高三数学月考试题及答案-福州市第八中学2016届高三第四次质量检测(理)

福州八中2015-2016学年高三毕业班第四次质量检查
数学(理)试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
命题、校对：教务处 2015. 12.14
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}2,3,4,1,2A B ==，则[()U A B =（ ） （A ）{}2
（B ）{}5
（C ）{}34，
（D ）{}2345，，，
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()+∞,0内是减函数的是（ ） （A ）x
y )21
(=
（B ）x y cos =
（C ）x y ln = （D ）21x y -=
3．等差数列}{n a 中，211152=++a a a ，则=+-+-108642a a a a a （ ） （A ）0
（B ）7
（C ）14
（D ）21
4．“92>x ”是“3>x ”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．已知0>a ，0>b 且b a ≠，设x =2
b
a +,
b a y +=，4ab z =，则x ，y ，z 的大小关系是（ ） （A ）z x y >>
（B ）z y x >>
（C ）x z y >>
（D ）x y z >>
6．已知数列}{n a 满足212
1n n n a a a -+=+，且01=a ，则该数列的前100项的和等于（ ）
（A ）24 （B ）25 （C ）74 （D ）75
7．已知几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图均为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）
（A ）
38 （B ）328 （C ）34 （D ）324
8．存在函数)(x f 满足：对任意R ∈x ，都有（ ）
（A ）x x f 2sin )(sin = （B ）x x f 2sin )(cos = （C ）|1|)2(2-=-x x x f （D ）1|)1(|2-=-x x f
9．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，3||=AB ，5||=AC ，则⋅=（ ） （A ）2
（B ）4
（C ）8
（D ）16
10．若y mx z +=在平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥-≥-03,02,02y x x y y x 上取得最小值时的最优解不唯一，则z 的最
大值是（ ） （A ）3-
（B ）0
（C ）
2
1 （D ）
2
3 11．关于函数x x x f cos sin )(=的性质的描述，不正确的是（ ） （A ）任意R ∈x ，)()π(x f x f =+ （B ）任意R ∈x ，)2
π()2π
(x f x f -=+
（C ）不存在)2π,0(0∈x ，使0)(0=x f
（D ）不存在)2π,0(0∈x ，使2
1)(0>
x f 12．比较下列各组中两数的大小： ①20152016
20162015
<； ②20152016
20162015
>；
③2015201620162015<； ④2015201620162015>，
其中正确结论的序号是（ ）
（A ）①③
（B ）②④
（C ）①④
（D ）②③
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13.若3
1
)4πtan(=
-θ，则θtan =___________． 14.已知向量)1,3(=a ，)1,(-=+x b a ．若b a //，则||b =___________．
15.正三棱锥ABC P -内接于球O ，球心O 在底面ABC 上，且3=AB ，则球的表面积为___________． 16.曲线
1412
2=+y x 上的点到原点O 的距离最小值等于___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和n S ，满足n a S n n 22-=，2+=n n a b ． （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）记n n b c 2log =，数列}1
{1
+n n c c 的前n 项和为n T ，证明21<n T ．
18.（本小题满分12分）
ABC ∆中，c b a ,,分别是三个内角C B A ,,的对边，且A b B a c cos cos )2(=-．
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若6=BC ，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC ∆的面积．
19.（本小题满分12分）
C 1
B 1
A 1C
B
A
已知三棱柱111C B A ABC -，侧面⊥C C AA 11侧面11A ABB ，211===CA C A AA ，
21==B A AB ．
（Ⅰ）求证：BC AA ⊥1；
（Ⅱ）求二面角1A BC A --的正弦值．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆G 的焦点分别为)0,2(1-F ，)0,2(2F ，且经过点)2,2(-M ，直线
2:+=ty x l 与椭圆G 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求△AB F 1的面积的最大值．
21.（本小题满分12分）
F
已知函数3)(e 2)(2
+--=a x x f x ，R ∈a ．
（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在0=x 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）若0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 注：e 是自然对数的底数．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，梯形ABCD 内接于圆O ，BC AD //，过点C 作圆O 的切线，交BD 的延长线于点F ，交AD 的延长线于点E ．
（Ⅰ）求证：BC DE AB ⋅=2；
（Ⅱ）若9==BC BD ，6=AB ，求切线FC 的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨
=⎩
，
（α为参数）．以
直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
()
π
cos 4
ρθ-=
（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数m x m
x x f ++-
=4
)(（0>m ）
． （Ⅰ）证明：4)(≥x f ；
（Ⅱ）若5)2(>f ，求m 的取值范围．
E
D
B
A
福州八中2015—2016学年高三毕业班第四次质量检查
数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题 CDBBAC ACCDBD 二、填空题
13、2 14、102 15、π4． 16、3 三、解答题
17、解：（Ⅰ）因为n a S n n 22-=，
所以)1(2211+-=++n a S n n ，从而22211--=++n n n a a a ， 即221+=+n n a a ．所以
22
4
22211=++=++=++n n n n n n a a a a b b ． 又22111-==a S a ，所以21=a ，04211≠=+=a b ， 所以}{n b 是首项为4，公比为2的等比数列，
所以11224+-=⨯=n n n b ，从而221-=+n n a ．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1+=n c n ，所以2
1
11)2)(1(111+-
+=++=+n n n n c c n n ， 从而2
12121)2111(
...)4131()3121(<+-=+-+++-+-=n n n T n ．……12分 18、解：（Ⅰ）根据正弦定理，由(2)cos cos c a B b A -=， 可得A B B A C cos sin cos )sin sin 2(=-， 整理得A B B A B C cos sin cos sin cos sin 2+=， 所以C B C sin cos sin 2=，因为0sin ≠C ，所以2
1
cos =B ， 又因为π),0(∈B ，所以3
π
=
B ．………………6分 （Ⅱ）如图，延长BD 至点E ，使得BD DE =，连接AE ，CE ． 因为D 为A
C 的中点，所以四边形ABCE 为平行四边形， 所以3
π
2=
∠BCE ，14=BE ． 在BCE ∆中，根据余弦定理，得
3
π2cos
2222⋅⋅-+=CE BC CE BC BE ， 即016062=-+CE CE ，解得10=CE ，所以10==CE AB ． 所以ABC ∆的面积3153
π
sin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
B B
C AB S ．……12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为BD 是AC 边上的中线，所以)(2
1BC BA BD +=，
所以2
2
)(4
1BC BA BD +=， 即BC BA BC BA BD ⋅++=24222．
所以3
πcos 626||742
22⨯++=⨯BA 0160=-+，
解得10||=BA ，即10=AB ． 所以ABC ∆的面积3153
π
sin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
B B
C AB S ． 解法三：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设x AB =，=CD y DA =．
在ABC ∆中，根据余弦定理，可得3
πcos
22
22⋅⋅-+=BC AB BC AB AC ， 即366422+-=x x y …①． 在BCD ∆中，根据余弦定理可得，
y
y y y DC BD BC DC BD BDC 1413
72672cos 2222222+=⨯-+=⋅-+=∠．
在ABD ∆中，同理可得，
y
x y y x y AD BD AB AD BD BDA 1449
7272cos 22222222+-=⨯-+=⋅-+=∠．
因为π=∠+∠BDA BDC ，
所以BDA BDC ∠-=∠cos cos ，所以)49(13222+--=+x y y ，
即62222-=x y …②． 由①②可得016062
=-+x x ，所以10=x ，即10=AB ．
所以ABC ∆的面积3153
π
sin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
B B
C AB S ． 19、解：（Ⅰ）取1AA 中点O ，连接CO ，
BO ． 1CA CA =，1AA CO ⊥∴，又∵1BA BA =，∴1AA BO ⊥，……3分
O CO BO = ，⊥∴1AA 平面BOC ，
⊂BC 平面BOC ，BC AA ⊥∴1．……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）1AA CO ⊥，又侧面⊥C C AA 11侧面11A ABB ，侧面 C C AA 11侧面1
1A ABB =1
AA ⊥∴CO 平面11A ABB ，而1AA BO ⊥，∴OA ，OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ．
则有)0,1,2(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,1
(),0,0,1(),0,0,0(11--B C B A A O ， ……7分
设),,(1111z y x =n 是平面ABC 的一个法向量，),,(2222z y x =n 是平面BC A 1的一个法向量，
)3,1,0(),3,0,1(-=-=CB CA ，
由⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅,0,011CB CA n n 即⎩⎨⎧=-=-,
03,031111z y z x 解得⎩⎨⎧
==,3,31111z y z x 令11=z ，∴)1,3,3(1=n ．又)3,0,1(),0,1,1(11==C A B A ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01212C A B A n n 即⎩⎨⎧=+=+,
03,02222z x y x 解得⎩⎨⎧=-=,3,32222z y z x 令12-=z ，∴)1,3,3(2--=n ．
……10分
设二面角1A BC A --为θ，则7
1
|cos |212
1=⋅⋅=
n n n n θ，
所以二面角1A BC A --的正弦值是
7
3
4． ……12分
20、解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
则24232||||221=+=+=MF MF a ，所以22=a ，
x
B 1
又因为2=c ，所以42
2
2
=-=c a b ，所以椭圆G 的方程为14
82
2=+y x ． ……5分 （Ⅱ）由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
,2,14
82
2ty x y x 得044)2(22=-++ty y t ，032322>+=∆t 恒成立． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则24221+-=+t t y y ，2
4
22
1+-=t y y ． △AB F 1的面积等于
112112||12F AB
S c y y ∆=⋅⋅-===≤
当且仅当1
112
2+=
+t t ，即0=t 时，等号成立，
所以当0=t 时，△AB F 1的面积的最大值等于24．……12分 21、解：（Ⅰ）)e (2)(a x x f x +-='．
因为函数)(x f y =的图象在0=x 处的切线与x 轴平行，
所以0)1(2)0(=+='a f ， 解得1-=a ，经检验1-=a 符合题意．……5分 （Ⅱ）当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，等价于0)(min ≥x f ． 首先，必须0)0(≥f ，即0322
≥+-a ，解得55≤≤-a ．
以下只研究]5,5[-∈a 的情况．)e (2)(a x x f x +-='，设)e (2)(a x x g x +-=， 则当0≥x 时，0)1e (2)(≥-='x x g ，所以)e (2)(a x x g x +-=在),0[+∞内单调递增，且
)1(2)0(a g +=．①当0)1(2≥+a ，即1-≥a 时，0)0()()(≥≥='g x g x f ，
所以)(x f 在),0[+∞内单调递增，0)0()(≥≥f x f ，所以当51≤
≤-a 时，在),0[+∞内
单调递增．②当0)1(2<+a ，即1-<a 时，由)e (2)(a x x g x +-=在),0[+∞内单调递增，知存在唯一),0[0+∞∈x 使得0)(0=x g ，即a x x -=00
e
，
且当∈x ),0(0x 时，0)()(<='x g x f ，)(x f 在),0(0x 上单调递减，
当∈x ),(0+∞x 时，0)()(>='x g x f ，)(x f 在),(0+∞x 上单调递增，
所以)(x f 的最小值为3)(e
2)(2000+--=a x x f x ， 又a x x -=00e ，所以3)e (e 2)(2000+-=x x x f )3e )(1e (00-+-=x x ，
因此，要使当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，只需0)(0≥x f ，即03e 0≤-x 即可．
解得3ln 00≤<x ，此时由a x x -=00e ，可得0e 0x x a -=．
以下求出a 的取值范围．x x x h e )(-=，]3ln ,0(∈x ， 得0e 1)(<-='x x h ， 所以)(x h 在]3ln ,0(上单调递减，从而133ln -<≤-a
综上①②所述，a 的取值范围]5,33[ln -．……12分
22、解：（Ⅰ）因为CF 与圆O 相切，所以DBC DCE ∠=∠，又BC DE //，所以DCB CDE ∠=∠，所以BCD CDE ∆∆~，可得DC
DE BC DC =，所以BC DE DC ⋅=2， 又DC AB =，所以BC DE AB ⋅=2……………………………………5分
（Ⅱ）DBC DCE ∠=∠，BFC ∠是公共角，所以BCF CDF ∆∆~， 所以
69===CD BC FC FB DF FC ，所以FD FC 3
26+=， 又FB FD FC ⋅=2)9(+⋅=FD FD ，所以554=FC ．………………10分 23、解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程可化为22sin 2
2cos 22=+θρθρ， 所以直线l 的直角坐标方程为04=-+y x ．
……………5分 （Ⅱ）设点)sin ,cos 2(ααP ，则点P 到直线l 的距离为
24)sin(524
sin cos 2-+=-+=ϕαααd （其中=ϕtan 2），
所以当1)sin(-=+ϕα时，点P 到直线l 的距离的最大值为
2
2410+．………10分 24、解：（Ⅰ）因为m ＞0，所以 m m m x m x m x m x x f +=+--≥++-=4|)()4(|4)(，又因为4424=⋅≥+m m
m m ，
当且仅当2=m 时等号成立，所以4)(≥x f ．…………………………………5分 （Ⅱ）|2||42|)2(m m f ++-
=，当24<m ，即2>m 时，44)2(+-=m
m f ，由5)2(>f ，解得2171+>m ．当24≥m ，即20≤<m 时，m m f +=4)2(，由5)2(>f ，解得10<<m ．综上，m 的取值范围是),2
171()1,0(+∞+ ．……………………10分。