王世一《数字信号处理》第三章习题(xin)

第三章
1. 解：由DFS 的定义可知
{}{}
2,0,2,4)k ()(X ~
1,...,1,0)(~)(X ~
4
N 1,0,1,2)()(~10
/nk 2=∴-====∑-=-N N n N
j N R k N k e n x k n R n x π，
2. 解：题意可知，已知)(~n x 求)(X ~
k 的值
1
,...,1,0k )(~)k (X ~
k r )(X ~)(X ~N 1)(~)(X ~N 1)(~n 1,...,1,0r 1
,...,1,0)(X ~N 1)(~10
n /nk 210n /r -k n 210k 1
0n /nr 210k /nk 210n /nr 21
0n /nr 2/nr 2-10
k /nk 2-======-=-==∑∑∑∑∑∑∑∑-=--=-=-=--=-=--=--=N e n x r e k e n x e k e e n x N e N n e k n x N N
j N N j N N N j N N j N N j N N j N j N N
j π）（πππππππ代入，得到
换元，令到
将右式交换求和次序得求和，得到，并在一个周期内对，将等式两边同乘
3．解
{}{}
{}
5,4,3,2,16)(R )(~0,0,0,0,1,0)(R )(~6,5,4,3,2,1)(R )(~6N 1,...,1,0)(~)(~1
,...,1,0)(~)(~)(~*)(~)(~)(~)(~)(~N 3
213
321
01213321，由定义可求得，，且由图可知。

，即一个周期的值，，且只需要计算是在一个周期内进行的注意：周期卷积的运算，则，其周期卷积和的序列若已知两个周期皆为====-=-=-==∑-=n n x n n x n n x N n n x n x N n m n x m x n x n x n x n x n x n x N
N N N m 4．1,...,1,0)(X ~N 1)(~10
k /nk 2-==∑-=N n e k n x N N j π ,
题目给定序列)(~
n x 皆为实序列，根据P93页表3-1可知， （a ）为了使得)k (X ~
为实数，要求 )(~
n x 实偶或者虚奇皆可，此处应该是实偶，故现在时间起点时保证序列为偶对称皆可，（a ）（b ）皆可，
[但是（a ）图要取在两个采样点的中点。

]
（b ）为了使得)k (X ~
为虚奇，要求 )(~n x 为实奇皆可。

[仅有（c ）图有
可能，时间起点要取在相邻两个正负序列点的中点。

]
(c) 为了使傅里叶级数的系数)k (X ~
中只含有基波和奇次谐波项目，则要求)(~n x 为半波对称函数或称为奇谐函数（P95郑君里《信号与系统》上册）。

仅仅图c 可以。

5．答：
)
2/(X ~)1-1()(~)1-1()(~)1()(~)(~)(~)(X ~11
n 2/1
n 2210
n )
(210
n 2120
n /nk 22k W n x W n x W W N n x W n x e n x k k N kn N
k N kn N kN
N
N N n k N N kn N N N j ）（）（π+=+=+=++==∑∑∑∑∑-=-=-=+-=-=-
6
（a ）证明DFS 的对称性：
1）()()()*
1
1***
00()N N kn
kn N N
n n DFS x n x n W x n W X k ---==⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∑∑
2）()()()()*
1
1
***
()N N k n kn N N n n DFS x n x n W x n W X k ---==⎡
⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∑∑ 3）()()()()1
**
011()()2
2
N kn N n DFS Re x n x n x n W X k X N k -=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑ 4）()()()()1
**
011Im ()()22
N kn N n DFS j x n x n x n W X k X N k -=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑ B ）根据（a ）部分证明的性质，证明若)(~
n x 为实周期序列，则下列对称特性成立。

)]
(X ~
arg[)](X ~arg[)(X ~
)(X ~],)(X ~arg[)](X arg[)4()
(X ~)(X ~)(X ~)(X ~,)(X ~)(X ~)3()]
(X ~
[I )](X ~[I )(X ~
)(X ~],)(X ~[I )](X ~[I )2()]
(X ~
[Re )](X ~[Re )(X ~
)(X ~],)(X ~[Re )](X ~[Re )1()(X ~))(~()(~)(X ~)(~*
**
**
**
**
1
n **10n k k k k k k k k k k k k k m k m k k k m k m k k k k k k k W n x W n x k n x N kn N N kn N --=∴=--=-=∴=-=--=∴=--=-=∴=-====-∴∑∑-=-=- 为实序列，证明：
7．解
{}{}{}{}{}{}{}{}∑∑∑∑∑∑-=-=-=-==-===-≤≤-≤≤===-≤≤-≤≤==∴=--==∴=--=+++===1
0n 10n 1
0n 1
0n 34244043
n 41
0n )n 2sin()()(X 10,10),n
2sin(
)()()()(X 10,10,)()()(X 3,2,1,0,,1,,1)()()(X 3,2,1,0,1,1,1,1)()()3()2()1()0()()()(X N kn N
N kn
N N kn
N N kn N
k
k k k kn N kn N
W N W n x k N k N n N n x d cnW W
n x k N k N n cn n x c k k j j n x b k k n x a W x W x W x W x W n x W
n x k π。

π。

8计算下列各有限长序列的DFT （假设长度为N ）
N
k j k j N N n N k j N kn N
n N kn
N
n kn N N kn N N kn N
N kn
N N kn N
N kn
N
ae e a k N k ae W
a W
n x k N n a n x c N k W W n n W
n x k N n n n n x b N k W n W
n x k n n x a W n x k /221
n /21
n 10
n 1
0n 010n 001
0n 1
0n 1
n 11)(X ~
10,)()()(X ,10,)()(10,)()()(X 10),()()(10,1)()()(X ),()()()()(X 00
0πππ。

---=--=-=-=-=-=-=-=--=
-≤≤===-≤≤=-≤≤=-==∴-≤≤-=-≤≤===∴==∑∑∑∑∑∑∑∑ δδδδ
9．若图P3-4中表示的序列
{}{}{}{}{}
2,5.1,1,5.2(n)R )-()(,2][1.5,1,2.5(n)R )2-n ()(1,5.1,2,5.2)(442441=====）（）（，则n x n x x n x n x 10．若图P3-5中表示的两列序列为
{}{}{}{}
{}{}
4,3,2,1,6,5)(5,...,1,0(n)R )()()()()(00,0,1,0,0,)(,61,2,3,4,5,)(36621
0121311=∴=-=⊗===∑-=n x n m n x m x n x n x n x n x n x N m ）（
11.证明
)]([)()]()5.0[(][)()5.0(]
[5.0)(]
5.0)[()
(X )(X )]([)()(X 1109
n 110
9
n 109
0n 102[(109
0n 102[(10
9
0n ]10102
[(5.09
0n 10]10
102[(10
/2n x DFT W n x W n x e
e
n x e
e
e
n x e
n x z z n x DFT W n x k kn
kn
n
j n
k
j n
j
n
k
j n j
n
n
k j e z e z kn
k
j k j =========∑∑∑∑∑∑==--=--=---=+===+π
）ππ
）πππ
）ππ
）ππ
12 证明
Hz
N f f N n x k X n x e X k X W n x n x DFT k X e n x e X t x t x n x N kHz f s k j nk N n
j j f n t nT t s s 1024
10000
rad 102422)()(DFT )(1024N )
()()()]([)()()()()()(,1024,101024/1024
21023
0n 1024
1023
n /==∆==∆==========
==-==∑∑，频率间隔ππ隔频域取样的数字频率间，
傅立叶变换的频域取样是序列值，其点的有限长序列可见对π
ωωωωω
13
）图是符合要求的。

的图像，其中只有（图及）（根据上式，对照给定的，，则
隐含的周期性，周期为，考虑到，注意，则令，
，题中给出了其图像
为偶数c k X f e d c b a k k X k k X k Y k k k k X n x DFT W m x W
m x k Y n k W
n x W
n y n x DFT k Y W n x n x DFT k X m mk m mk n nk nk
nk )()(),(),(),(),(,15
8)8-(70)()(8)(X 70)(X )
()]([)()()(2/m 150)2/()()]([)()()]([)(87
.
087
.
0216
14
..16
15
0n 16
167
0n 78⎩⎨
⎧≤≤≤≤=∴≤≤=====≤≤=
====∑∑∑∑∑====14.
可求得。

，相同，则点圆周卷积与线性卷积若可求得
点圆周卷积可求得
点圆周卷积可求得给定序列),()())(()()()()(7N 7N N (d)25,0,0,0};
2.5,2,1,0.{0.25,1,2,})({),())(()()()()((c)1025,2.5};
{1.25,2,2.})({),())(()()()()((b)425};2.5,2,1,0.{0.25,1,2,
})({),()()(*)()((a)}/2,1,1,1/21{})({N 1
-N 0N min 110109
011443
1n x n R m n x m x n x n x n x n x n R m n x m x n x n x n x n x n R m n x m x n x n x n x n x m n x m x n x n x n x n x N m m m m =-=⊗==≥=-=⊗==-=⊗==-=
==∑∑∑∑===∞
-∞
=
15解。

点与线性卷积同中有，则）若（。

点相同，其中，则共有，套用上述结论）。

（）（的取值为）与线性卷积同，其中有（，）若（可以证明
为线性卷积的点数，则设根据循环卷积定理：
分别为点的其点的序列和点序列给定序列1-L 0)(L N 21971320N 271-208L 1-L N -L n L -N 2)(L N 11-N M L L 19
0)()()]()(X [)()],([)(Y )],([)(X DFT 20N ),
(20Q )(8P ≤≤>≤≤==+=≤≤≤+=≤≤⊗=⋅======n L n r n n n r n n y n x k Y k IDFT n r n y DFT k n x DFT k n y n x。