高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A版选修4-4(2021年整理)

2018版高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A版选修4-4 编辑整理：
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二 极坐标系
一、基础达标
1.点P 的极坐标为错误!，则点P 的直角坐标为( )
A.（2,错误!)
B.(错误!，－错误!） C 。

（2,2） D 。

(－错误!，错误!）
解析 x ＝ρcos θ＝错误!，y ＝ρsin θ＝－错误!。

答案 B
2。

点M 的直角坐标为错误!，则点M 的极坐标可以为（ )
A.错误!
B 。

错误! C.错误! D.错误!
解析 ∵ρ＝错误!＝错误!，且θ＝错误!,∴M 的极坐标为错误!。

答案 C
3。

下列各点与错误!表示极坐标系中同一点的是( ）
A.（⎭⎪⎫2，2π3
B.（2，π)
C.错误!
D.（2，2π） 解析 与极坐标错误!相同的点可以表示为
错误!(k ∈Z ），只有错误!适合。

答案 C
4.在极坐标系中,已知点P 1错误!、P 2错误!，则|P 1P 2|等于( ）
A.9
B.10
C.14 D 。

2
解析 ∠P 1OP 2＝错误!－错误!＝错误!，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.
答案B
5.在极坐标系中，已知点A错误!,B错误!，则A、B两点间的距离为________。

解析由公式｜AB｜＝错误!，
得|AB｜＝错误!＝错误!＝错误!。

答案错误!
6.平面直角坐标系中，若点P错误!经过伸缩变换错误!后的点为Q，则极坐标系中,极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________。

解析∵点P错误!经过伸缩变换错误!后的点为Q错误!，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6错误!＝3。

答案3
7.在极轴上求与点A错误!距离为5的点M的坐标。

解设M（r，0)，∵A错误!,∴错误!＝5，
即r2－8r＋7＝0，解得r＝1或r＝7。

∴点M的坐标为（1,0)或（7，0).
二、能力提升
8。

下列的点在极轴上方的是( )
A。

（3，0) B.错误!
C。

错误!D。

错误!
解析建立极坐标系,由极坐标的定义可得点（3，0)在极轴上，点错误!，错误!在极轴下方，点错误!在极轴上方，故选D.
答案D
9.点M错误!到极轴所在直线的距离为________.
解析依题意，点M错误!到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin错误!＝3。

答案3
10.已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M错误!，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.
解析如图，|OM｜＝3，∠xOM＝错误!，在直线OM上取点P，Q，使|OP｜＝7，
|OQ｜＝1,显然有｜PM|＝｜OP|－|OM｜＝7－3＝4，｜QM｜＝｜OM|＋|OQ|＝3＋1
＝4.
点P，Q都满足条件，且∠xOP＝错误!,∠xOQ＝错误!.
答案错误!或错误!
11.（1)已知点的极坐标分别为A错误!，B错误!,C错误!，D错误!，求它们的直角坐标.
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，3）,B错误!，C(－1，－错误!)，求它们的极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）。

解(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A错误!,B错误!，C(－错误!，－错误!），D（2错误!，－2）.
（2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝错误!得A错误!，B错误!，C错误!.
12。

在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A错误!，B(2，π),C错误!。

(1)判断△ABC的形状;
(2）求△ABC的面积.
解（1)如图所示，由A错误!,B（2,π），C错误!得｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC|
＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝错误!。

∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形。

（2)由上述可知，
AC＝2OA sin π
3
＝2×2×错误!＝2错误!。

∴S△ABC＝错误!×（2错误!）2＝3错误!（面积单位)。

三、探究与创新
13。

某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O，A,B，C，D，E，F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝
|BC|,｜OC｜＝600 m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标（限定ρ≥0，0≤θ〈2π且极点为（0，0））。

解以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m），建立极坐标系。

由|OC|＝600 m，∠AOC＝错误!，∠OAC＝错误!,得|AC｜＝300 m，｜OA｜＝300错误! m，又｜AB|＝|BC｜,所以|AB｜＝150 m。

同理，得｜OE|＝2｜OG｜＝300错误!m,所以各点的极坐标分别为O(0，0），A(300错误!，0)，
C错误!，D错误!，E错误!，F(300，π)，G错误!.。