教学设计3：1.4 全称量词与存在量词

1.4 全称量词与存在量词
【学习目标】
1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；
2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；
3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；
4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【要点梳理】
要点一、全称量词与全称命题
全称量词
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.
常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，
读作“对任意”.
全称命题
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.
一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，
记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整
数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）
“负数的平方是正数”；都是全称命题.
要点二、存在量词与特称命题
存在量词
定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.
常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表
示，读作“存在 ”.
特称命题
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，
记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.
要点诠释：
（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使
sin()sin sin αβαβ+=+.
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述
要点三、 含有量词的命题的否定
对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p ：x M ∀∈，()p x
p 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；
从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地
对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意
,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.
对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p ：0x M ∃∈，0()p x
p 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；
从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()
p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定
为“x M ∀∈，()p x ⌝”.
要点诠释：
(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.
(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于
否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.
要点四、全称命题和特称命题的真假判断
①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()
p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使
得0()p x 不成立，即举一反例即可.
②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得
0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，
使 ()p x 成立得元素不存在.
【典型例题】
类型一：量词与全称命题、特称命题
例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的
数学符号表示.
（1）对任意正实数2,20a a a -->；
（2）对某个大于10的正整数n ，1024n =.
举一反三：
【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：
（1）任何一个实数除以1仍等于这个数；
（2）等边三角形的三边相等；
（3）存在实数0x ，使2030x ->。

【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.
（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；
（2）所有素数都是奇数；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（4）有些整数只有两个正因数.
类型二：判断全称命题、特称命题的真假
例2.判断下列命题的真假：
（1）4,12x N x ∀∈+≥；
（2）3
00,1x Z x ∃∈<.
举一反三：
【变式1】试判断下列命题的真假
（1）01,2>+∈∀x R x ；
（2）1,2≥∈∀x N x ；
（3）3,3=∈∃x Z x ；
（4）023,2=+-∈∀x x R x ；
（5）01,2=+∈∃x R x ；
【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定
例3.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真
假.
（1）三角形的内角和为180°；
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）存在一个四边形不是平行四边形；
（4）:p 2
,20x R x ∀∈+>；
（5）:p 200,10x R x ∃∈+=.
举一反三：
【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）2
,440x R x x ∀∈-+≥；
（2）所有的正方形都是矩形；
（3）2000,10x R x x ∃∈++≤；
（4）至少有一个实数x 0，使得2020x +=.
【变式2】 “a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ）
A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数
类型四：含有量词的命题的应用
例4．已知
1
:|1|2
3
x
p
-
-≤，22
:210(0)
q x x m m
-+-≤>，若p
⌝是q
⌝的必要不充分
条件，求实数m的取值范围.
举一反三：
【变式1】若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是.
【变式2】已知c＞0，设命题p：函数y＝c x为减函数.命题q：当
1
,2
2
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
时，函数
11
()
f x x
x c
=+>恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.
参考答案
【典型例题】
例1.【答案】
（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）
可以写成“20,20a a a ∀>-->”.
（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集
合.命题（2）可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=.
【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，
“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.
举一反三：
【变式1】【答案】
（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题
【变式2】 【答案】
（1）有全称量词“任意”，是全称命题；
（2）有全称量词“所有”，是全称命题；
（3）有存在量词“存在”，是特称命题；
（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

类型二：判断全称命题、特称命题的真假
例2.【答案】
（1）由于0N ∈，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题；
（2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.
【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，
验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()
p x 不成立即可；
（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，
使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
举一反三：
【变式1】【答案】
（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题
【变式2】【答案】A
类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定
例3.【答案】
（1）是全称命题且为真命题.
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，
即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题.
（2）是全称命题且为假命题.
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.
（3）是特称命题且为真命题.
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题.
（4）是全称命题且为真命题.
由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；
p ⌝：200
,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 （5）是特称命题且为假命题.
因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；
p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.
【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的
否定是全称命题.
举一反三：
【变式1】【答案】
（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；
（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；
（3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）；
（4）p ⌝：2,20∀∈+≠x R x （真命题）.
【变式2】 【答案】A
类型四：含有量词的命题的应用
例4． 【答案】 10x 2331x 12131x 22|31x 1:|p ≤≤-⇒≤-≤-⇒≤--≤-⇒≤-- q :x 2-2x +1-m 2≤0[x -(1-m )][x -(1+m )]≤0
又∵m >0
∴不等式的解为1-m ≤x ≤1+m
∵p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件”
∴不等式2|3
1x 1|≤--的解集是x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)的解集的子集. 1m 2m 3,m 91m 10m 9-≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩
∴实数m 的取值范围是[)+∞,9
【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充
分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利
用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解
集间的包含关系，进而使问题解决.
举一反三：
【变式1】【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【解析】∵∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0是真命题
∴(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，
∴a －1＞2或a －1＜－2，
∴a＞3或a＜－1.
【变式2】【答案】
1
{|0c1}
2
c c
<≤≥
或
【解析】由命题p知：0＜c＜1.
由命题q知：
15
2
2
x
x
≤+≤，
要使此式恒成立，则
1
2>
c
，即
1
2
c>.
又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，
当p为真，q为假时，c的取值范围为
1 0
2
c
<≤.
当p为假，q为真时，c≥1.
综上，c的取值范围为
1
{|0c1}
2
c c
<≤≥
或.。