2019年北京大学金秋营数学试题(扫描版,详解版)
2020年北京大学金秋营试题
年北京大学金秋营试题（考生回忆版）
第一天
1.对于非负实数，，，，考虑如下个实数
其中，记为这个数中所有正数之和，的条件下，求的
最小值
2.中，为的中点，，分别为，中点，
外接圆与射线，交于点，，交于点，证明：
若、、共点，则、交点在上
3.数列满足：，，已知求证：
4.求的最小值，使得将方格挖去个格后，剩余图形不存在字形（字形指一个方
格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）
第二天
，直线，，分别交对边于，，，若四边形，
，都有内切圆，求证：
6.若自然数可以写成若干个自己的不同的因数的和，其中有个为，就称为好数，证明：对任意大于，存在无穷个的正倍数为好数，且最小的倍数不大于，其中是最大的奇素因数（若为二的幂，则为）
7.为素奇数，
8.求所有的，使得平面上有个完全相同的凸多边形，且满足对任意个凸多边形，所有在他们之中且不在其余多边形中的点的集合为凸多边形（非退化）。
2019北京高考试题解析版-数学(理)(纯word)
2019北京高考试题解析版-数学（理）（纯word ）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学〔理〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分、考试时长120分钟、考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项、1、集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，那么A B =〔〕A 、()1-∞-，B 、213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， C 、233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 、()3+∞，【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A 、应选D 、 【答案】D2、设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D 、在区域D 内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是〔〕A 、π4B 、π22-C 、π6D 、4π4-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，应选D 。
【答案】D3、设a b ∈R ，、“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的〔〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】当a ＝0时，如果b 也等于0，那么i a b +是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +为纯虚数，那么一定有a ＝0，所以是必要条件，选B 。
2019北京大自主招生考试数学(网传试题与解析)
综上可知 x 2ab ab
法二：
2
2
考虑到
x2
2ax a2
x2
2bx b2 =
x
2 2
a
a2
2
x
2 2
b
b2 可视为 2
点
P
x,
0
到点
A
2 a, 2
2 2
a
与点
B
2 b, 2
2 2
b ຫໍສະໝຸດ 的距离之和.显然 OA a, OB b ， AB a2 b2
A
显然有 PA PB AB ，结合题意，故 PA PB = AB
即 P 在 AB 上。
2a 2b
2a
由 kPA kPB 可得
2 2 a
2 2b
2 2 ax
22
2
O
P‘
P
B
求得 x 2ab ab
2. 复数 z1, z2 满足 z1 3i 2, z2 8 1 ，则由复数 z1 z2 所确定区域的面积是
解析：考虑到 z1 3i z2 8 z1 z2 3i 8 z1 3i z2 8
即1 z1 z2 3i 8 3
5+
2
5 + 5
5 2 62 3 1 2sin2 sin
2 5+ 5 5 5
5
1 5
故 IP 1 5 sin
8.已知数列an 满足： ak1 ak 4k 3k 1, 2, ，求 a2 a2020
解析：
a2 a1 a3 a2 a4 a3 a2019 a2018 a2020 a2019 a1 a2020 41009+4 2019+3=4043
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
精品解析：北京大学附属中学2019-2020学年八年级下学期期末数学试题(解析版)
解决问题的关键．
14. 把直线 y＝﹣5x+2 向上平移 a 个单位后，与直线 y＝2x+4 的交点在第一象限，则 a 的取值范围是__．
【答案】a＞2
【解析】
【分析】
由题意可得平移后的直线为 y＝﹣5x+2+a，然后与直线 y＝2x+4 联立解方程组，根据两直线的交点在第一象
1 x乙 ＝ 10 （8×3+9×4+10×3）＝9；
s
甲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2＝
1 10
[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8；
s
乙
2＝
1 10
[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.7；
∴ x甲= x乙 ，s 甲 2＞s 乙 2，
故选：A． 【点睛】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数
北京大学附属中学 2019-2020 学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题 1. 函数 y x 3 中自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x＞3
B. x≠3
C. x≥3
D. x≥0
【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围． 【详解】由题意得：x-3≥0， 解得：x≥3， 故选 C. 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取 全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方 数为非负数．
2019北大经双备考金榜考典之历年真题解析
3
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（2）求可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP 为对角矩阵； （3）求 P 1 A4 P 。 5、 5 f x arcsin x ， arcsin x xf ，求 lim
6
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再单位化：
1 1 1 1 1 0; 2 2 2 1
1
1 1 2 2 1 3 3 3 1 1
2 3 0 1 1 3 3 3 2 3 3 2 3 4 3 3 1 2 0 0 1 2 6 2 6 6 6 2 6 6 6 4 1 1 2 6 3 2 3
（1）求对应的齐次线性方程组的基础解系； （2）求该线性方程组的全部解。
1 1 0 3、已知 A 0 1 0 ，求上三角矩阵 B 和正交矩阵 C ，使得 C AB 。 （10） 1 1 4 0 2 3 1 2 0 4、已知 A 1 3 3 ， B 0 b 0 。 （10） 1 2 a 0 3 1
1 2 3 4
1.（1）由于 AA* A I I （ A
2 3 4 5 0 0 3 4 0 0 4 5
1 2 3 4 2 3 4 5
1）
则 A* A; A1 A* 。
1
又 A* A* A* I I （ A* A 1 ）
* 3
则 A* A1 A* A* A* A* 2 A
D
(精校版)2019年高考北京卷文科数学真题汇编(Word版、含答案)
（B）y= 2x
（C） y log1 x
2
（4）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）
（D）5
（D） y 1 x
（6）设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
分布情况如下：
支付金额
不大于 2 000 元
大于 2 000 元
支付方式
仅使用 A
27 人3人仅使用 BFra bibliotek24 人
1人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E) 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元
的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件， P(E) 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变
（1）已知集合 A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则 A∪B=（ ）
（A）（–1，1）
（B）（1，2）
（C）（–1，+∞） （D）（1，+∞）
（2）已知复数 z=2+i，则 z z （ ）
（A） 3
（B） 5
2019年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试卷
2019年北京大学博雅计划数学试题 含答
2019年北京大学博雅计划数学试题题目一问题描述某公司的年终奖金是根据员工的绩效评估来确定的。
假设员工的绩效评估得分服从正态分布，均值为μ，标准差为σ。
已知在这家公司，有60%的员工的绩效评估得分在60分以上。
请回答以下问题： 1. 假设员工的绩效评估得分的均值和标准差分别为μ和σ，求μ和σ的具体取值。
2. 假设公司共有100名员工，绩效评估得分在60分以上的员工有60人。
求μ和σ的具体取值。
解答1.由题意可知，绩效评估得分在60分以上的员工占比为60%，即正态分布的右侧面积为0.6。
根据标准正态分布表，查得对应的z值为0.253。
而z值等于(60-μ)/σ，解得μ = 60 - 0.253σ。
2.假设公司共有100名员工，绩效评估得分在60分以上的员工有60人。
则绩效评估得分在60分以下的员工有40人。
根据题目，知道绩效评估得分在60分以下的员工占比为40%，即正态分布的左侧面积为0.4。
根据标准正态分布表，查得对应的z值为-0.253。
而z值等于(60-μ)/σ，解得μ = 60 + 0.253σ。
同时，根据题意可知绩效评估得分在60分以上的员工有60人，那么这60人与总体的右侧面积相同，即正态分布的右侧面积为0.6。
根据标准正态分布表，查得对应的z值为0.253。
而z值等于(60-μ)/σ，解得μ = 60 - 0.253σ。
综上所述，解得μ = 60 +0.253σ，60 - 0.253σ。
联立这两个等式，解得σ = 18.84，μ = 60.004。
因此，μ的取值为60.004，σ的取值为18.84。
题目二问题描述某商场举办了一次满减优惠活动。
购物满200元减50元，购物满500元减150元，购物满1000元减300元。
现有一位顾客购买了一件商品，总价为x元（x>0）。
请回答以下问题： 1. 若顾客购物满200元并享受优惠，优惠后的总价为多少？ 2. 若顾客购物满500元并享受优惠，优惠后的总价为多少？ 3. 若顾客购物满1000元并享受优惠，优惠后的总价为多少？解答1.若顾客购物满200元并享受优惠，优惠后的总价为x-50元。
北大金秋营试题-10份,正反精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 2016年北大金秋营试题1、在ABC ∆内部有一点P 满足4C A P CB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ∆的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠.2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=11112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中，),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值.3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立.4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(m od 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价：（1）p 为模q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解.5、记函数∑==40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值.6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值.7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方.8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.。
北京大学金秋营数学试题(部分含答案)
2019年北京大学优秀中学生数学金秋营试题
学科专业能力测试一
第一天
2019年10月14日下午14:00—17:30
1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。
证明：BQ平分∠AQC.
2、对于的一个排列{}定义函数
f()=.求所有的排列中，f()的最小值。
3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{}∈(u,v)成立.
4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足-p=1. 设q也为奇素数，
(q,bp)=1.考虑同余方程-2a+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价:
（1）p为模q的二次剩余；
（2）同余方程存在一个解；
（3）同余方程存在四个互不相同的解。
学科专业能力测试二
第二天
2019年10月15日上午09:00-12：00
5、设函数f(x)=,且x∈[-1,1]时，|f(x)| ≤1，求||的最大可能值。
6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B 发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。
则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。
7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2019是一个正整数的k次方。
8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？
【部分试题参考解答】
第6题参考解答
第7题参考解答。
2019-2020北京大学和清华大学强基计划数学笔试试题
2019年北京大学博雅计划笔试试题1.金字塔的底座为边长是200米的正方形。
如果一个游客处于距离底座中心200米的圆周上，则游客可以同时看到金字塔两个塔面的概率为________。
A. 13B. 12C. √32D.以上答案都不对2. 已知f (x )=a sin x ,x ∈[0,π2]. 其中a >0. 若f(x)与其反函数y =f −1(x)有两个交点，则实数a 的取值范围是_________。
A.0<a <1 B. 1<a <π2C. 2π<a <π2D.以上答案都不对3.f (x )=√1+x 2+1−x 21+x 2的取值范围是___________。
A.(−2,1]B.(−2,98]C.(−2,98)D.以上答案都不对4.四面体P −ABC 的底面是边长为2的正三角形ABC ，PC 垂直于面ABC ，PC =1. M,N 分别为AB,BC 的中点，则异面直线PN,CM 的夹角的正弦值为__________。
A. 14B. √54C.√104D.以上答案都不对5.已知函数f(x)满足对任意的x ≠0或1，均有f (x )+f (11−x )=x . 求f (2). 6. 已知点A (12,√32)关于直线y =kx 的对称点A′落在圆(x −2)2+y 2=1上，则k的值为_________。
A. 12B. √33C.1D.以上答案都不对7.已知x,y,z 均为正实数。
则f (x,y,z )=xyz(1+4x)(9x+y)(4y+z)(9z+1)的最大值为_____。
A. 1576B. 11024 C. 11296D.以上答案都不对8.已知a,b,z 均为复数，对任意的|z |=1，均有|z 4+az 2+b |=1. 则ab 的值为_________。
A.i B.−i C.1 D.以上答案都不对9.从6名男员工和4名女员工中各抽取2人，组成羽毛球混合双比赛。