【免费下载】 西北农林科技大学《概率论与数理统计》习题册答案

第一章
随机事件与概率
§1.1 随机试验 随机事件一、选择题 1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC .于
是对立事件 ，故选D.
{}A B C == 甲产品滞销或乙产品畅销 2. 由，故选D.也可由文氏图表示得出.
A B B A B B A AB =⇔⊂⇔⊂⇔=Φ 二 写出下列随机试验的样本空间
1. 2
3.
{}3,420 ，，
[]0,100分别表示折后三段长度。

z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验
的样本点 ；则， ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， {
}246,,A ωωω={}36,B ωω= （2），，，，
{}135,,A ωωω={}1245,,,B ωωωω={}2346,,,A B ωωωω= {}6AB ω={}
15,A B ωω= 四、（1）；（2）；（3）“不都发生”就是“都发生”的对
ABC ABC A B C 、、A B C 、、立事件，所以应记为；（4）；（5）“中最多有一事件发生”就
ABC A B C A B C 、、是“中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：.又这个
A B C 、、AB AC BC 事件也就是“中至少有二事件不发生”，即为三事件的并，所以也
A B C 、、AB AC BC 、、可以记为.
AB AC BC §1.2 随机事件的概率
一、填空题
1.
试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设
，所以中包含的样本点数为，即把指定的3本书捆在一
{}A =指定的3本书放在一起A 8!3!⋅起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。

故。

8!3!1
()10!15
P A ⋅=
=
2. 样本空间样本点，设事件表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE ，
7!5040n ==A
则因为C 及C,
E 及E 是两两相同的，所以包含的样本点数是，故
A 2!2!4A =⨯=2!2!1
()7!1260
P A ⋅=
=二、求解下列概率
1. (1) ; (2) 25280.36C C ≈1515
3737
66
88
5!0.3756!C C C A C A ==2. 4
12
410.4271
12
A -
≈3. 由图1.1所示，样本点为随机点M 落在半圆内，所以
0)y a <<为正常数样本空间测度可以用半圆的面积表示。

设事件表示远点O 与随机点M 的连线OM 与
S A 轴的夹角小于
，则的测度即为阴影部分面积，
x 4
π
A s 所以
22
21142()22
a a s P A S a π
ππ+==
=+§1.3概率的性质
一． 填空题
1．0.3; 2. ; 3.
; 4. 1p -167
12
二． 选择题
1. C;
2. A;
3. D;
4. B;
5. B.
三． 解答题解：因为所以由概率的性质可知：又因
,AB A A B ⊆⊆ ()()().P AB P A P A B ≤≤ 为所以可得 于是我们就有
()0,P AB ≥()()(),P A B P A P B ≤+ .
()P AB ≤()()P A P A B ≤ ()()P A P B ≤+如果则 ；
,A B ⊆,AB A =()()P AB P A =a
a
2a
1.1
图
如果则这时有,B A ⊆,A B A = ()().
P A P A B = 如果则这时有,AB φ=(0,P AB =）()()().
P A B P A P B =+ §1.4 条件概率与事件的独立性
一． 填空题
1.
；2. 0.3、0.5；3. ；4. ； 5. 2； 23231
4
5.
因为，所以，则有
AB AB =()(),()()AB AB AABB AB AB AB AB φ====，因为所以与是对立事件，即
,AB A B A B φ=+=+=Ω,AB A B φ=+=Ω且A B 。

所以，于是A B A B ==，()()1,P A B P A B ==()()2
P A B P A B +=二． 选择题
1. D ；
2. B ；
3. A ；
4. D ；
5. B
1． 已知又所以于是
()()1,P A B P A B +=()()1,P A B P A B +=()(),P A B P A B =得
，注意到代入上式并整理()()
()()
P AB P AB P B P B =
()()(),()1(),P AB P A P AB P B P B =-=-后可得。

由此可知，答案D 。

()()()P AB P A P B =三． 解答题
1.
； 2. 33105，2n
§1.5 全概率公式和逆概率（Bayes ）公式
解答题
1. 0.973
2. （1）0.85；（2） 0.941
3.（1）；（2）0.9430.848
§1.6 贝努利概型与二项概率公式
一． 填空题
1. ；
2.
1
1(1),(1)(1)n n n p p np p ----+-2
3
二． 解答题
1. 0.595
2.
2. ，，0.94n
2
22(0.94)(0.06)n n n
C --11(0.94)(0.06)(0.94)n n
n ---3.（1）0.0839，（2）0.1240，（3）0.9597
章节测验
一． 填空题
1.
； 2. 对立；3. 0.7； 4. 82584
217
，二． 选择题
1.B
2.C
3.C
4.A
5.D
三、解答题
1.（1）0.69； （2）
223
2. .0038
四、证明题（略）。

2.1 随机变量 分布函数
一、填空题
1.；；
；2. /π；3.)(1a F -)1()1(--F F )()()(b F a F b F -1,12
a b ==1
21--e
二、选择题
1、D ；
2、A ；
三、计算题
1.解：由题意知随机变量的分布列（律）为
X X
345P
101
10
310
6
所以得随机变量的分布函数为
X ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤<=5,154,10443,10
1
3,
0)(x x x x x F
2.解：（1）由条件知，当时，；
1-<x 0)(=x F 由于，则；81}1{=
-=X P 8
1
}1{)1(=-≤=-X P F 从而有
；8
581411}1{}1{1}11{=--
=-=-=-=<<-X P X P X P 由已知条件当时，有
；
11<<-x )1(}111{+=<<-≤<-x k X x X P 而，则1}1111{=<<-≤<-X X P 2
1=
k 于是，对于有
11<<-X }
111{}11{}11,1{}1{<<-≤<-⋅<<-=<<-≤<-=≤<-X x X P X P X x X P x X P
16
)1(52185+=+⨯=
x x 所以
16
7516)1(581}1{}1{)(+=++=
≤<-+-≤=x x x X P X P x F 当时，，从而
1≥x 1)(=x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,
11
1,16
751,
0)(x x x x x F （2）略。

2.2 离散型与连续性随机变量的概率分布
一、填空题
1．
；2.38
27
2二、选择题
1.C ；
2.A ；
3.B
三、计算题
1.（1）；（2）；（3）
2,1==B A ⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
≥<≤--<≤<=2,12
1,1221
0,20,0)(2
2
x x x x x x x x F 432.略。

2.3 常用的几个随机变量的概率分布
一、填空题
1.
；2.；3.6492
3
2-e 2.0二、计算题
1、
；2、；3、；4、（1）；（2）4
3
352.05167.09270.01)5.1()5.2(=-Φ+Φ29
.3=d 2.4 随机向量及其分布函数 边际分布
一、填空题
1、；；
(,)(,)(,)(,)F b b F a b F b a F a a --+(,)(,)F b b F a b -2、；01二、计算题
1、（1）；（2）
；2
,2,1
2
π
π
π=
=
=C B A 16
1
（3），R x x x F X ∈+=2arctan 2(1)(ππR y y
y F Y ∈+=3
arctan 2(1)(ππ2、（1），,；
⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(2x x e x F x X ⎩
⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y （2）。

42
---e e
3、，
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 2
1
0,0)(ππx x x x x x F X ⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>≤
≤-+<=2,120),cos 1(sin 2
1
0,0)(ππy y y y y y F Y 2.5 二维离散型与连续性随机向量的概率分布
一、填空题
1、；
2、，；
3、；
4、
87∑+∞
=1
j ij p ∑+∞=1i ij p 4141二、计算题
1、；；1=c ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x X ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>+=0,00,)
1(1
)(2
y y y y f Y 2、（1）；
6,(,)(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩
其它（2）；26(),01()0,X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩
其它),01
()0,Y y y f y ⎧-<<⎪=⎨
⎪⎩
其它3、
2.6 条件分布 随机变量的独立性
一、选择题
1、B ；
2、A ；
3、D ；
4、C ；
5、D
二、计算题
1、
2、||2,012,01
(|),(|)0,0,
X Y Y X x x y y f x y f y x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨
⎨
⎩⎩其它其它3、（1）；（2）；（3）不独立。

8=c 4
1
}2{=<
X Y P 4、
)1(11121Φ-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--e π2.7 随机变量函数的概率分布
一、填空题
1、X
Y 1
-1
1
-412110
4
10
|=Y X 0
1
2
P
25
.025
.05
.0Y
3-1-137P
20
320
420
520420
4Z 941
0P 20
320
820520
4
2、1,01
()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨
⎩其它
二、选择题
1、B ；
2、D ；三、计算题
1、；
2、⎩⎨⎧<<=else y y f ,010,1)(⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<<-<=--1
,)1(1
0,10,
0)(z e e z e z z f z z
Z 3、；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,21
,0)(z z z z f Z ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
≥-<<≤=1,2111
0,2
0,0)(z z
z z
z z F Z 第二章测验一、填空题
1、；
2、；
3、；
4、4
1
3402.0二、选择题
1、C ；
2、A ；
3、B
三、计算题
1、，则随机变量的概率函数为
~(3,0.4)X B 其分布函数为：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3
,132,125117
2
1,1258110,125270,0)(x x x x x x F 2、（1）；
24=A （2），；
⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1(12)(2x x x x f X ⎩
⎨⎧≤≤-=其它,01
0),1(12)(2y y y x f X X 0
123P
12527125
54125
36125
8
（3）不独立；
（4）。

⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⎪⎩
⎪⎨⎧<<<<--=其它其它,010,10,2)|(,,010,10,)1()1(2)|(2|2
|y x x y x y f y x y x y x f X Y Y X 3、（1）；（2）⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(z z ze z f z Z ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>+=0
,00,)
1(1
)(2
z z z z f Z 第三章 随机变量的数字特征
3.1数学期望
一 、填空题
1、
，， ； 2、， 3、 ，132********.224796
二、计算题
1. 解： 根据公式
1
1211()(1)(1)1k k k k k a a a E X k k a a a -+∞
+∞+==⎛⎫== ⎪+++⎝⎭
∑∑
得到
()
'
'
1
21
11(1)11k k k k x kx
x x x x +∞+∞-==⎛⎫⎛⎫
===< ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑
22
1
()(1)11a E X a a a a =
=+⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
2． 0 ；3．:
2a
4. 2/3，4/3 ，-2/3，8/5 ； 5．4/5，3/5，1/2，16/15
3.2方差
一、填空题
1. 0.49 ；
2. 1/6 ；
3. 8/9 ；
4. 8 ，0.2
二、计算题
1.： 0.6 ，0.46提示： 设
0,1,i i X i ⎧=⎨
⎩部件个不需要调整
部件个需要调整
则相互独立，并且，显然123,,X X X 123X X X X =++1(1,0.1),
X B :2(1,0.2),X B :3(1,0.3)
X B :2.：1/3，1/3 ； 3．： 16/3 ，28
三、 证明题
提示： [][]
2
2
()())D XY E XY E XY E XY EX EY =-=-: []
2)E XY YEX YEX EX EY =-+-:
[]2
()()E Y X EX EX Y EY DX DY
=-+-≥:3.3协方差与相关系数
一、 选择题
1. A ；
2.C ；
3.C
二、 计算题
1. ，，
，
()()0E X E Y ==()()0.75D X D Y ==0XY ρ=() 1.5D X Y += 与不独立X Y 2. 0 ，0
提示：111
()0
Y y f y π
⎧=
-≤≤⎪
=⎨⎪⎩
⎰
其它
11
()0E Y y -==⎰()0.25
D Y =
同理可得，()()0E X E Y ==()()0.25
D X D Y ==221
(,)()0
x y xy
Cov X Y E XY dxdy π
+≤==
=⎰⎰
3. ：22
2
2
a b a b -+3.4矩与协方差矩阵
1. 3
33211
32v v v v μ=-+2.（1）0.7，0.6，0.21，0.24 ；（2）-0.02 ；（3）-0.0089
（4）0.210.020.020.24-⎡⎤
⎢
⎥
-⎣⎦
第三章 测验
一、 填空题
1．18.4 ； 2. 1 ，0.5； 3． ab
二、 选择题
1．B ； 2.A ；3.D
三、 计算题
1.解：设表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设
X
0,1,i i X i ⎧=⎨
⎩第个零件未报废
第个零件报废
则由题设知
1111i X i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
++⎣⎦
:于是有 且101
i i X X ==
∑1
()(1,2,,10)1
i E X i i =
=+ 从而1010
101
1
1
1111
()(
)() 2.0212311
i i i i i E X E X E X i =======+++=+∑∑∑
2.： 10分25秒
提示：设乘客到达车站的时间为，由题意可知为[0,60]
X X 上的均匀分布，根据发车时间可以得到等候时间，且是关于的函数
Y Y X 10010301030()553055705560
X X X X Y g X X X X
X -<≤⎧⎪-<≤⎪
==⎨
-<≤⎪⎪-<≤⎩3. 0,0第四章习题
4.1 切比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性1．解：由切比雪夫不等式知，
221
(37)(|5|2)122
21
P X P X <<=-<≥-=2．解：设为在次试验中事件出现的次数，则，为频率．X n A ~(,)X B n p X n
21110.750.25
(
)()0.750.75,()()X X E E X n D D X n n n n n n
⨯==⨯⨯===由题意知{0.70.8}0.9,X
P n
<<≥而由切比雪夫不等式有2
0.750.25
{|0.75|0.05}10.05X n P n ⨯-<≥-所以有，得20.750.25
10.90.05
n ⨯-=750n =4.2 大数定理
1． 证：有题设知X n （n=2，3，…）的概率分布为：
2
X n
-
n
+{}
k x =n X P n
1n
2-1n
1故X n
的数学期望为
(
)
1
2101
n -)(n =⨯
+⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-⨯+⨯
=n
n n n X E X n 的方差为
()(2
2
2
2
2121
()[()]012n n
n D X E X E X n n n
⎛⎫
=-=⨯+⨯-+
⨯
= ⎪⎝⎭
故的数学期望∑==
N
n
n X N
X
1
1
()
()0
1
1
1
1==⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=∑∑==N
n
n N
n n X E N X N
E X E 方差
()()N
N
X D N X N
D X D N
n N
n n N
n n 2
21
11
1
2
1
2
1=
=
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=∑∑∑===在利用车比雪夫不等式得
()
{}()022
2−−−−→−≤≤≥-+∞
→N N X D X E X P ε
εε因此，X 1，X 2，…，X n ，…服从大数定理。

2．证：由于X 1，X 2，…，X n 相互独立，且，存在，
()i i E X μ=()i D X
令 n 1
1n
i
i X X n ==∑则 ()
()k k 11
1111n n
n n
k
i i i E
X E X E X n n n μ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑有限。

()
()k k
2
11
11
0n n
n n
i i D X D X D X n n
→∞
==⎛⎫==−−−→ ⎪⎝⎭∑∑故由车比雪夫不等式知，。

0>∀ε
()(
)
()()
1
2
22
111
n
k
n
n k n n D X
D X P X
E X n εεε→∞
=-≤≥-
=-−−−→∑即 11
11lim {||}1
n n
i i n i i P X n n με→+∞==-<=∑∑4.3 中心极限定理
1．解：设为抽取的100件中次品的件数，则，
X (100,0.2)X B :()1000.220,()200.816
E X D X =⨯==⨯=则
18202025201205
{1825}{}{}
444244
(1.25)(0.5)(1.25)(0.5)10.89440.691510.5859
X X P X P P ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2．解：（1） 设X 为一年中死亡的人数，则，其中n =10000，p =0.006
(,)X B n p :保险公司亏本则必须1000X>120000，即X>120
P{保险公司亏本}=={120}P X
>P >
=7.769}P >1(7.769)0
≈-Φ=（2）P{保险公司获利不少于40000元
}
{120000100040000}{80}
(2.59)0.995
P X P X P -≥=≤=≤=Φ=3．解：设X i ={每个加数的舍入误差}，则X i ~ U(-0.5, 0.5)，
，，i = 1, 2, …
()0i =X E ()121i =X D 故由独立同分布中心极限定理知X 1，X 2，…服从中心极限定理。

（1）
[][][]802
.10)9099.01(2)4.31(121)4.31(21)4.31()4.31(11211500015001512115000150012115000150015-11515115115150011500
11500115001=-⨯=Φ-=-Φ-=-Φ-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯--=⎪⎭⎫
⎝⎛≤≤--=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∑∑∑∑====i i i i i i i i X P X P X P X P （2）
，1{||10}0.9n i i P X =<≥
∑||0.9
n P ⎧⎫
⎪⎪<≥⎨⎪⎪⎩由中心极限定理得，
，所以
210.9,0.95Φ-≥Φ≥，解得
．
1.65≥440n =第四章 测验
一、填空题
1．1/4；．2
11k -
2．．提示：利用切比雪夫不等式估计．
2
21n σε
-3．1/124．0．5．0.5．
6．．
()x Φ二、选择题
1．A 2．C 3 D ．
三、应用题
1．解：设为1000次中事件A 出现的次数，则X (1000,0.5)
X B :()500,()5000.5250
E X D X ==⨯=25039
{400600}{|500|100}10.9751000040
P X P X <<=-<≥-
==2．解：设至少要掷n 次，有题设条件知应有
(
)
9
.06.04.0≥<<n X P 其中，
i=1，2，…∑==n
i
i X n X 1
n
1
X i ={
1
， 出现正面0，出现反面独立同分布，且
， ，
()()5.001i i ====X P X P 5.0)(i =X E 25
.05.05.0)(i =⨯=X D （1） 用切比雪夫不等式确定
(
)(
)
()
2
n 1.011.05.06.04.0n
n X D X P X P -
><-=<<而()n
n X D n X n
D X D n
i n i i n
i 25
.05.01
11
)(1
22
1
2n =
=
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=∑∑∑==即要求90.01
.025.012
≥-n
即)次(2501
.025
.03
=≥
n 即至少应掷250次才能满足要求。

（2
）用中心极限定理确定
(
)
0.40.6210.90
n P X P <<=<<⎛⎛=Φ-Φ=Φ-≥ ⎝⎝
得10.90
0.952+Φ≥=查标准正态分布表的
，645.15≥n 225
.8645.15=⨯≥n 所以68
65.67225.82≈=≥n
即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求。

3．解：设X 为每天去阅览室上自习的人数。

则有(12000,0.08),()120000.08960,()9600.92883.2
X B E X D X =⨯==⨯=:（
1
）
{880}1{880}
11( 2.692)(2.692)0.996
P X P X P >=-≤=-≤≈-Φ-=Φ=（2）设总座位数为n
由中心极限定理知，{}0.8,0.8
P X n P <=≤=
，，所以应增添986-880=105个座0.8Φ=986n =位。

4．解：令n 为该药店需准备的治胃药的瓶数
X 为在这段时间内购买该药的老人数
则由题意知，(2000,0.3)
X B :()20000.3
600,()6000.7
E X D X =⨯==⨯由中心极限定理知，{}0.99
0.99P X n P ≤
=≤=，所以0.99Φ≈ 2.33=648n ≈四、证明题
1．证明：设
则有,1
1
,()()(1)4
n
n k k k k k k k M X E X p D X p p ==
==-≤
∑1
11
11
()()().
n
k
n
n
n k k k k k p
M E E X E X n n n n
======
∑∑∑12221
11
1114(()().
4n
n
n n k k k k k M D D X D X n n n n n =====≤≤∑∑∑由切比雪夫不等式得，，1222
(
)
111{||}4n
n n M D M p p p n P n n n εεε++-≤-≤-< 所以当时，即n →+∞1
21{||}1n n
M p p p P n n
ε++≤-<≤ ．
12{||}1n n M p p p P n n
ε++-<= 2．证：因为相互独立且同分布，所以，，…，相互独立且同
12,,,n X X X 21X 2
2X 2
n X 分布，且有相同的数学期望与方差：
，()
22a X E i =()
()()[]
()0
a -22
242
2
42≠=-==σa X E X E X D i i i 满足独立分布中心极限定理条件，所以
近似服从正太分布，即
∑=n i i X 1
2
(
)2
2,σn na N ∑==n
i i n
X n Y 121
近似服从⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-n a a a N 2
24
2)(,第五章 数理统计的基本概念
5.1 总体 样本 统计量一、选择题1.(D)
2.(A) ()
9
9
2
2
2
2
1
1
9285925
7.591
91
8
i
i
i i X
X X
X S ==--⨯-⨯=
=
=
=--∑∑3. (D)
二、应用题
1. 5，
2.44
2.
5
5125151
1()(,,...)(),,...0,i X i i b a f x x x f x a x x b
=⎧⎪
-==<<⎨⎪⎩
∏
其它3.
0,11
,124()3,234
1,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩
5.2抽样分布一、选择题
1.(C) 注：
才是正确的
.
1~(1)t n -2.(B) 根据得到()()22
2
1~1n S n χσ
--()221
()~1n
i i X X n χ=--∑3.(A)
解：
，()9
92
1
1
~(0,9)9~0,1i
i i i X
N X N ==⇒∑∑()
9221
9~9i i Y χ=∑
由
t ()
9t 二、应用题
1. (1,1)
F n -2. (1)
(2) 0.2061
3
~(10,2
X N 3. 26.105
第五章 测验
一、选择题
1. ( C )
2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3（D ）
对于答案D,由于
，且相互独立，根据分布的定义有
~(0,1),1,2,,i X N i n μ
σ
-= 2χ221
2
()~()
n
i
i X
x n μσ=-∑4.(C) 注：
才是正确的
1~(0,)X N n
~(1)t n -5.(C)
12345{max(,,,,)15}
P X X X X X > 123451{max(,,,,)15}
P X X X X X =-≤
()
15115,,15P X X =-≤≤ =5
)]
5.1([1Φ-二、填空题
1. ，
μ2
n
σ2.
，，，1
n
i
i X
n
=∑()2111n i i X X n =--∑11i n k i X n =∑()1
1n k i i X X n =-∑3. ,
pq p n 4. 2
52
(1)
n χ-三、应用题1.
(1)2
121
1
(,,...)(
)!
!
n n k
n
n n n
i i f x x x e e k k λλ
λλ
+--====∏∏2. 0.1
3. (1)
t n -第六章 参数估计
6.1 参数的点估计
一、选择题
1.A
2.A 二、解答题
1.解 （1）()()∑∑∞
=-∞=-===11
11}{x x x p p x x X xP X E ∑∞='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==11x x q q p q dq d p p
1
=
()p q -=1用代替，则得的矩估计量
X ()X E p
X
p 1=
⎪
⎭⎫
⎝
⎛=∑=n i i X n X 11（2）分布参数的似然函数
p ()()
∏∏=-=-===n i x i n i p p x X P p L i 1
11
1}{(
)∑-=-=n
i i n
x n
p p 11取对数 ()()
p n x p n p L n i i -⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1解似然方程
()011ln 1=⎪⎭
⎫
⎝⎛---=∑=n i i n x p p n dp p L d 得的极大似然估计量
p X
p 1
=
⎪
⎭⎫
⎝
⎛=∑=n i i X n X 112.解 （1），用代替
()()()2
6;3
2
θ
θθθθ
=-==
⎰⎰
∞+∞
-dx x x dx x xf X E ∑==n
i i X n X 11总体均值，则得参数的矩估计量为()X E θ.
2X =θ
（2）()
()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛===∑=n i i X n D X D X D D 11442θ
()()()∑===
=n
i i X D n X nD n
X D n
1
2
2
4
44因为
()()
()()⎰∞
+∞
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-=2
2
2
2
2;][θθdx x f x X E X
E X D ()⎰
=
-
-=θ
θθθθ0
2
2
3
3
20
4
6　dx x x
所以 ()
n
n D 52042
2θθθ=
=
3.解 取由定义
()()∑-=+-=1
1
2121,,,,n i i i n X X C X X X ϕ()]()⎢⎢⎣
⎡⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
-=∑-=+112121,,,n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑-=+=
-1121n i i i X X E C ]
[
=+-∑-=++11
21212n i i i i i X X X X E C ()()()
][∑-=++=+-11
21212n i i i i i X E X X E X E C ()()
()()][=+-∑-=++1
1
2
121
2n i i
i i i X E X E X
E X
E C ()()()
][∑-=+=+-11
22
2
1
2n i i
i X E X E X E C (
)
()2
1
1
22221σσσσ=-=+∑-=n i n C C 所以 ()
121-=
n C 6.2 参数的区间估计
一、选择题
1. C
2. A
6.3 一个总体均值的估计
1.解 由于 故查分布表得又
,99.01=-α,31,
01.0=-=n 又αt ()0.012
3 5.841,t = 故得的99%的置信区间为
%,03.0%,34.8==s x μ][%428.8%,252.8)%403.0841.534.8()%,403.0841.534.8( =⎢
⎣
⎡⎥⎦⎤
⨯+⨯-2.解 计算得样本均值16
,0171.0,
125.22===n s x （1） 总体均值的90%的置信区间为
0.12
0.10,
1.645,0.01,u ασ===
μ]22 2.121, 2.129x u x u αα⎡⎡-+=⎢⎣⎢⎣
（2）查t 分布表得，总体均
.151,
10.0=-=n α()0.12
15 1.753t =()753.11510.0=t 值的90%的置信区间为
μ
(
(
]2211 2.117, 2.133x t n x t n αα⎡⎡--+-=⎢⎣⎢⎣
3.解：计算得， n -1=7，查分布表得
265,
3000,0.05x s α===t ，计算得株高绝对降低值μ的95%的置信下限为
()0.102
7 1.895t =
.(2
128.298x t n α--=4.解
每的平均蓄积量为，以及全林地的总蓄积量，估计精
20.10hm 315m 3
75000m 度为0.9505
A =5. [372.37, 452.67]
6.4 一个总体方差与频率的估计
1.解 由样本资料计算得,,,又由于，
3750.60=x 3846.02
=s 6202.0=s 05.0=α，， 查分布表得临界值025.02=α975.021=-α151=-n 2χ,
488.27)15(2
025.0
=χ从而及的置信概率为的置信区间分别为[0.2099，0.9213]与
,262.6)15(2975.0=χ2σσ%95[0.4581，0.9598].
2.
解
（1）由于查t 分布表得又
,14=n ,05.0=α()0.052
13 2.16,t =，故得总体均值的95%的置信的区间为
67.1,7.8==s x
μ(
(]22117.736,9.664x t n x t n αα⎡⎡--+-=⎢⎣⎢⎣
（2）由于
，查分布表得
,10.0=α05.0=　α,95.021=-α,131=-n 2
χ，，故得总体方差的90%的置信区间为
()362.2213205.0=χ()892.513295.0=χ2
σ()()()()][153.6,621.111,112212
2
2
2
=⎢⎢⎢⎣⎡
⎥⎥⎥⎦
⎤
-----n S n n S n ααχχ3.
解查分布表得
,41,95.021,05.02,10.0=-=-==n ααα2χ ，又计算得，，故得该地年平均气
(),488.94205.0=χ()711.042
95.0=χ1.21=x 505.82=s 温方差的90%的置信区间为
2
σ()()()()][85.47,58.311,112212
2
22
=⎢⎢⎢⎣⎡
⎥⎥
⎥⎦
⎤
-----
n s n n s n ααχχ4. 解 造林成活率的置信区间为[0.8754,0.9369]
6.5 两个总体均值差的估计
1. 解 由于，查分布表得临界值又
182,
05.021=-+=n n αt ()0.052
18 2.101.t =从而求得的置
,8.126,
06.14,1021====y x n n ,96.71,93.162
221==s s 21μμ-信概率为95%的置信区间为[7.536，20.064].即以95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均
产量比乙稻种的平均产量高7.536kg 到20.064kg.
2.解
由样本值计算得
，，5,5,27,
4.242
21=====A B A n n y x σ82=B
σ，故的95%的置信区间为
05.0=α,96.105.0=u 21μμ-(
)(
)]5.76,0.56A B A B x y x y ⎡⎢⎡---+=-⎣⎢⎣
3. 解 由样本值计算得 ，
22
2211.10,875.75,
30.11,
44.81====B B A A s y s x 查分布表得故得的95%的置信区
,91=n ,82=n ,05.0=αt ()0.052
15 2.131,t =B A μμ-间为
4. [-13.93，-9.77]
6.6 两个总体方差比的估计
解
查F 分布表得
,025.02
,
05.0,911===-=-α
αB A n n ()=
--1,12
B A n n F α故 的95%的置信区间为：
()(),03.49,91,1025.02
==--F n n F A B α2
221σσ()()][⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎥⎥
⎦
⎤
----6008.3,2217.01,1·,
1,11
·222
222 n n F s s n n F s s A B B
A B A
B A αα第六章 测验
一、选择题
1.D
2.C
3.A
二、填空题
()(
()
(122122
22 5.58,16.71.A B A B x y t n n x y t n n αα⎡
--+-⎢⎣
⎡⎤⎤-++-=-⎢⎥⎥⎦⎦
⎣
1. 2. 3. 4. 5. 12α=21ˆ2
X θ-
=][588.5,412.4 21;1λλk =三、计算题
1.解 因为X ～N 所以于是，
(
)
,4,2
　μ(),94
92222
χχ　S = 查分布表得
所以⎩⎨⎧=⎭
⎬⎫
>=>1.0169169}{22
σS P a S P 2χ,684.14169=a .105.26≈a 2.解 （1）；
()()λ
λ
λ-==∏∏==e
x x f x x x f n i n
i i
x i
n i
1
1
21!;,,, ∏=-∑==n
i i x n x e
n
i i
1
!·1
λ
λ
（2）.()()()
λλ
λn
n S E n
X D X E n 1
,,
2
-=
=
=3.解
因为X ～N
，于是从而
()2
2,30　()()
,)21(,30)162
(,3022
N N X ，故 ()1,02130
N X U -=
}{⎩⎨⎧⎭⎬
⎫-<-<-=<<2/130312/1302/130293129X P X P ()()()9545
.0197725.0212222221302=-⨯=⎩⎨⎧-Φ=-Φ-Φ=⎭⎬⎫<-<-=X P 4.解 （1）；（2）178320,314022====b x σμ 198133
2
2==s σ 5.解
设施肥与不施肥的收获量分别为总体且X ～N
Y ～N ,,Y X ()　
　2
1
σμ,计算可得又
)(~22σμ　N Y ,1738.1,9227.0,7.9,
4.1122
2221====s s y x 查分布表得临界值从
,05.0,162,10,82121==-+==αn n n n t ()0.052
16 2.12,t =而计算均值差的95%的置信区间为
21μμ-()()][.7773.2,6227.01681018
1738.199227.0712.27.94.11,16810181738.199227.0712.27.94.11222
2=⎥⎦
⎤⨯⨯⨯+⨯+-⎢
⎣
⎡⨯⨯⨯+⨯--故在置信概率0.95下，每亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产0.6到2.8斤.
201第七章 假设检验
7.1 假设检验概念和原理一、填空题：
1、概率很小的事件在一次试验（抽样）中是不至于发生的。

2、为真，通过一次抽样拒绝所犯错误； 为假，通过一次抽样接受所犯错误。

0H 0H 0H 0H 二、选择题
1、B ；
2、D 。

三、应用计算题
1、解：{}1232|1258
P x x x p α=++≥=={}1232|14364
P x x x p β=++<==2、解：（1）
、2
0.62
c u α
==（2）、因 故拒绝原假设。

0.62c u α
==00:0H μμ==（3）、{
}
1.15P x P α=≥=≥
[]3.6412(3.64)10.0003
P ⎫⎪
=≥=-Φ-=⎬⎪⎭
7.2 一个总体参数的假设检验
1、。

U =
12(,,n x x u α⎧⎫⎪⎪
=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
3、1(,,):
n R x x u α⎧⎫⎪
⎪
=≥⎨⎬
⎪⎪⎩
⎭
二、选择题
1．A 2.D 3. B
三、应用计算题
1、（1）若根据以往资料已知=14 ；（2）未知。

σσ解：（1）01
:500
H H
μ↔≠ 0.452u =
== 因 故接受原假设. 从而包装机工作正常。

20.452 1.96u u α=<=0H (2).先检验标准差 0010
:=15:H H σσσσ≥↔< 2
22
2
2
0(1)(101)1610.2415
n S χσ--=
== 故拒绝原假设22110.24 3.325(1)n αχχ-=<=-00:=15
H σσ≥
其次检验01:500:500
H H μμ=↔≠
0.395T =
==因 故接受原假设2T 0.395 2.262(1)t n α=<=-0:500
H μ=所以，综合上述两个检验可知包装机工作正常。

2、解：0010:=0.3:=0.3
H H σσσσ≤↔<2
2
2
2
2
0(1)(251)(0.36)0.3456
(0.3)n S χσ--=
== 故接受原假设。

标准差没有明显增大。

22
0.345636.415(1)n αχχ=<=-3、解：0010:0.9:0.9
H p p H p p ≤=↔>= 440
0.88500
W =
= 1.49
U =
=
=-
0.050.011.645, 2.33u u == 故两个水平下均接受原假设。

0.05 1.645U u <=0.01 2.33U u <=7.3 两个总体参数的假设检验
一、填空题
1、等方差。

2、服从.分布。

22
12
221
2
S S F σσ
=
12(1,1)F n n --3、, 其中。

U =
1122
12
nW n W W n n +=
+二、选择题1、 B 2. A
三、应用计算题
1、解：012112
::H H μμμμ=↔≠
T =
0.206
=
=-因 故接受原假设。

20.206 2.131(15)T t α=<=2
12112
:H μμμ=↔≠
1.5
U =
=-:因 故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异。

21.5 1.96U u α=<=3、解：012112
::H p p H p p ≤↔> 1202000.1W ==2152000.75W ==11
22
12350.07
500
nW n
W W n n +=
==+ 5.97
U =
=
:因 故拒绝原假设，即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂。

5.97 1.645U u α=>=7.4 非参数假设检验
一、填空题
1、1
m k --2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合。

3、。

(1)(1)r c --二、选择题
1. A ；
2. C
三、应用计算题
1、解：该盒中的白球与黑球球的个数相等。

0:H 记总体表示首次出现白球时所需摸球次数，则服从几何分布，
X X {}1
(1)
k P X k p p -==-1,2,k =
其中表示从盒中任摸一球为白球的概率。

若何种黑球白球个数相等，则此时p 1
2
p =
从而， ，{}1112p P X ==={}2214p P X ==={}3318
p P X === ，{}44116p P X ==={}5
52
116
k
k P X +∞
-=≥=
=∑ 252
1() 3.2i i i i
v np np χ=-=∑:2
(4)9.488α
χ= 则接受原假设。

22
3.29.488(4)αχχ<=:2、解： 的概率密度为 0:H X ()2f x x =(01)
x <≤ ，{}100.250.0625p P X =<≤={}20.250.50.1875
p P X =<≤=，{}30.50.750.3125p P X =<≤={}40.7510.4375
p P X =<≤= 242
1
()64 1.82935i i i i v np np χ=-==∑:2
(3)7.815α
χ=因2
21.8297.815(3)
αχχ<=
: 故接受原假设即认为的概率密度为 。

X ()2f x x =(01)x <≤3、解： 公民对这项提案的态度与性别相互独立
0:H
2
2
3
2
11
()2173.7ij ij i j ij n e e χ==-==∑∑
因 故拒绝，即认为公民对这项提案的态度与性别不独立。

2
2
2173.7 5.991(2)αχχ>=
:0H 4、略。

第七章 测验
一、填空题（每小题4分，共20分）
1
、12(,,n R x x u α⎧⎫⎪
⎪
=⎨⎬
⎪⎪⎩
⎭
2、
；
T =
3、；；
2
22
0(1)n S χσ-=
2
χ4、；
2
122
S F S =(){
}
2
22211221212
,,:,n
R x x S S F S S F αα
-=
≥≤ 或
；
5、；．
=14α 916β=二、选择题（每空4分，共20分）
1、A ；
2、C ；
3、B ；
4、C ；
5、A
三、应用题（共60分）
1、解：检验01:70:70
H H μμ=↔≠
1.4
T =
=
=因 故接受原假设2T 1.4 2.02(1)t n α=<=-0:70
H μ=2、解： 001:=8:8
H H σσσ=↔≠ 2
2
2
0(1)(101)75.733
10.65
64
n S χσ--⨯=
=
= 故拒绝原假设221210.65 2.7(1)n αχχ-=>=-00:=8
H σσ=3、解：先检验2
2
2
2
012112
::H H σσσσ=↔≠ （） 查表的2122 3.325 1.492.225
S F S ==:22
12
S S >212((1),(1)) 5.35F n n α--= 因故可认为方差相等。

2121.49 5.35((1),(1))F F n n α=<=--
T
=
3.52
=
-:因 故接受原假设3.52 2.552(18)T t α=-<=012
:H
μμ≤4、解：，
0010:0.2:H p p H p p ≤=↔> 3.5
U =
==
因 故拒绝原假设。

3.5 1.645U u α=>=5、解：
（1）
1.026
α=（2）
0.0132
β=第八章方差分析与回归分析
8.1方差分析的概念与基本思想
一、名词解释
1.因素：影响试验指标变化的原因。

2.水平：因素所设置的不同等级
3.单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验
4.多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验，这类试验一般可用因素的数
目来命名
5.处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合
6.处理效应（组间误差）：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响
7.随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异二、问答题
1.单因素试验中，因素的每一个水平即为一个处理，试验有几个水平，就相应地有几个
处理；多因素试验中，处理的数目是各因素水平的乘积。

例如，三因素试验中，A 因素有a 个水平，B 因素有b 个水平，C 因素有c 个水平，则处理数为abc 个。

2.方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差，
利用数理统计的相关原理建立适当的统计量，在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差，从而检验处理效应是否显著。

8.2单因素方差分析一、填空题
1.平方根变换，角度（弧度）反正弦变换，对数变换；
2.最小显著差数法，最小显著极差法；新复极差法，q 法；
3.总平方和，随机误差平方和，组间平方和。

二、计算题1.
变产来源
离差平方和
自由度
均方
值
F α
F 组间
28.60
（4）
7.15
组内
（4.5）
9
0.5
总和
（33.1）
（13）
14.30
3.63
2.解：，，
11
2229i
n r
i j
i j T X
===
=∑∑2
11
199327i
n r ij i j X ===∑∑()2
22
11
2229199327589.3625i
n r
T ij i j T SS X n ===-=-
=∑∑()()2
2
222291
200704219024174724495.36r
i A T T SS =-=+++-
=∑:
589.36495.3694
e T A SS SS SS =-=-=方差分析表如下：
来源
平方和自由度均方和值
F 因素A 495.364123.84误差
9420 4.7
总平方和
589.362426.35
因为，所以，当显著性水平，5个温度对产量的影
0.01=26.35 4.43(4,20)F F >==0.01α响有显著差异。

3.该题属于单因素4水平等重复试验的方差分析。

其方差分析表如下：
变异来源自由度df 离差平方和SS 均方差MS
F 值
0.05
F 0.01
F 处理间322.617.53715.226** 4.07
7.59
处理内
8 3.960.495
总变异1126.57说明不同浓度氟化钠溶液处理种子后，对芽长有极显著的影响。

多重比较省略。

4.该题属于单因素不等重复方差分析。

变异来源自由度df 离差平方和SS 均方差MS F 值0.05
F 0.01
F 处理间2153.5376.76
21.51** 3.47
5.78
处理内2174.93 3.57
总变异23228.46 母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用。

8.3双因素方差分析
1.本题是双因素无重复观察值的方差分析。

方差分析表如下：
变异来源自由度df
离差平方和SS
均方差MS
F 值0.05
F 0.01
F 品种间（A ）
32758.39919.4610.02**
3.16
5.09
室温间（B ）610530.211755.0419.12** 2.66
4.01误 差
18
1652.36
91.80
总变异
27
14940.96
F 检验结果表明，品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平。

2.本题为两因素等重复试验的方差分析。

方差分析表如下：
变异来源
自由度df
离差平方和SS
均方差MS
F 值
0.05
F 0.01
F 原料（A ）2
1554.1667
777.0833
12.67**
3.35
5.49
温度（B ）
2
3150.5000
1575.2500
25.68**
3.35
5.49
A ×
B 4808.8333202.2083 3.30*
2.73
4.11误 差
27
1656.5000
61.3519
总变异
35
7170
由方差分析表可知，原料、温度间的差异均达极显著水平，原料×温度的差异达显著水平。

8.4回归分析的基本概念
1.如何用数学语言描述相关关系？
相关关系就是一个或一些变量与另一个或一些变量之间有密切关系，但还没有确切到
X Y 由其中一个可以唯一确定另一个的程度，其数学语言描述可为：如果给定变量任意一个
X 具体取值,存在变量的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随的不同而不同；
0x Y 0x 同时给定变量任意一个具体取值,存在变量的一个概率分布与其对应，并且该概率
Y 0y X 分布随的不同而不同，则称与之间具有相关关系。

相关关系是两个随机变量之间
0y X Y 的平行相依关系。

2.什么是回归关系？回归关系与相关关系有何联系？
回归关系是指在相关关系中，如果容易测定或可人为控制，就将看成为非随机变量，
X X 并记为（称为预报因子），这时与（称为预报量）之间的关系称为回归关系。

x x Y 回归关系是相关关系的简化，是变量之间的因果关系。

8.5 一元线性回归模型的建立与检验
一、填空题
1.。

()2
1
1ˆ2n i i i Y y n =--∑2. ，。

1
ˆˆy x ββ=-()()
()
11
2
1
ˆ=n
i i xy i n xx
i
i x x Y Y L L x x β==--=-∑∑二、应用题
1. 解：2
11
112
1
1113755.68,
11xx i i i i L x x ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑11
11111
1118708.58,
11xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2
11
112
1
116050.583
11yy i i i i L y y ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑（1）先求回归方程，由于
1=
0.633,
xy
xx
L L β=01=-38.97,
y x ββ-=所以关于的回归方程为
Y x ˆy
0.633-38.97,x =（2
）用相关系数检验法计算样本相关系数
00.955
r =
=因为而故可认为与的线性相关关系是极显著的
()0.0190.7348,r =()00.019,r r >Y x （3）把代入回归直线方程，得
0200x =
，ˆ0.633200-38.9787.63y
=⨯=2. 略。

3. 证明略。

8.6预测、控制与残差分析
（1）
解：2
1111
2
2
11113675051013104.55,1111
xx i i i i L x x ==⎛⎫=-
=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑11
11111
1111
139105102143988.18,
1111xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2
11
11
221
11154222141258.731111
yy i i i i L y y ==⎛⎫
=-
=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑（1）先求回归方程，由于
13988.18
=0.304,
13104.55
xy
xx L L β==01214510=0.304 5.36,
1111
y x ββ-=-⨯=所以关于的回归方程为
Y x ˆy
5.360.304,
x =+
在检验，用相关系数检验法计算样本相关系数
00.982
r ==
=
取，查相关系数检验表得，由于故可认为与
=0.01α()0.0190.7348,r =()00.019,r r >Y 的线性相关关系是极显著的。

x （2）把代入回归直线方程，得
075x =
，ˆ 5.360.304
7528.16y
=+⨯
=，
ˆ 2.301σ
==0.05(9) 2.626
t =，故当时，腐蚀深度的95%预测区间为
075x s =Y []28.16 2.262 2.301 1.074,
28.16 2.262 2.301 1.074,
-⨯⨯+⨯⨯即
.
[]22.57.7，335（3）要使腐蚀深度在之间，即的取值在区间内时，
1020m μ:1210,20,y y Y ==[]1020，则由方程组
10112012ˆ2ˆ2,y x y x ββσ
ββσ
=+-⎧⎨
=++⎩解得
()()()()1101
2201
1
1
ˆ210 5.362 2.30130.40,0.304
1
1
ˆ220 5.362 2.30133.02.0.304
x y x y βσ
ββσ
β=
-+=⨯-+⨯==
--=⨯--⨯=8.7可线性化的一元非线性回归
一、填空题
；0
011ln ,ln ,ln ,Y Y x x ββββ''''====00111
ln ,,ln ,Y Y x x
ββββ''''====。

ln ,lg Y Y x x ''==二、解答题
解：做散点图如右图。

由于与散点图呈指数Y x 曲线形状，于是有
•,x Y e βαε=()
2
ln 0,N εσ
:。