2021年高考数学大一轮总复习 12.2 古典概型与几何概型高效作业 理 新人教A版

2021年高考数学大一轮总复习 12.2 古典概型与几何概型高效作业 理
新人教A 版
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(xx·苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )
A.1
32 B.
164 C.332
D.
364
解析：有放回地取2次，共有64种结果，其中不小于15的有(7,8)、(8,7)、(8,8)共3种情况．故P ＝3
64
.故选D.
答案：D
2．(xx·江苏苏北四市第一次调研)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4
的概率为( )
A.1
4 B.12 C.3
4
D.23
解析：如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S
4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的
面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝3
4AB AB ＝3
4
.故选C.
答案：C
3．(xx·北京模拟)设不等式组⎩⎪⎨
⎪
⎧
0≤x ≤20≤y ≤2
，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取
一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.π
4 B.π－2
2
C.
π
6
D.
4－π
4
解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是
4－π
4
.
答案：D
4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则 点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )
A.13
B.14
C.16
D.112
解析：由题意(m ，n )的取值情况共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)共有36种情况，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为336＝112
.
答案：D
5．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝2有公共点的概率为( )
A.25
B.25
C.35
D.32
10
解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|
2≤2，解得
－1≤a ≤3.又
a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25
，故选B.
答案：B
6．(xx·四川资阳高三模拟)已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0
内的概率为( )
A.3
16
B.38
C.34
D.12
解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为3
8
，故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2
＋y 2
＝9内部的概率为________．
解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2
＝9的内部，所求概率为26＝13，故填13
.
答案：1
3
8．在分别写着1,2,3,4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
解析：∵从四张卡片中随机取出两张有6种情况，分别为：1与2,1与3,1与4,2与3,2与4,3与4，而取出的两张卡片上的数字之和为奇数的有4种情况，分别为：1与2,1与4,2与3,3与4，∴取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率P ＝46＝2
3
.
答案：23
9．(xx·安徽皖南八校第二次联考)两根相距9m 的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m 的概率为________．
解析：灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ
＝9m ，记“灯与两端距离都大于3m”为事件A ，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A 发生，即μA ＝3m ，
∴P (A )＝
μA μΩ＝39＝13
. 答案：13
10．(xx·北京西城抽样测试)已知函数f (x )＝2ax 2
－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为________．
解析：令t ＝ax 2
－bx ＋1，函数f (x )在[1，＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，则t ＝ax 2
－bx ＋1须在[1，＋∞)上递增，
∴－－b 2a ≤1，即2a ≥b .
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤a ≤20≤b ≤2，
2a ≥b
，画出图示得阴影部分面积．
∴概率为P ＝2×2－1
2×2×1
2×2＝3
4.
答案：3
4
三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)
11．(xx·潍坊市模拟)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．
解：(1)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个，因此，所求事件的概率是1
3
.
(2)先从袋中取出一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以，所求概率为3
16
.
12．(基础题，易)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：
P (A )＝S A S ＝602－452602
＝3 600－2 0253 600＝716
. 所以，两人能会面的概率是
7
16
. 13．(xx·天津十二区县重点中学第一次联考)设有关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根”，
当a ≥0，b ≥0时，方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根的充要条件为a ≥b .
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝
912＝34
. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，
构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝
3×2－1
2
×22
3×2＝
2
3
.33847 8437 萷•40629 9EB5 麵21067 524B 剋33123 8163 腣27318 6AB6 檶7b37950 943E 鐾%23831 5D17 崗38396 95FC 闼•23746 5CC2 峂h。