2016昌平临川学校高二(下)期中(数学)理含答案

2016昌平临川学校高二（下）期中
数学（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）
A．正方形的对角线相等B．平行四边形的对角线相等
C．正方形是平行四边形D．以上均不正确
3．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0
C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0
4．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．k2+1 B．（k+1）2
C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
5．（5分）（1+cosx）dx等于（）
A．π B．2 C．π﹣2 D．π+2
6．（5分）因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提
x+≥2，…小前提
所以x+≥2，…结论
以上推理过程中的错误为（）
A．小前提 B．大前提C．结论 D．无错误
7．（5分）由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）
A． B．C．D．
8．（5分）复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）
A．6n﹣2 B．8n﹣2 C．6n+2 D．8n+2
10．（5分）给出下列三个类比结论．
①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；
②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；
③（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2•+；
其中结论正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（5分）自然数按如图的规律排列：则上起第2007行左起2008列的数为（）
A．20072B．20082C．2006×2007 D．2007×2008
12．（5分）若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）
C．（a⊗b）2=a2⊗b2D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．（5分）若实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y= ．
14．（5分）设，则= ．
15．（5分）已知数列{a n}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=a n2+1（n=1，2…），试归纳成数列{a n}的一个通项公式为．16．（5分）复数的模为．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
18．（12分）计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．
19．（12分）（Ⅰ）求证：+＜2
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．
20．（12分）试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则+≥9．21．（12分）（1）用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，n是正整数；
（2）用数学归纳法证明不等式：1+++…+＜2（n∈N*）
22．（12分）已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．
2016昌平临川学校高二（下）期中数学（理科）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，
对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，
故选：C．
2．【解答】由演绎推理三段论可得
“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，
故选A．
3．【解答】由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，
故选 A．
4．【解答】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选D．
5．【解答】∵（x+sinx）′=1+cosx，
∴（1+cosx）dx=（x+sinx）
=+sin﹣=π+2．
故选D
6．【解答】∵，
这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，
是小前提，没有写出x的取值范围，
∴本题中的小前提有错误，
故选A．
7．【解答】由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）
∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．
8．【解答】z====﹣i，
∴z的共轭复数=+i，
∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（，）
∴z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限
故选：A．
9．【解答】∵第一个图中有8根火柴棒组成，
第二个图中有8+6个火柴棒组成，
第三个图中有8+2×6个火柴组成，
以此类推
组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）
∴第n个图中的火柴棒有6n+2
故选：C．
10．【解答】根据乘方的运算法则知：（a+b）n≠a n+b n，①不正确；
根据三角函数的运算法则知：sin（α+β）≠sinαsinβ，②不正确；
根据幂的运算法则知：（+）2=2+2•+2，③正确；
故选B．
11．【解答】经观察，这个自然数表的排列特征有：
①第一列的每一个数都是完全平方数，
并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；
②第一行第n个数为（n﹣1）2+1；
③第n行中从第1个数至第n个数依次递减1；
④第n列中从第1个数至第n个数依次递增1．
故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，
即为[（2008﹣1）2+1]+2006=20072+2007=2007×2008．
故选D．
12．【解答】由题中的定义知a⊗b表示a，b中的最大值
a⊗b与b⊗a表示的都是a，b中的最大值
（a⊗b）⊗c与a⊗（b⊗c）表示的都是a，b，c中的最大值
c•（a⊗b）表示a，b的最大值与c的乘积；（c•a）⊗（c•b）表示c•a与c•b中最大值故c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）故A、B、D都对
故选C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．【解答】因为实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，可得
所以x=2，y=﹣1
所以x+y=1
故答案为：1．
14．【解答】由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，
则=
==
=，
故答案为．
15．【解答】∵a1=1，a n+12=a n2+1，即a n+12﹣a n2=1，
∴数列{}是等差数列，公差为1，首项为1．
∴，a n＞0，
∴a n=．
故答案为：a n=．
16．【解答】∵===﹣i，
∴模是=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】∵复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i，
∴（1）当m2﹣m﹣2=0，即m=﹣1，或m=2时，复数为实数．
（2）当m2﹣m﹣2≠0，即m≠﹣1，且m≠2时，复数为虚数．
（3）当 m2﹣m﹣2≠0，且m2﹣1=0时，即m=1时，复数为纯虚数．
（4）当m2﹣1＞0，且m2﹣m﹣2＜0时，即 1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．18．【解答】由题图得到S===．
19．【解答】（Ⅰ）证明：因为和都是正数，所以为了证明+＜2，
只要证（+）2＜（2）2
只需证：10＜20，
即证：2＜10，
即证：＜5，
即证：21＜25，
因为21＜25显然成立，所以原不等式成立．
（Ⅱ）证明：假设：，都不小于2，则≥2，≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即 a+b≤2
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．
20．【解答】分析法：+≥9⇐≥9
反证法：假设+＜9，通分得＜9．
∵0＜a＜1，∴1+3a＜9a（1﹣a），整理得（3a﹣1）2＜0，这与平方数不小于0矛盾．
∴假设不成立，则+≥9．
综合法：由（3a﹣1）2≥0，变形得1+3a≥9a（1﹣a）．
∵0＜a＜1，∴≥9，即+≥9．
21．【解答】证明：（1）①n=1时，左边=12=1，右边==1，等式成立，
②假设n=k时，等式成立，即12+22+32+…+k2=，
则n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2
=[2k2+k+6（k+1）]
=（2k2+7k+6）
==．
∴当n=k+1时，等式成立，
由①②得：12+22+32+…+n2=．
（2）①n=1时，显然不等式成立，
②假设n=k时，不等式成立，即1+++…+＜2．
则当n=k+1时，1+++…++＜2+=＜=2．∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②得1+++…+＜2．
22．【解答】由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，
sin25°+sin265°+sin2125°=．
归纳推理的一般性的命题为：
sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．
证明如下：
左边=++
=﹣[cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
==右边．
∴结论正确．。