复合函数的定义域详细讲义及练习详细标准答案

复合函数的定义域详细讲义及练习详细标准答案
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
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复合函数
一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u 的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。

二，对高中复合函数的通解法——综合分析法
1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程
例1：指出下列函数的复合过程。

（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2
解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

（3）∵y=sin3x=(sinx)-3
∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。

经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。

由g(x),G(x)得：u2=2x-11
即：y=f(u2),u2=2x-11
∵f(u1)的定义域为[1、2]
∴１≤x﹤2
∴-9≤2x-11﹤-6
即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]
∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]
经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]
∴1≤x+3﹤2
∴-2≤x﹤-1
∴-4≤2x﹤-2
∴-9≤2x-5﹤-7
∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]
（下转2页）
注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。

从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而导致错误。

而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。

复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x 的取值范围。

正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的
∵１≤x1﹤2
∴4≤u1﹤5
∴4≤u2﹤5
∴4≤2x2-5﹤5
∴2≤x2﹤5
∴f(2x-5)的定义域为[２、5]
结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解１与２的情
三、高中复合函数的题型（不包括抽象函数）
题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x2)的定义域。

题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为[１、２],求f（2x-5）的定义域。

（下转3页）题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-1)的定义域。

题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

注：通解法——综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。

第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母（最为关键）
下面用综合分析法解四个题型
题型一：单对单：例3：已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。

（由于要同层考虑，且u与x的取值范围相同，故可这样变形）f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。

∵f(x)的定义域为[-1、4] 第2步：找出复合函数定义域的真正对应∴-1≤x1﹤4
即-1≤u﹤4
又∵u=x22
∴-1≤x22﹤4
(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出) ∴-2﹤x2﹤2
∴f(x2)的定义域为(-2,2) 结论：此题中的自变量x1,x2通过u联系起来，故可求解。

题型三：单对多：例4：已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-1)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由y=f(u),u=x1复合而
f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1复合而成.
第2步：找出复合函数定义域的真正对应：∵0≤x1≤1
∴0≤u≤1
∴0≤2x2-1≤1
∴x2≤1
∴f(2x-1)的定义域为[，1] 结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出y=[g(x)]的定义域。

下转4页题型四：多对单：如：例5：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1复合而成的。

f(x)是由f(u),u=x2复合而成的。

第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：∵0≤x1≤1
∴0≤2x1≤2
∴-1≤2x1-1≤1
∴-1≤u≤1
∴-1≤x2≤1
∴f(x)的定义域为[-1、1] 结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域。

小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u这
个桥梁将x1与x2联系起来解题。

题型二：多对多：如例6：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知f(x)的定义域可求出y=f[g(x)]的定义域”已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域可以推出f(x)与y=f[g(x)]可以互求。

若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定义域，故这里f(x)成为了联系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中u
所充当的作用相同。

所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x)，再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：
第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。

f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。

第二步：求桥梁f(x)的定义域：∵1≤x≤2
∴4≤x+3≤5
∴4≤u≤5
设：函数y3=(u),u=x
下转4页
∴y3=f(x)的定义域为[4、5]
第三步：通过桥梁f(x)进而求出y2=f(2x-5):f(x) 是由y3=f(u),u=x 复合而成的
∵4≤x≤5
∴4≤u≤5
∴4≤2x-5≤5
∴≤x2≤5
∴f(2x-5)的定义域为：[5]
小结：实际上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5), 详参照例2的解法。

四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。

如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为[0、1]，求函数y=f(x2+1)的定义域。

解：∵函数f(x2+1)中的x2+1相当于f(x)中的x(即u=x2+1,与u=x)
∴0≤x2+1≤1
∴-1≤x2≤0
∴x=0
∴定义域为{0}
小结：本题解答的实质是以u为桥梁求解。

例8：已知y=f(2x-1)的定义域为[0、1],求函数y=f(x)的定义域。

解：由题意：0≤x≤1（即略去第二步，先找出定义域的真正对象）。

∴-1≤2x-1≤1(即求出u,以u为桥梁求出f(x)
视2x-1为一个整体（即u与u的交换）
则2x-1相关于f(x)中的x(即u与u的交换，f(x)由y=f(u),u=x复合而成，-1≤u≤1, ∴-1≤x≤1) ∴函数f(x)的定义域为[-1、1] 总结：综合分析法分了３个步骤
①写出复合函数的复合过程。

②找出复合函数定义域所指的代数。

③找出解题中的桥梁（u或f(x)可为桥梁）
浅析复合函数的定义域问题
一、复合函数的构成
，设()
u g x
=是A到B的函数，()
=是'B到'
y f u
C上的函数，且B'B
当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。

此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．
⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．
注意：)(x g 的值域'M M ?．
例2：
⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；
⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；
⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．
要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．
解答：
⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．
Θ函数)(x f 的定义域是[0，1]，
∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]．
∴1210≤-≤x ，
∴021≤-≤-x ，即2
10≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，2
1]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．
Θ)12(-x f 的定义域是[-1，1]，
∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，
∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]，
∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．
要点2：若已知
)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。

⑶ 函数)3(+x f 是由A 到B 上的函数3+=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．)3(+x f Θ的定义域是[-4，5),
∴A=[-4,5)即54<≤-x ，
∴831<+≤-x 即3+=x u 的值域B=[-1，8）
又)32(-x f 是由'A 到'B 上的函数32'-=x u 与B 到C 上的函数)(u
f y =复合而成的函数，而'B B =,从而32'-=x u 的值域)8,1['-=B
∴8321<-≤-x
∴,1122<≤x ∴2
111<≤x ∴)32(-x f 的定义域是[1，
211）．例3：已知函数)(x f 定义域是（a,b ），求)13()13()(+--=x f x f x F 的定义域．
解：由题，<+<<-
13131b x a b x a ，当<-≥+b
a b a 3131，即2-≥>b a b 时，)(x F 不表示函数；当<-<+b
a b a 3131，即2-
-+b a ．说明：
① 已知)(x f 的定义域为(a,b)，求))((x g f 的定义域的方法：
已知)(x f 的定义域为)(b a ，，求))((x g f 的定义域。

实际上是已知中间变量的u 的
取值范围，即)(b a u ，∈，)()(b a x g ，∈。

通过解不等式b x g a
<<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为(a,b)，求)(x f 的定义域的方法：
若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。

实际上是已知复合函数))((x g f 直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。

先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域,即使函数)(x f 的解析式形式所要求定义域真包含)(x g 的值域，也应以)(x g 的值域做为所求)(x f 的定义域，因为要确保所求外含数)(x f 与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)(x f 将失去解决问题的有效性。

换元法其实质就是求复合函数))((x g f 的外函数
)(x f ，如果外函数)(x f 的定义域不等于内函数)(x g 的值域，那么)(x f 就确定不了))((x g f 的最值或值域。

例4：已知函数x x x f +-=1)(,)1(≥x
求)(x f 的值域。

分析：令1)(-=x x u ，)1(≥x ；
则有1)(2++=u u u g ，)0(≥u
复合函数
)(x f 是由1)(-=x x u 与1)(2++=u u u g 复合而成，而
1)(2++=u u u g ，)0(≥u 的值域即)(x f 的值域，但1)(2++=u u u
g 的本身定义域为R ,其值域则不等于复合函数)(x f 的值域了。

例5：已知函数6lg )3(22
2
-=-x x x f ，求函数)(x f 的解析式，定义域及奇偶性。

分析：因为6
lg )3(22
2-=-x x x f 定义域为{6|-≤x x 或6≥x } 令32-=x u ，3φu ；则33lg
)(-+=u u u f ，且u 3φ 所以 3,3
3lg )(φx x x x f -+=，定义域不关于原点对称，故)(x f 是非奇非偶函数。

1．在等比数列{}n a 中，已知3
231891===q a a n ，，，则n 为（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2．设{}n a 是公差为－2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ，则99963a a a a ++++Λ 等于
（） A ．82 B ．－82 C ．132
D ．－132
3．已知数列{}n a 中11=a 以后各项由公式)2()1(11≥-+
=-n n n a a n n 给出，则=4a （） A ．74 B ．－74 C ．47 D ．47
- 4．已知1,,,921--a a 成等差数列，1,,,9321--b b b 成等比数列，则212)(b a a -等于（）
A ．98
B ．98-
C ．8
D ．－8
5．在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是
（）
A ．445
B ．274
C ．92
D ．9
6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则19S = （）
A ．190
B ．95
C ．170
D ．85
7．已知{}n a 是等比数列，对0,>∈?*n a N n 恒成立，且362645231=++a a a a a a ，
则52a a +等于
（）
A ．36
B ．6±
C ．－6
D ．6 8．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <；n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）
A ．56S S >
B ．56S S <
C ．60S =
D ．56S S =
9．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的
项数为（）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
10．已知数列{}n a 满足：1log (2)n n a n +=+，定义使123......k a a a a k 为整数的数*
()k N ∈叫做希望
数，则区间[1，2010]内所有希望数的和=M （）A ．2026 B ．2036 C ．2046 D ．2048 11．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列}{n b a 的前10项的和等于
（）
A ．65
B ．75
C ．85
D ．95 12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9 .
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．已知数列前4项为4,6,8,10，则其一个通项公式为 _ .
14．已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221
b a a ______．
15．已知数列}{n a 的前n 项的和n S 满足n S n =+)1(log 2,则n a = ．
16．甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开
始时2个，记为02a =，它们按以下规
律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1 个，……,记n 小时后细胞的个数为n a ，则n a =________(用n 表示) ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =-，55a =．
（1）求{}n a 的通项n a ；
（2）求{}n a 前n 项和n S 的最小值．
18．（本小题满分12分）
已知{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{}n b 满足11b =，12n a
n n b b +=+. （1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）求证：221n n n b b b ++?<.
参考答案
一、选择题
1．C ；解析：等比数列{}n a 中，3231891===q a a n ，，；∴，3
1)32(89111===--n n n q a a ∴，31)3
2()32(=-n 4,31==-n n ；。