安徽省怀远三中高考冲刺卷数学试题文科

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33
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安徽省怀远三中高考冲刺卷数学试题（文）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（满分60分）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设{}01,2,3,4,5U =，,{}1,3,5A =,{}
2
20B x x x =-=,则()=B C A U ( )
A ．∅
B ．{}34，
C ．{}13,5，
D ．{}2,45，
2、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）（A ）2-
（B ）1
2
-
（C ）
12
（D ）2
3、满足“对任意实数y x ,，)()()(y f x f y x f ⋅=⋅都成立”的函数可以是 ( ) A ．x x f 3)(=； B ． x x f 3log )(=； C ．3
)(x x f =； D ．x
x f 3)(= 4、“1=a ”是“函数ax y 2sin =的最小正周期为π”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．平面//α平面β的一个充分条件是（ ）
（A ） 存在一条直线m ， α//m ,β//m （B ） 存在一条直线m ， α⊂m ,β
//m （C ） 存在两条平行直线n m ,, α⊂m β⊂n ,β//m ,α//n
（D ） 存在两条异面直线n m ,， α⊂m β⊂n ，β//m ,α
//n 6、若函数f (x )=e x cos x ，则此函数图象在点(1, f (1))处的切线的倾斜角为 A ．0
B ．锐角
C ．直角
D ．钝角
7、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
（A ） 123 （B ） 363 （C ） 273 （D ）6
8、 若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1
4
,则该双曲线
的离心率是 A 5B 6 C ．2 D 23
9、下列命题错误．．的是 A ．命题“若p ，则q ”与命题“若p q ⌝⌝则,”互为逆否命题 B ．命题“0,2
>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2
≤-∈∀x x R x ” C ．“0a b ⋅=”是“0a =或0b =”的必要不充分条件 D ．“若b a bm am <<则,22
”的逆命题为真
10、已知向量OB ＝(2，0)，OC ＝(2，2)，CA ＝(cos α，sin α)( α∈R)，则OA 与OB 夹角的取值范围是( ) A ．]4
,
0[π
B ．]125,
4[
π
π C ．]125,
12[
π
π D ．]2
,125[
π
π 11、给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：
①“若b a b a R b a =⇒=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、” ②“若d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈,，则复数、、、”类比推出
“d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈,22，则、、、”
③“若b a b a R b a >⇒>-∈0，则、
、”类比推出 “若b a b a c b a >⇒>-∈0,则、”
④“若111||<<-⇒<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-⇒<∈z z C z ，则” 其中类比结论正确．．．．的个数有 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知点R t t t P ∈),,(，点M 是圆4
1
)1(2
2
=
-+y x 上的动点，点N 是圆4
1
)2(22=
+-y x 上的动点，则||||PM PN -的最大值是 A ．15- B ．5 C ．2 D ．1
第Ⅱ卷（满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 命题“若0c >，则函数2()f x x x c =+-有两个零点.”的逆否命题．．．．是 . 14. 已知数列｛a n ｝前n 项和为s n,且s n 为a n 与1的等差中项，则数列｛a n ｝的前10项和 为 。

15． “b a ,为异面直线”是指：①∅=b a ，且a 不平行于b ；②α平面⊂a ，β平面⊂b ，且∅=b a ；③α平面⊂a ，β平面⊂b ，且∅=β a ；④α平面⊂a ，α平面⊄b ；⑤不存在平面α能使α⊂a ，b α⊂. 成立. 其中正确的序号是 ． 16．已知O 为坐标原点，点P 在区域1
21
y x y x ⎧≥-⎪⎨≤--⎪⎩内运动，则满足1OP ≤的点P 的概率
是 ．
三、解答题:本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本题满分12分）
如图，点A 、B 是单位圆上两点，A 、B 点分别是在第一、二 象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点， △AOB 是正三角形， 若点A 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛5453，，记α=∠COA . (1)求
α
α
cos21sin21++的值；
(2)求2
BC 的值。

18、（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝
3，BC ＝4，AB ＝5，点D 是AB 的中点，
（I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；
A C
y
B
O
x
第18题图
甲 乙 1 2 3 4
19、（本题满分12分）
合肥市在每年的春节后,市政府都会发动公务员参与到植树活动中去.林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从甲乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出的高度如下（单位：厘米）
甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33
乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46
（Ⅰ）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据 你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出 两个统计结论；
（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ,将 这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问 输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义。

20、（本题满分12分）若椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆
心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(2
2
=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B.（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程； （Ⅲ）求OB OA ⋅的最大值与最小值.
21、（本题满分13分）已知函数 f (x ) = a x 2 + bx －23 的图象关于直线x =－3
2 对称, 且过定点(1,0)；
对于正数列{a n },若其前n 项和S n 满足S n = f (a n ) （n ∈ N *）
（Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）求数列{a n } 的通项公式；
（Ⅲ）设b n = a n
2n （n ∈ N *），若数列{b n } 的前n 项和为T n ，试比较T n 与5的大小，并证明。

22、（本题满分13分）已知函数c bx ax x x f +++=2
3
)(在3
2
-=x 与1=x 时都取得极值。

（1）求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间；
（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围。

开始 0S = 2()i S S x x =+-
1i =
输入i x
1i i =+
否
10?i ≥
是
输出S 结束
10
S
S =
安徽省怀远三中冲刺卷文科数学答案
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分）
1、C
2、D
3、C
4、A
5、D
6、D
7、B
8、D
9、D 10、C 11、B 12、C 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、若函数2()f x x x c =+-没有两个零点，则0c ≤.（或“若函数2()f x x x c =+-至多有一个零点，则0c ≤.”） 14、0； 15、①⑤ ； 16、
1
8
4
π-。

三、解答题:本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（1）A 的坐标为（53，
5
4
），根据三角函数的定义可知，54sin =α，53cos =α，
1849
2cos cos 2sin 1cos21sin212
=+=++∴α
αααα （2）AOB ∆ 为正三角形，0
60AOB =∠∴
103
4323542153sin60sin cos60cos 60cos COB cos 000-=⨯-⨯=
-=+=∠∴ααα)( 5
3
4710343211cos 22
2
2
+=-⨯
-+=∠⋅⋅-+=∴COB OB OC OB OC BC 18、解法一
（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面A BC 底面三边长AC =3，BC =4,AB =5，∴ AC ⊥BC ， 且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ， ∴ AC ⊥BC 1；
（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ， ∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴ DE//AC 1，
∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1， ∴ AC 1//平面C D B 1；
解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，
以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系，
则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），
甲
乙
1 2 3 4 0 6 0 4 4 7
6 0 6
7
9 0 7 1 3 3 2 5 1 9 B 1（0,4，4），D （
2
3
，2,0） （1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0）， ∴AC •1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1
（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E （0,2，2） ∵DE ＝（－2
3
，0,2），1AC ＝（－3,0，4）， ∴12
1
AC DE =
，∴DE ∥AC 1. DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1， ∴ AC 1//平面C D B 1；
19．（本题满分12分）
解:（Ⅰ）茎叶图如右. ………………………………………3分
统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;
③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5;
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，
乙种树苗的高度分布较为分散. ………………………………………………7分 (给分说明:写出的结论中,1个正确得2分.)
（Ⅱ）27,35.x S ==…………………………………………………………………11分
S 表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.
S 值越小，表示长得越整齐，S 值越大，表示长得越参差不齐. ………………14分
20、解：（Ⅰ）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+===+10153314922
22222b a c b a a c b a 所以椭圆的方程为
1101522=+y x （Ⅱ）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大因为直线PA 的斜率一定存在， 设直线PA 的方程为：y-6=k(x-8)
又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10
即
101|68|2
=+-k k 可得9
13
31==k k 或
所以直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 (Ⅲ)设α=∠AOP 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则120
1)(
21cos
2cos 2
22
-=-=-=∠OP OP OA AOB α 8210||,12210||min max =-==+=OP OP 10200
cos ||||2
-=
∠⋅=⋅∴OP
AOB OB OA OB OA 21、(Ⅰ)∵函数 f (x ) 的图象关于关于直线x =－3
2 对称,
∴a ≠0,－b 2a =－3
2 , ∴ b =3a ① ∵其图象过点(1,0)，则a +b －2
3 =0 ② 由①②得a = 16 , b = 1
2 . 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得2112()623f x x x =
+- ，∴()n n S f a ==2112623n n a a +- 当n ≥2时，1n S -=211112
623n n a a --+- .
两式相减得 2211111
()622
n n n n n a a a a a --=-+-
∴221111
()()062
n n n n a a a a ----+= ，∴11()(3)0n n n n a a a a --+--= 0,n a >∴13n n a a --=，∴{}n a 是公差为3的等差数列，且
22111111112
340623
a s a a a a ==+-∴--=
∴a 1 = 4 (a 1 =－1舍去）∴a n =3n+1 9分
（Ⅲ）2n n n a b ==312n n +，24731
222
n n
n T +=+++ ① 122314731
222
n n n T ++=+++ ② ①--② 得231111131
23()22222n n n n T ++=++++-
1111(1)
3142231212
n n n -+-+=+⨯-- 133137437222n n n n n n T -++∴=+--=-
1372(37)
5222n n n n
n n T ++-+-=-=，
(1) 当n =1、2时，T n －5<0, ∴T n <5；
(2) 当n =3时，T n －5=0, ∴ T n =5；
(3) 当n ≥ 4时，记 h (x ) = 2x +1－(3x +7), h ' (x )= 2x +1ln 2－3, 当x >3时，有：h '(x )>23+1ln 2－3=23×2×ln 2－3=8ln 22－3=8ln 4－3>8－3>0， 则h (x )在(3, +∞)上单调递增，∴ 当n ≥4时，2n +1－(3n +7)>0 ∴T n －5>0, ∴ T n >5 综上：当n ≤2, T n <5；当n =3, T n =5；当n ≥4, T n >5.
22、解：（1）b ax x x f c bx ax x x f ++='∴+++=23)(,
)(22
3
由条件得,0)1(0
)3
2
(⎪⎩
⎪⎨⎧='=-'f f 解得：2,21-=-=b a
函数)(x f 的单调递增区间为).1,3
2
(),1()3
2,(-+∞--∞单调递减区间为与， （2）],2,1[-∈x
c x f x +=-=∴27
22
)(,32时当为极大值，而c f +=2)2(
c f +=∴2)2(为最大值。

∴要使]2,1[)(2
-∈<x c x f 在上恒成立，只需2
2c c <+，
解得：.21>-<c c 或。