苏教版数学选修2-1同步练习：3.2 3.2.3 空间的角的计算 巩固提升

[A 基础达标]
1．已知二面角α-l -β的两个半平面α与β的法向量分别为a ，b ，若〈a ，b 〉＝π
3，则
二面角α-l -β的大小为( )
A.π
3 B.2π
3 C.π3或2π3
D.π6或π3
解析：选C.由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α-l -β的大小为π3或2π
3
，故选C.
2．已知在棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，E 是BC 的中点，则直线A ′C 与DE 所成角的余弦值为( )
A. 5
B.155
C.15
15
D.1520
解析：选C.如图所示建立空间直角坐标系，
则A ′(0，0，a )，C (a ，a ，0)，D (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，A ′C →
＝(a ，a ，－a )，
DE →
＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0， cos
A ′C →，DE →
＝A ′C →·DE →
|A ′C →||DE →
|
＝1515.
3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.63
B.265
C.155
D.
105
解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，
0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，1)，C 1(0，2，1)，所以BC 1→
＝(－2，0，1)．连结AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC →
＝(－2，2，0)．
所以所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1→
〉|＝|a ·BC 1→||a ||BC 1→|＝48×5＝105.
4.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA ＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )
A ．120°
B ．45°
C ．150°
D ．60°
解析：选B.以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E (0，0，1)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，EB →
＝(1，0，－1)， EC →
＝(1，1，－1)．
设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩
⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，
x ＋y －z ＝0，
可取n ＝(1，0，1)．
又平面EAD 的一个法向量为AB →＝(1，0，0)，所以cos 〈n ，AB →
〉＝12×1＝2
2
，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.
5．如图所示，已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点，则二面角C ­BF ­D 的正切值为( )
A.36
B.34
C.33
D.233
解析：选D.如图所示，设AC 与BD 交于点O ，连结OF .以O 为坐标原点，OB ，OC ，
OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .
设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，所以O (0，0，0)，B (
32，0，0)，F (0，0，1
2
)，C (0，12，0)，OC →＝(0，12，0)，易知OC →为平面BDF 的一个法向量，由BC →＝(－32，12，0)，FB →
＝(32，0，－12)，可得平面BCF 的一个法向量为n ＝(1，3，3)．所以cos 〈n ，OC →
〉＝217，sin
〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝233.故二面角C -BF -D 的正切值为233
.
6．已知点A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．
解析：由题意得AB →＝(－1，2，0)，AC →
＝(－1，0，3)． 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0n ·
AC →＝0，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0－x ＋3z ＝0.
令x ＝2，得y ＝1，z ＝23，则平面ABC 的一个法向量为n ＝(2，1，2
3)．平面xOy 的一个
法向量为OC →
＝(0，0，3)．
由此易求出所求锐二面角的余弦值为|n ·OC →||n ||OC →|＝2
7.
答案：27
7.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．
解析：设三棱柱的棱长为1，以B 为原点建立空间直角坐标系，如图，则C 1(0，1，1)，A ⎝⎛
⎭⎫32，12，0，则AC 1→＝⎝⎛
⎭
⎫－32，12，1. 易知平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1，0，0)，设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→
〉|＝|AC 1→
·n ||AC 1→
||n |
＝64，所以cos θ＝1－sin 2θ
＝
104. 答案：
104
8.如图所示，有一长方形的纸片ABCD ，长AB ＝4 cm ，宽AD ＝3 cm ，现沿它的一条对角线AC 把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD 的长．
解：作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，点E ，F 为垂足， 则AC ＝
AD 2＋DC 2＝5 cm ，DE ＝BF ＝4×
35＝125 cm ，AE ＝CF ＝32
5
＝95 cm ，EF ＝7
5
cm. 折叠后，DE 、EF 、FB 的长度保持不变，
且|BD →|2＝(BF →＋FE →＋ED →)2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2BF →·ED →＋2FE →·ED →＝|BF →|2
＋|FE →|2＋|DE →|2＋2|BF →||ED →
|cos 60°
＝⎝⎛⎭⎫1252
＋⎝⎛⎭⎫752
＋⎝⎛⎭⎫1252
＋2×⎝⎛⎭⎫1252
×12＝48125， 所以BD ＝
4815 cm ，即折叠后BD 的长为481
5
cm. 9.如图所示，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为 2a . (1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A ，B ，A 1，C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．
解：(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为y 轴，AA 1
所在直线为z 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由已知得A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，2a )，C 1⎝
⎛⎭
⎫－
32a ，a 2，2a .
(2)取A 1B 1的中点M ，则M ⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ，连结AM ，MC 1，有MC 1→
＝⎝⎛⎭⎫－32a ，0，0，且AB →＝(0，a ，0)，AA 1→＝(0，0, 2a )，所以MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→
＝0，
所以MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1， 因为AB ∩AA 1＝A ， 所以MC 1⊥平面ABB 1A 1. 所以AM →与AC 1→ 所成角即为所求的角．
因为AC 1→·AM →
＝0＋a 24＋2a 2＝94
a 2，
|AC 1→|＝ 3a 24＋a 24
＋2a 2＝3a ，|AM →|＝ a 24＋2a 2
＝32a ，所以cos 〈AC 1→，AM →〉＝AC 1→·AM →
|AC 1→||AM →
|
＝
32
， 所以〈AC 1→，AM →
〉＝30°，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.
[B 能力提升]
1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．
解析：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (1，0，0)，
M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，C (0，1，0)，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12.所以cos 〈AM →，CN →
〉＝AM →·CN →
|AM →||CN →|
＝
0×1＋12×0＋1×
120＋14＋1×1＋0＋14
＝2
5.
答案：2
5
2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1
2AA 1，D 是棱AA 1的
中点，DC 1⊥BD .
(1)证明：DC 1⊥BC ； (2)求二面角A 1
BD
C 1的大小．
解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.
又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .
因为BC ⊂平面BCD ， 所以DC 1⊥BC .
(2)由(1)知BC ⊥DC 1，且
BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →，CB →，CC 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，|CA →
|为单位长，建立如图所示的空
间直角坐标系C -xyz .由题意知A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，D (1，0，1)，C 1(0，0，2)．则A 1D →
＝(0，0，－1)，BD →＝(1，－1，1)，DC 1→
＝(－1，0，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则
⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·
A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1，1，0)．
同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，
－x ＋z ＝0，可取m ＝(1，2，1)．
从而cos
n ，m
＝n·m |n |·|m |＝32
. 故二面角A 1­BD ­C 1的大小为30°.
3.(选做题)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.
(1)证明：PC ⊥AD ；
(2)求二面角A -PC -D 的正弦值；
(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长． 解：如图，以点A 为坐标原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，D (2，0，0)，C (0，1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，1
2，0，P (0，0，2)．
(1)证明：易得PC →＝(0，1，－2)，AD →＝(2，0，0)，则PC →·AD →
＝0，所以PC ⊥AD . (2)易得PC →＝(0，1，－2)，CD →
＝(2，－1，0)． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.令z ＝1，可得n ＝(1，2，1)．
又AD →
＝(2，0，0)是平面P AC 的一个法向量，
所以cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →
||n |＝66，从而sin 〈AD →
，n 〉＝306.所以二面角A -PC -D 的正
弦值为
306
. (3)易得CD →
＝(2，－1，0)．设AE ＝h ，h ∈[0，2]，则E (0，0，h )，
所以BE →
＝⎝⎛⎭⎫12
，－12，h . 所以cos 〈BE →，CD →
〉＝BE →·CD →
|BE →||CD →|＝
3
212
＋h 2
×5＝
32
， 解得h ＝1010，即AE ＝1010
.
由Ruize收集整理。

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