过三角形垂心与一边中点的直线的性质及应用

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过》三>角形
*垂^《与一'边,中点^的
貢线的"笔质及应用
沈文选
（湖南省长沙市岳麓区,410205）
中图分类号:0123.1文献标识码：A文童编号:1005-6416（2021）01-0002-06
（本讲适合高中）
1知识介绍
设H为非等腰锐角（或钝角）△4BC的垂心,M为边BC的中点，点H在边BC上的射影为D;丿为的中点，以AH为直径的圆记为®J;AABC的外接圆记为O0；直线MH 与①0交于点久、心（点M在人与H之间）.对于这样的儿、仏有下述结论：
性质（1）四边形A.CHB为平行四边形，且M为儿H的中点；
（2）4/为O0的直径（即人为4在Q0中的对径点）；
（3）血为G）丿与O0的交点，且直线A2H 过点MM】；
（4）过父心、。

三点的圆经过4闪的中点M,过力、右、D三点的圆经过凡丹的中点N,M、N均在△ABC的九点圆上；
（5）过0、必显2三点的圆经过4H的中点J；
（§）直金_cos/ABC BA j_cos/BCA
{b）CA^=cos Z BCA'CA[=cos Z ABC；
（7）设以缶〃为直径的圆与©。

交于点S,以金日为直径的圆与①。

交于点K,A】S与SK交于点八则TH丄A,A2,且Rt/\A4|K 收稿日期=2020-09-22S Rt△人2HK,△旳1K人2仏；
（8）设直线人2。

与©0交于点G,则4G 为ZUBC的共觇中线,ZA}AM=ZDAG,且四边形ABGC为调和四边形.
证明不妨设AB>AC,如图1.
（甲）
(1)延长HM至点A',使得MA'=MH.
则四边形BA'CH为平行四边形
=ZBA'C=Z BHC=180°-Z
BAC
2021年第1期3
=＞点4'在©0上
=＞点4'与儿重合
=四边形A'CHB为平行四边形，且M 为儿H的中点•
(2)由(1),知A.C//BH.
而丄4C,故ZA,CA=90°.
从而,4“为O。

的直径.
(3)由(2),知Z AA2H=90°.
从而，点仏在以AH为直径的GV上.
由ZAA2H=90°,知凡〃所在直线与®0的交点即为力1，此时，
4出丄BA,CH丄BA.
则BAJ/HC.
类似地,A{C//BH.
故得DBA】CH,直线过点M.
(4)由(3),知ZMA2A=90°=Z.MDA.
则A2、A、M、D四点共圆.
显然，点M在443(}的九点圆上.
设过点A、缶、D的圆与HA2交于点N'.
则mh-ha2=ha-hd
=HA「HN'=2HM・HN'
n HA2=2HN'
为旳2的中点
=＞点M与N重合.
注意到JM ABC九点圆的直径.
又JN//AA2,A42±A2M,知川丄MN.
从而，点N在的九点圆上.
(5)由A2、H、M三点共线,JHdLOM,知
OJ//MH.
又〃2=JH=OM,故四边形OMA2J为等腰梯形.
从而”2、丿、。

、必四点共圆.
结论成立.
⑹由一业一也一业.里1
()由X~MC~S^CA~CA2CA x
_BA^.sin Z BCA】_BA^.cos乙BCA
CA2sin Z CBA{CA2cos Z4BC'zh BA2_cos
Z ABC日BA]_cos Z BCA 侍CA^=cos Z BCA'且区=cos Z ABC'
(7)如图2,由△AQH'SKH的外接圆直径分别为A x H^A2H,知两圆切于点H
(乙)
图2
对于00,有TA l-TS=TA2-TK，知点T对两圆的幕相等，即知点T在两圆的根轴上，亦即TH为两圆的根轴.故TH为两圆的切线.
于是，加丄儿码
由Z4/K=Z A,A2K=Z HA2K,知
Rt A^^coRt
由ZA.KH=90°+ZHKA=ZAKA2,及
/HA/=Z A2A x K=Z A2AK,
(8)由(4),知仏丿、M、D四点共圆.则
Z AMB=Z A42D(或180°-Z A42D)
=z ACG.
又ZABM=ZAGC,则
△BAM s/\GAC
=＞4G为ZUBC的共辘中线.
注意到与AD为等角线,
知
4
中等数学
ZA X AM = ZDAG.
类似地,△acms /xagb . ,,AM AC AM AB 故 BM^GC'CM^GB'
注意到,BM = CM.
=>四边形ABGC 为调和四边形.2应用举例
图3
例1设443（7为非等腰锐角三角形, 垂心为H.过点H 的直线分别与边AB^AC 交 于点D 、E,使得AD =AE. M 为边BC 的中点，
K 为直线与的外接圆劣弧亦的
交点•证明:A 、K 、D 、E 四点共圆.⑴
（第54届蒙古数学奥林匹克;2009,中国 西部数学邀请赛）
证明由题设，知AB<4C.如图3,延长彳
与“ABC 的外接圆交加L 、
于点右.
由性质（1）知BH=A X C, CH=A r B. 由 AD=AE
n ZBDH =Z CEH.
又Z HBD =90°-Z ABC = Z HCE ,则
HBDH s ^CEH
BD BH
CE = CH =AJi '由性质（6）有
BK _ cos Z ABC CA^ BD CK = cos Z BCA =BA^ = CE
^BK-QK BD~ CE'
结合Z KBD = ZKCE,^\△ KBD s\ KCE
=> Z KDB = Z KEC
n Z KDA = z KEA
= A 、K 、D 、E 四点共圆.
例2 在锐角△ ABC 中,AB < AC.边BC 的中垂线与直线AB^AC 分别交于点P 、Q. H 为AABC 的垂心,MJV 分别为线段BC 、PQ 的 中点•证明:直线HM 与AN 的交点在 的外接圆上•⑵
（2019,巴尔干地区数学奥林匹克）证明 如图4,联结
图4
则由ZHCB 、ZAPQ 均与A ABC 互余, 乙HCQ 、乙HBA 均与Z BAC 互余,知
/ BHC = 90。

+ Z HCQ =90°+Z HBA = 90。

+90。

-ZB4C
= 180°-ZB4C = ZQ4P.
于是,M 、N 为相似△ BHC 与厶QAP 的 对应点.
从而,ZANQ = ZHMB.
设直线HM 与AN 、^ABC 的外接圆分别 交于点厶、D.
则由性质（2）,知AD 为外接圆 的直径•此时，
Z ALD = Z NLM
=\80。

- /LNM - ZNML = 180。

- ZHMB -ZNML = 180° -ZBMP= 90°.
因此,点厶在AABC 的外接圆上.
例3 已知0为锐角AABC 的外心, AD 、BE 、CF 为高线，M 为边BC 的中点，仞 与EF 、AO 与BC 分别交于点X 、Y,线段刃的 中点为Z.证明：A 、Z 、M 三点共线.⑶
（2017,日本数学奥林匹克）
证明 当AB^AC 时，
结论显然成立.
2021年第1期5
不妨设4B <4C,如图5,设H为AABC的垂心，延长HM,与©0交于点G.
由性质（1）、（2）,知四边形BGCH为平行四边形，且G为A 的对径点.A
图5
从而，点Y在直线AG上.
注意到,A aefsaabc.
由X、E、H、F四点共圆,AH为其直径，以及A、B、G、C四点共圆,4G为其直径，知四边形AEHFS四边形ABGC,
且X、丫为对应点.
则鑰=需=
此时，由性质（1）,知M为HG的中点.
又Z为XY的中点，故4、Z、M三点共线.
例4在锐角中，4BM4C,G、H 分别为其重心、垂心,AD丄BC于点D,M为边BC的中点，△ABC的外接圆O0与射线MH、DG分别交于点P、Q.证明:PD与QM的交点在©0上.⑶
（第68届罗马尼亚国家队选拔考试）
证明不妨设AB>AC,如图6.
设直线PD与©0的第二个交点为T.联结TM并延长，与©0交于点K.
由性质（8）,知四边形ABTC为调和四边形，有
BT.AB
CT=AC'
由1BM S^KBT KB BT KB AB
m~MC~S^CT~KC CT~KC AC
KB AC
=KC=AB'
故ZWC SRCB
n△KBC ACB
=点K与4关于直线0M对称.
作K关于BC的对称点S.则A、S关于点M对称.
从而,KS=2AD.
设DK与AS交于点G'.则
AG'AD1_AG'c
G'S KS2G'M
二点G'与G重合
n D、G、K三点共线
=点K与Q重合
因此,PD与QM的交点T在00±.
例5已知H为锐角ZUBC的垂心
M4C,不同于点A的点F位于AABC的外接圆上,ZAFH=90°,点K与H关于B对称,点P满足Z PHB=Z PBC=90°.过点B作CP的垂线，垂足为Q.证明:与Z\FHK的外接圆相切•⑴
（2018,塞尔维亚国家队选拔考试）
证明不妨设AB<AC,如图
7.
6中等数学
设ZX/iBC的外心为0.
由性质(3),知F是以AH为直径的圆与
△ABC的外接圆<30的交点.
延长FH,与BC、O0分别交于点M、缶.
又由性质(3),知M为BC的中点，也为
HA】的中点.
延长与4CG0分别交于点EA-
由垂心性质，知E为弘。

的中点.
从而,ME//A X A O.
于是,△FHB s\A0HA{s\EHM.
因为B、M分别是7/K、网的中点，所以，
△FHKsSHAi.
延长EM至点E',使得ME'=EM.
则四边形BE'CE为矩形，四边形HE'A.E 为平行四边形.
故Z KFH=z HEA l=z KHE'.
由弦切角定理的逆定理,知恥'为△FKH 外接圆的切线.
注意到,B、E'、C、E、Q均在以BC为直径的圆上，以及P、B、H、Q均在以BP为直径的圆上.
则Z BQE'=Z BCE'=Z CBH
=z BPH=z BQH.
从而,Q、H、E三点共线.
故直线HQ与厶FHK的外接圆相切.
例6在锐角AABC中，4B>4C,设厂为其外接圆,H为垂心,F为由顶点A处所引高的垂足,M为边BC的中点.Q、K为圆厂上的点，使得Z HQA=Z HKQ=90°.若A、B、C、K、Q互不相同，且按此顺序排列在圆厂上，证明:△KQH的外接圆与△FKM的外接圆相切.⑷
(第56届IMO)
证明如图8,延长交圆厂于点
由性质(2)、(3),知血为A的对径点，点Q在直线MH上.
延长MF,与圆厂交于点E.则4/丄AE,有MF//A.E,且MF为的中位线.
延长4上与QK,交于点T.联结与BC交于点S.则S为耐的中点.
从而，在Rt△HKT中,SH=SK.
由性质(7),知加丄
推知SH与△KQH的外接圆口相切，亦推知SK与圆八相切.
于是，在Rt中，有
SF-SM=SH2=SK2,
即SK为厶FKM外接圆厂2的切线.
从而，圆八与厂2相切，且切点为K.
练习题
1.在锐角△ABC中,AB#AC,H为/\ABC 的垂心,M为边BC的中点,D、E分别为AB、AC上的点，且AD二AE,D、H、E三点共线.证明：ZUBC的外接圆与的外接圆的公共弦垂直于HM.
(2006,瑞士国家队选拔考试；第46届IMO预选题)
提示设直线与外接圆上靠近点4的交点为K.由例1,知A、D、E、K四点共圆.由性质(2),即知结论成立.
2.已知AE为“ABC的外接圆的直径，△ABC的垂心为H.联结并延长，与圆交于另一点D证明：肋的中点在443(7的九点圆上.
(2016,爱尔兰数学奥林匹克)
提示由性质(4)
即证.
2021年第1期7
3.在锐角AMC中，仞丄BC于点
为BC的中点为垂为AABC的外接圆①。

与射线MH的交点,F为ED的延长线与①。

的交点•证明:誓姥.
(2012,亚太地区数学奥林匹克)
提示由性质(8)即证.
4.在锐角Z\4BC^,BC>AC,AM±BC 于点M,且BN丄AC于点TV,A ABC的外接圆◎。

与△MCN的外接圆OS交于另一点D.若P为线段的中点，证明:P、0、S、D 四点共圆.
(2014,克罗地亚国家队选拔考试)
提示由性质(5)即证.
5.设P、Q为AABC的外接圆的弧花(不含点4)上两点，且ZBAP=Z QAC< ZBAQ,AABC的垂心H在AP^AQ上的射影分别为E、F,M为边BC的中点.证明:E、P、Q、F四点共圆，且以M为圆心.
(2017,哈萨克斯坦数学奥林匹克)
提示由ZBAP=ZQAC,^\AP^AQ为ABAC的等角线.则BC//PQ.
设0为的外心,M为边BC的中点，直线与①。

交于点
由性质(2),知血为4的对径点.此时, AA^AH也为ZBAC的等角线，亦为ZE4Q 的等角线，知必1丄EF.
设以個为直径的圆分别与AB^AC交于点X』.则A41丄XY.从而,
由ZAYX=Z ABC,知XY为BC的逆平行线.
于是,EF也为PQ的逆平行线,有
Z AFE=Z APQ.
从而,E、P、Q、F四点共圆.
设N为的中点.
由性质(1),知M为/的中点，有
NM//AA X.
从而,NM丄EF.
注意到，NM为EF的中垂线，而PQ的中垂线过BC的中点M.
则M为过点E、P、Q、F四点的圆的圆心.
6.已知ZXMBC内接于Q0,AB<4C,三条高线交于点H.在B0的延长线上取一点D,使得ZADC=ZABC.经过点H且平行于B0的直线与©0上的劣弧屁交于点E证明:BH=DE.
(第45届俄罗斯数学奥林匹克)
提示设直线与交于点Bo,联结肪°,与4C交于点M.
由性质(1),知四边形AHCB0为平行四 边形，且M为MC的中点.
于是，在以M为中心的中心对称变换下，点A变为C,点B o变为H.设在该中心对称变换下，点E变为E',QO变为Q0'.
从而，点A、H、E'、C均在©0,上.
由Z.ADC=Z ABC=180°-Z AHC,知点D也在©0'上.
据对称性，及B0E'//HE,知点0在直线BB0上.
注意到，四边形AHE'D、四边形BEB.C 均内接于圆.
则Z EBB0=z ECB0=z E'AH=Z E'DH
=>Z EBD=z BDH.
这表明，四边形BHED为等腰梯形.
因此,BH=DE.
参考文献：
[1]《中等数学》编辑部编.国内外数学竞赛题及精解
(2017-2018)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，
2019,6:93-96,271-273.
[2]2019巴尔干地区数学奥林匹克[J].中等数学,2020
(6)：30-31.
[3]《中等数学》编辑部编.国内外数学竞赛题及精解
(2016-2017)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学岀版社，
2018,7:156-159,231-232.
[4]第56届IM0试题解答[J].中等数学,2015(9):19-23.。