2）当a +c ＝9时，求S .
【解析】（1
）由222
)S a c b =
+-
，得1sin 2cos 2ac B ac B =
，……………2分 S ABC -M N 、SC BC
、SA =
∵ac >0
，∴sin B B =，∵cos 0B ≠
，∴sin tan cos B
B B
=
= ……………4分 又0＜B ＜π，∴B ＝60°． ……………5分 （2）由（1）及余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos60°=21，
∴a 2+c 2﹣ac ＝21，又a +c ＝9，∴（a +c ）2-3ac =81-3ac =21，ac =20， ……………8分
故11sin 20222
S ac B =
=⨯⨯= ……………10分 19. (本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，
D 是AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；
（2）若∠A 1AB ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BB 1，AC ＝2，BC ＝1，求三棱锥C ﹣AA 1B 的体积．
【解析】（1）证明：连结AB 1交A 1B 于点O .
∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，11AA BB =,四边形AA 1B 1B 为平行四边形，
∴O 为AB 1的中点，又∵△AB 1C 中，D 是AC 的中点，∴OD ∥B 1C ， ……………3分 又OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，
∴B 1C ∥平面A 1BD . ……………6分 （2）解：∵AC ＝2，BC ＝1，∠ACB ＝60°， ∴AB 2
＝
AC 2+BC 2
﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝3
，得AB =
∴AC 2＝AB 2+BC 2，则AB ⊥BC ．
又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊂平面ABC ，
∴BC ⊥平面AA 1B 1B ． ……………8分
1
1
∵∠A 1AB ＝60°，AB ＝BB 1＝AA 1，∴13
AA =． ∴11111333
sin 33,22A AB
S
AB AA A AB =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯= ……………10分 111
1333
1.3
344
C A AB A AB
V S
BC -=⋅=⨯⨯= ……………12分 20．（本小题满分12分）
在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ(其中sin θ＝26
26，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C.
(1) 求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2) 若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 【解析】(1) 如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝26
26，
由于0°＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝526
26.
由余弦定理得
BC ＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos θ＝105， ……………3分 所以v =105
23
＝15 5 .
答：船的行驶速度为155海里/小时． ……………4分 (2) 设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q.
在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝310
10. ……………6分
东
北
A
B
C
E
从而sin ∠ABC ＝1－cos 2
∠ABC ＝
1－910＝1010.
在△ABQ 中，由正弦定理得AQ ＝ABsin ∠ABC
sin （45°－∠ABC ）＝402×10
1022×21010＝40. ……………8分
由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15.……9分 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．
在Rt △QPE 中，PE ＝QE·sin ∠PQE ＝QE·sin ∠AQC ＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×5
5＝3 5
……………11分
因为35＜7，所以船会进入警戒水域．
答：若该船不改变航行方向继续行驶．则它会进入警戒水域. ……………12分 （说明：若用解析几何方法证明直线BC 和圆E 相交也相应给分.） 21. （本小题满分12分）
已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，试求点的坐标；
（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程.
【解析】（1）设，因为是圆的切线， ，
所以∠APM =30°，， ……………2分
所以，解之得, M 22
(2)1x y +-=l 20x y -=P l P M
,PA PB ,A B 60APB ∠=P ,,A P M (2,)P m m PA M 60APB ∠=2MP =22
(2)(2)4m m +-=40,5
m m ==
故所求点的坐标为或． ……………3分
（2）的中点， 因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：， ……………5分 化简得：22
(2)(22)0x y y m x y +--+-=，
此式是关于的恒等式，故2220,220,
x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得或45
25x y ⎧=
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
. 所以经过三点的圆必过定点和42,55⎛⎫
⎪⎝⎭
. ……………7分 （3）由22
2
2
2(2)20,
430x y mx m y m x y y ⎧+--++=⎪⎨+-+=⎪⎩
可得AB ：2mx +（m -2）y +3-2m =0，即m （2x +y -2）-2y +3=0，
由220,230
x y y +-=⎧⎨-=⎩可得AB 过定点13,42R ⎛⎫
⎪⎝⎭. ……………9分 因为N 为圆M 的弦AB 的中点，所以MN ⊥AB ，即MN ⊥RN ，
故点N 在以MR 为直径的圆上， ……………11分
点N 的轨迹方程为2
2
17
3042
x y x y +-
-+=. ……………12分 （说明：如果求出点N 的坐标，再消参求出轨迹方程的相应给分.） 22. （本小题满分14分）
P (0,0)P 84(,)55
P MP (,
1)2
m
Q m +PA M ,,A P M Q MQ 2
222()(1)(1)22
m m
x m y m -+-
-=+-m 02x y =⎧⎨=⎩,,A P M (0,2)
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===
（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ；
（2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；
（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．
【解析】（1）证明：∵顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，1A B ABC ∴⊥平面，
AC ABC ⊂平面,1A B AC ∴⊥， ……………2分
又AB AC ⊥，1111,,AB
A B B AB AB B A B AB B =⊂⊂，平面平面，1AC AB B ∴⊥平面，
1AC A AC ⊂平面，11A AC AB B ∴⊥平面平面． ……………4分
（2）∵在三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC ,
∴1AA 与BC 所成的角为∠C 1CB (或其补角). ……………6分
连BC 1.
1A B AC ⊥，三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ,111A B A C ∴⊥，
111122,22
AC A B AC AC BC ====∴=，. 2,22AC AB AB AC BC ==⊥∴=，.
1A B ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面,1A B AB ∴⊥，又12AB A B ==，122AA ∴=,则
11=22CC AA =，从而△BCC 1为正三角形，∠C 1CB =60°，……8分
故1AA 与BC 所成的角为60°. ……………9分
Q P
C 1
B 1
A 1
C
（3）取A 1C 1中点Q ，∵P 为11B C 的中点，∴11PQ A B , ∵三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB ,∴PQ AB ，P ,Q ,A ,B 四点共面. 由（1）（2）可知1111,AB AC AC
AC AB AC ⊥⊥，则，
又1A B AB ⊥，11111111111,,AC AC B A B AC B AC A B A ⊂⊂=平面平面,
∴11AB AC B ⊥平面.
又∵11,QB AC B AB QB ⊂∴⊥平面,又1A B AB ⊥，
故∠QBA 1为二面角1P AB A --的一个平面角. ……………12分
111A B A C ⊥，1
11111,22AQ AC A B ===,BQ ∴=1cos QBA ∠=，…………13分
即二面角1P AB A --． ……………14分。