高考数学试卷新课标全国卷Ⅱ理科详解

高考数学试卷新课标全国卷Ⅱ理科详解
Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学试卷(新课改II)(理科)
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一.选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M = {x | (x 1)2< 4, x∈R}，N =｛1, 0, 1, 2, 3｝，则M ∩N =
（A）{0, 1, 2｝（B）{1, 0, 1, 2} （C）{1, 0, 2, 3}
（D）{0, 1, 2, 3}
答案：A
【解】将N中的元素代入不等式：(x 1)2< 4进行检验即可.
（2）设复数z满足(1i )z = 2 i，则z =
（A）1+i（B）1i（C）1+ i
（D）1i
答案：A
【解法一】将原式化为z =
2i
1- i
,再分母实数化即可.
【解法二】将各选项一一检验即可.
（3）等比数列{a
n }的的前n项和为S n，已知S
3
=a
2
+10a
1
，a
5
= 9，则a
1
=
（A）1
3
（B）
1
3
（C）
1
9（D）
1
9
答案：C
【解】由S
3=a
2
+10a
1
a
3
= 9a
1
q2= 9 a
1
=
a
5
q4
=
1
9
（4）已知m, n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面. 直线l满足l⊥m，l⊥n，l/，l/
则：
（A）∥且l∥（B）⊥且l⊥
（C）与相交，且交线垂直于l（D）与相交，且交线平行于l 答案：D
【解】显然与相交，不然∥时 m∥n与m, n为异面矛盾.与相交时，易知交线平行于l.
（5）已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a =
（A）4 （B）3
（C）2 （D）1
答案：D
【解】x 2的系数为5 C 25
+
a C 1
5 = 5
a = 1
（6）执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =
（A ）1+ 12 + 13 + … + 1
10
（B ）1+
12! + 13! + … + 110!
（C ）1+ 12 + 13 + … + 1
11
（D ）1+
12! + 13! + … + 111!
答案：B
【解】变量T , S , k 的赋值关系分别是：
T n
+1 = T n
k n
, S n
+1 = S n
+ T n
+1, k n
+1 = k n + 1.( k 0 =1, T 0 = 1, S 0 = 0)
k n
= n + 1, T n
= T n T n -1×T n -1T n -2× …×T 1T 0×T 0
= 1k n -1×1k n -2×…×1k 0 = 1
n !
,
S n
= (S n S n 1) + (S n 1 S n 2) + … + (S 1 S 0) + S 0 = T n
+ T n 1 + … + T 0
= 1+ 12! + 1
3!
+ …
+ 1
n !
满足k n
> N 的最小值为k 10
= 11，此时输出的S 为S 10
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为
答案：A
【解】
(A ) (B ) (C ) (D )
（8）设a = log
36，b = log
510，c = log
714，则
（A ）c > b > a （B ）b > c > a （C ）a > c > b
（D ）a > b > c
答案：D
【解】a = 1 + log
32，b = 1 + log
52，c = 1 + log
72
log
23 < log
25 < log
27 log
32 > log
52 > log
72 a > b > c
（9）已知a > 0，x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x
≥1
x + y
≤3y ≥
a (x - 3)
, 若z =2x + y 的最小值为1，则
a =
（A ）14
（B ）12
（C ）1 （D ） 答案：B
【解】如图所示，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, 1) 即为最优解，此时a = k BC = 1
2
（10）已知函数f (x ) = x 3 + ax 2 + bx
+ c ，下列结论中错误的是 （A ）x 0∈R , f (x 0)= 0 （B ）函数y = f (x )的图像是中心对称图形
（C ）若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x 0)单调递减
（D ）若x 0是f (x )的极值点，则f '(x 0 ) = 0
答案：C
【解】f (x ) 的值域为(∞, +∞), 所以（A ）正确；
f (x ) = [x 3 + 3x 2 a 3
+ 3x ( a 3
)2 + ( a 3
)3 ]+ bx
3x ( a 3
)2 + c ( a 3
)3
= (x+a
3
)3 + (b
a2
3
)(x +
a
3
) + c
ab
3
2a3
27
因为g(x) = x3 + (b a2
3
)x是奇函数，图像关于原点对称，
所以f(x) 的图像关于点(a
3
, c
ab
3
2a3
27
)对称.
所以（B）正确；
显然（C）不正确；（D）正确.
（11）设抛物线C：y2 =2px ( p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF |=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为
（A）y2 = 4x或y2 = 8x（B）y2 = 2x或y2 = 8x
（C）y2 = 4x或y2 = 16x（D）y2 = 2x或y2 = 16x
答案：C
【解】设M(x
0, y
)，由|MF|=5 x
+
p
2
= 5 x
= 5
p
2
圆心N(x
2
+
p
4
,
y
2
)到y轴的距离|NK| =
x
2
+
p
4
=
1
2
|MF|，则
圆N与y轴相切，切点即为K(0, 2)，且NK与y轴垂直y
= 4
2p(5 p
2
) = 16 p = 2或8 .
（12）已知点A(1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y = ax +b (a > 0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是：
（A）(0, 1) （B）(1
2
2
,
1
2
) （C）(1
2
2
,
1
3
]
(D) [1
3
,
1
2
)
答案：B
【解】情形1：直线y = ax +b与AC、BC相交时，如图所示，设MC = m, NC = n,
由条件知S△MNC = 1
2
mn = 1
显然0 < n≤ 2 m = 1
n≥
2
2
又知0 < m≤ 2 , m≠
n
所以
2
2≤
m ≤ 2 且m≠1
D到AC、BC的距离为t, 则t
m
+
t
n
=
DN
MN
+
DM
MN
= 1
t = mn
m+n
1
t
= m +
1
m
f(m) = m + 1
m
(
2
2≤
m ≤ 2 且m≠1)的值域为(2,
32
2
] 2 <
1
t≤
32
2
2
3≤
t
< 1 2
因为b =1 CD =1 2t ，所以1
2
2
< b≤
1
3
情形2：直线y = ax +b与AB、BC相交时，如图所示，
易求得x
M =
b
a
, y
N
=
a+b
a+1
,由条件知(1+
b
a
)
a+b
a+1
= 1
b2
1-2b
= a
M在线段OA上0< b
a
<1 0 < a < b
N在线段BC上0< a+b
a+1
<1 b < 1
解不等式：0 <
b2
1-2b
< b得
1
3
< b <
1
2
综上：1
2
2
< b <
1
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE
→
BD
= .答案：2
【解】建立如图所示的坐标系，则→
AE = (1, 2)，
→
BD = (2, 2)，则
→AE →
BD = 2
（14）从n个正整数1, 2, …, n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5
的概率为
1
14
，则n = .
答案：7
【解】事件A：取出的两数之和等于5，
①n = 3时, n(A) =1由P(A) =
1
14
n() = 14 C2n= 14 n(n 1) =28(无解)
②n > 3时, n(A) = 2由P(A) =
1
14
n() = 28 C2n= 28 n(n 1) = 56 n = 8
（15）设为第二象限角，若tan( + p
4
) =
1
2
，则sin + cos= .
答案：10 5
【解法一】由为第二象限角及tan( + p
4
) =
1
2
> 0 +
p
4
为第三象限角，在 +
p
4
的终
边上取一点P(2, 1)，易得sin( + p
4
) =
5
5
sin + cos= 2sin( +
p
4
) =
10
5
（16）等差数列{a
n }的前n项和为S n，已知S
10
= 0，S
15
= 25，则nS n的最小值
为 .答案：49
【解法一】由S
10 = 0，S
15
= 25 a
1
= 3，公差d =
2
3
，
S n = 13
n (n 10)
将S n 是关于n 的函数，其图像关于n = 5对称，n < 10时，S n < 0，n > 10时，S n > 0，
所以nS n 的最小值应在n = 5, 6, 7, 8, 9中产生，代入计算得n = 7时nS n 最小，最小值为49.
【解法二】同解法一得：S n = 1
3
n (n 10)
设f (n ) = nS n = 1
3
(n 310n )
f '(n ) = n (n
203
)，靠近极小值点n = 20
3
的整数为6和7，代入f (n )计算得n = 7时f (n )最小，最小值为49.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a = b cos C + c sin B . （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值.
【解】（Ⅰ）由a = b cos C + c sin B sin A = sin B cos C + sin C sin B sin (B +C ) = sin B cos C + sin C sin B
⎭⎪⎬⎪
⎫ cos B sin C = sin C sin B sin C ≠0 cos B = sin B
⎭⎪
⎬⎪
⎫ tan B = 1 0 < B < p B = p 4
（Ⅱ）由余弦定理得：a 2 +c 2 2
ac = 4 4+2
ac = a 2 +c 2 ≥ 2ac ac ≤ = 4
2-2
=
2(2 + 2 ) △ABC 面积S =
2
4
ac ≤
1 +
2 . 所以△ABC 面积的最大值为1 + 2 .
所以ET = 45000× + 53000× + 61000× + 65000× = 59400 所以T 的数学期望为59400
(20)(本小题满分12分)
平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ： x
2
—a
2 + y
2—b
2
=1(a > b > 0)的右焦点的直线x + y
（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值.
【解】（Ⅰ）设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，P (x 0, y 0)
⎩⎨⎧b 2x 21
+ a 2y
2
1 = a 2b 2b 2x 2
2 + a 2y
22 = a 2b 2
y 1 - y 2x 1 - x 2
= b 2(x 1 + x 2)a 2(y 1 + y 2) k AB = b 2x 0a 2y 0 OP 的斜率为 12 x 0
y 0
= 2，直线x + y
3 = 0的斜率为1 k AB =1
1= 2b 2
a
2 a 2 = 2b 2 ……①
由题意知直线x + y
3 = 0与x 轴的交点F (3
，0)是椭圆的右焦点，则才c = 3
a 2
b 2 = 3 ……②
联立解得①、②解得a 2 = 6，b 2 = 3
所以M 的方程为：x
2—6 +
y
2
—3
= 1
（Ⅱ）联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x + y
3 = 0x
2—6
+ y
2
—3 = 1，解得A (433 , 3
3 )、B (0, 3
)，求得| AB | = 46
3
依题意可设直线CD 的方程为：y = x + m
CD 与线段AB 相交
53
3
< m < 3 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = x + m x
2—6
+ y
2—3 = 1 消去x 得：3x
2 + 4m x
+2m 2 6 = 0 …… (*) 设C (x 3, y 3)，D (x 4, y 4)，则| CD |2 = 2(x 3 x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 4x 3x 4]= 16
9
(9
m 2)
四边形ACBD 的面积S = 12 | AB | | CD | = 86
9 9-m 2
当n = 0时，S 最大，最大值为
86
3
. 所以四边形ACBD 的面积最大值为86
3 .
（21）（本小题满分12分） 已知函数f (x ) = e
x
ln(x + m )
（Ι）设x = 0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f (x ) > 0 .
【解】（Ⅰ）f '(x ) = e
x
1
x + m
x = 0是f (x )的极值点 f '(0) = 0 m = 1. 此时，f '(x ) = e
x
1
x + 1 在(
1, +∞)上是增函数，又知f '(0) = 0，
所以x
∈(1, 0)时, f '(x ) < 0；x
∈(0, +∞)时, f '(x ) > 0.
所以f (x )在(1, 0)上是减函数，在(0, +∞) 上是增函数. （Ⅱ）如图所示，当m ≤2时，x + 1≥x + m 1 只需证明e
x
≥x + 1，且ln(x + m )
≤x + m 1
再指出“=”不能成立即可.
设g (x ) = e
x
(x +1)，g '(x ) = e
x
1
x 1 = 0是g (x )的极小值点，也是最小值点，即 g (x )
≥
g (0) = 0 e
x
≥x + 1
设h (x ) = ln(x + m )(x + m 1)
h '(x ) =
1
x + m
1 x
2 = 1m 是h (x )的极大值点，也是最大值点，即 g (x )
≤
h (1m ) = 0 ln(x + m )
≤x + m 1
e
x
≥ln(x + m ) f (x )
≥
0，“=”成立的条件是：x 1 = x 2 且x + 1 = x + m 1
即m =1且m =2（矛盾） 所以f (x ) > 0
（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD
于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点， 且BCAE = DCAF ，B 、E 、F 、C 四点共圆.
（Ι）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB =BE = EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆
的面积与△ABC 外接圆面积的比值。

【解】（Ⅰ）CD 为△ABC 外接圆的切线 ∠BCD = ∠A ，
BCAE = DCAF BC FA = DC
EA
，则△BCD ∽ △AEF ∠CBD =∠AFE
B 、E 、F 、
C 四点共圆 ∠CB
D =∠CF
E ∠AFE =∠CFE = 90o ∠CBD = 90o ∠CBA = 90o CA 是△ABC 外接圆的直径.
（Ⅱ）连结CE ，由∠CBA = 90o 知CE 为过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径，设BD = a ，在直角三角形ACD 中，BC 2 = BDBA = 2a 2 BD =BE CE 2 =DC 2 = BD 2 +BC 2 = 3a 2 AC 2 =ADAB = 6a 2
所以两圆的面积之比为 CE 2AC 2 = 1
2
.
（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程
已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x = 2cos
t
y = 2sin t (t 是参数)上，对应参数分别为t =与
t =2 (0 < <2 ), M 为PQ 的中点.
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程;
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【解】（Ⅰ）P (2cos, 2sin)，Q (2cos2, 2sin2) M (cos + cos2, 2sin+ sin2 )
所以M 的轨迹的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x = cos + cos2
y = 2sin + sin2 ( 是参数，0 < < 2 )
（Ⅱ）d = x 2 + y 2 = 2+2cos a ( 0 < < 2 )
当 = 时，d = 0，所以M 的轨迹过坐标原点.
（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a + b + c =1，证明： （Ⅰ）ab + bc + ac ≤
1
3
；
（Ⅱ）a 2b + b 2c + c 2
a
≥1
【解】（Ⅰ）由a 2 + b 2 ≥2ab ，b 2 + c 2 ≥2bc ，a 2 + c 2 ≥2ac 得
a 2 +
b 2 +
c 2≥ab + bc + ac
(a + b + c )2 = (a 2 + b 2 + c 2
) + 2(ab + bc + ac ) ≥3(ab + bc + ac ) 1≥3(ab + bc + ac )
ab + bc + ac ≤
1
3
.
（Ⅱ）证法一：因为 a 2b + b ≥2a ，b 2c + c ≥2b ，c 2
a + a ≥2c
所以 (
a 2
b + b 2
c + c 2
a
)+(a + b + c ) ≥
2(a + b + c )
a 2
b + b 2
c + c 2
a
+ 1 ≥
2
a2 b +
b2
c
+
c2
a≥
1
证法二：由柯西不等式得：( a2
b
+
b2
c
+
c2
a
)( b + c + a)≥(a + b + c)2
a2 b +
b2
c
+
c2
a≥
1。