自主招生数学专题一不等式(习题补充版)
不等式练习题（精选5篇）
不等式练习题（精选5篇）第一篇：不等式练习题不等式练习题（二）1.已知两个正数a、b的等差中项是5，则a、b的等比中项的最大值为A.10B.25C.502.若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A.D.100 222aba+ba+b2ab<<abB.<<ab a+b22a+ba+b2ab2aba+bC.D.<ab<<ab<2a+ba+b2a13.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是 xy⎧x≥-1⎪4.若变量x,y满足约束条件⎨y≥x 则z=2x+y的最大值为⎪3x+2y≤5⎩A.1B.2C.3D.4⎧x+3y-3≥0,⎪5.若实数x，y满足不等式组⎨2x-y-3≤0,且x+y的最大值为9，则实数m=⎪x-my+1≥0,⎩A.-2B.-1C.1D.26.若对任意x>0,≤a恒成立，则a的取值范围是__________.x+3x+12ab7若实数a,b满足a+b=2，则3+3的最小值为_______。
8.某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨，8吨和5吨把货物分别调运给甲，乙，丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为8元，6元，9元；从仓库B运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为3元，4元，5元，问应该如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？第二篇：均值不等式练习题均值不等式求最值及不等式证明2013/11/23题型一、均值不等式求最值例题：1、凑系数：当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值。
2、凑项：已知x<51，求函数f(x)=4x-2+的最大值。
44x-5x2+7x+10(x≠-1)的值域。
3、分离：求y=x+14、整体代换：已知a>0，b>0，a+2b=1，求t=11+的最小值。
不等式的试题及答案
不等式的试题及答案不等式是数学中一种重要的表示方式，它可以描述数值之间的关系。
在数学学习中，掌握不等式的解法和理解不等式的性质对于解决实际问题和推理证明都有着重要的意义。
本文将为读者提供一些不等式的试题及答案，帮助读者巩固不等式的知识和解题技巧。
试题一：解不等式将不等式3x + 5 ≤ 2x - 4 转化为不等式的解集形式。
答案一：首先，我们将这个不等式进行简化：3x + 5 ≤ 2x - 4然后，将变量移到一侧，常数移到另一侧，得到：3x - 2x ≤ -4 - 5化简得：x ≤ -9所以，不等式3x + 5 ≤ 2x - 4 的解集形式为x ≤ -9。
试题二：解不等式组解不等式组：{2x + 1 > 5, x - 3 ≤ 7}答案二：我们分别解这两个不等式：2x + 1 > 52x > 5 - 12x > 4x > 2x - 3 ≤ 7x ≤ 7 + 3x ≤ 10所以，不等式组 {2x + 1 > 5, x - 3 ≤ 7} 的解为 x > 2 且x ≤ 10。
试题三：证明不等式证明不等式：若 a > b，则 a + c > b + c，其中 a、b、c 为实数。
答案三：首先，假设 a > b 成立，我们需要证明 a + c > b + c。
由 a > b，我们可以得到 a - b > 0。
然后，将 a + c 和 b + c 相减，得到：(a + c) - (b + c) = a - b由于 a - b > 0，所以 (a + c) - (b + c) > 0，即 a + c > b + c。
所以，若 a > b 成立，则 a + c > b + c。
通过以上试题及答案，我们可以看到不等式的解法及性质运用在各种情况下的灵活性。
细致观察和分析不等式的条件和限制，能够帮助我们准确地找出不等式的解集，解决实际问题以及进行推理证明。
自主招生考试常用不等式
自主招生考试常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
证明：构造一元二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++-，则222222212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++≥等价于判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均nnn a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
不等式单招试题答案
不等式单招试题答案一、选择题1. 若 $a > 0$，$b < 0$，则下列不等式正确的是（）。
A. $a + b > 0$B. $a + b < 0$C. $a - b > a$D. $a - b < a$答案：C解析：由于$a > 0$，$b < 0$，显然$a + b$的和小于$a$，故A、B选项错误。
又因为$a$为正数，$b$为负数，所以$a - b$一定大于$a$，故选C。
2. 对于实数$x$，若$x^2 - 3x + 2 < 0$，则$x$的取值范围是（）。
A. $(1, 2)$B. $(0, 3)$C. $(2, 3)$D. $(1, 3)$答案：C解析：将不等式$x^2 - 3x + 2 < 0$进行因式分解，得到$(x - 1)(x- 2) < 0$。
由此可知，$x$的取值应在两个根1和2之间，故选C。
3. 已知$a, b, c$为正实数，且满足$a + b + c = 1$，求证：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$证明：由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）可知，对于任意正实数$a, b, c$，有：$$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right) \geqslant (1 + 1 + 1)^2$$代入已知条件$a + b + c = 1$，得到：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$二、填空题4. 若$x, y$满足$x^2 + y^2 = 4$，则$x^2y + xy^2$的最大值为______。
答案：4解析：由题意知$x^2 + y^2 = 4$，根据平方和的性质，$x^2y +xy^2$的值不会超过$(x^2 + y^2)(y + x)$的一半，即$4(x + y)$的最大值的一半。
不等式练习题及答案
不等式练习题及答案不等式练习题及答案不等式是数学中常见的概念，它描述了数值之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式也经常被用来建立数学模型。
本文将为大家提供一些不等式练习题及其答案，帮助读者提升对不等式的理解和应用能力。
1. 练习题一：解不等式求解不等式2x - 5 < 3x + 2。
解答：首先，我们可以将不等式转化为等式，即2x - 5 = 3x + 2。
然后，将x项移到一边，常数项移到另一边，得到2x - 3x = 2 + 5。
化简得到-x = 7，再乘以-1，得到x = -7。
所以，不等式2x - 5 < 3x + 2的解集为x < -7。
2. 练习题二：求不等式的解集求解不等式x^2 - 4x > 3。
解答：首先，我们可以将不等式转化为等式，即x^2 - 4x = 3。
然后，将所有项移到一边，得到x^2 - 4x - 3 > 0。
接下来，我们可以使用因式分解或配方法来求解这个二次不等式。
通过因式分解，我们可以得到(x - 3)(x + 1) > 0。
根据零点的性质，我们可以得到x - 3 > 0或x + 1 > 0。
解得x > 3或x > -1。
所以，不等式x^2 - 4x > 3的解集为x > 3。
3. 练习题三：证明不等式证明对于任意正实数a、b和c，有(a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)。
解答：我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。
首先，当n = 2时，不等式成立，即(a + b)^2 ≥ 3ab。
假设当n = k时，不等式成立，即(a1 + a2 + ... + ak)^2 ≥ 3(a1a2 + a2a3 + ... + ak-1ak)。
我们需要证明当n = k + 1时，不等式也成立。
考虑(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)^2，展开后可以得到：(a1 + a2 + ... + ak)^2 + 2(a1 + a2 + ... + ak)(ak+1) + ak+1^2。
自主招生不等式(附答案)
第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。
自学初中数学资料 不等式综合复习(资料附答案)
自学资料一、不等式综合复习【错题精练】例1．已知关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，则下列关于x的不等式中，解为x＜2的是（）A. ax+2＜﹣b+2B. ﹣ax﹣1＜b﹣1C. ax＞bD.【解答】由已知不等式的解集确定出a为负数，确定出所求不等式即可．解：∵关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，∴a＜0，则解为x＜2的是﹣ax﹣1＜b﹣1，故选：B．【答案】B例2．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 1＜a≤7B. a≤7C. a＜1或a≥7D. a=7【解答】求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的解集，得出关于a的不等式，求出a即可．本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．解：解不等式2x＜4得：x＜2，∵不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，∴a﹣1＞0，x，∴≥2，﹣2≥0，≥0，≥0，∵a﹣1＞0，∴解得：1＜a≤7，故选：A．【答案】A例3．已知﹣2＜x+y＜3且1＜x﹣y＜4，则z=2x﹣3y的取值范围是__________ ．第2页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】1＜z＜11例4．若不等式x<a只有5个正整数解，则a的取值范围．【答案】5<a≤6．例5．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a(a−b)+1．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=﹣5，那么不等式3⊕x<13的解集为．【答案】x>−1．【举一反三】1．若关于x的不等式3m−2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．．【答案】1132．我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为，如：，如果有，则x__________ .第3页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】解：列不等式得：2x﹣（3﹣x）＞0，整理得：2x﹣3+x＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．【答案】x＞13．不等式组无解，则a的取值范围是__________.【解答】二、三角形的初步知识综合复习【错题精练】例1．如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF的度数为（）A. 45°∠AB. 90∠AC. 90°﹣∠AD. 180﹣∠A【解答】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，BE=CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE=∠CFD，第4页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠A+2∠EDF=180°，∴∠EDF=90°﹣∠A．故选：B．【答案】B例2．如图∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=22，AC=10，则BE=．【答案】6．例3．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC的度数．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45∘，又∵AB=AC，∴∠ABC=12(180∘−∠BAC)=12(180∘−45∘)=67.5∘，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=67.5∘−45∘=22.5∘，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，第5页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴BF=EF，∴∠BEF=∠CBE=22.5∘，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5∘+22.5∘=45∘．【答案】45°．例4．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55∘，∠BCD=155∘，则∠BPD的度数为．【答案】130°．【举一反三】1．（1）如图1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC=90∘+∠A．（2）如图2所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D=90∘−∠A．（3）如图3，B、C、D在一条直线上，∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，求证∠BPC＝∠BAC．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠OBC+∠OCB=12(180∘−∠A)=12×(180∘−x∘)=90∘−12∠A故∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A（2）证明：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠BCD=12(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB)，由三角形内角和定理得，∠BDC=180∘−∠BCD−∠DBC第6页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180∘−12(∠A+180∘)=180∘−12=90∘−1∠A2（3）证明：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点ECD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D(∠A+2∠1)，∠3=∠4，∴∠1=∠2，∠5=12在△ABE中，∠A=180∘−∠1−∠3∴∠1+∠3=180∘−∠A−−−−①在△CDE中，∠D=180∘−∠4−∠5=180∘−∠3−(∠A+2∠1)，即2∠D=360∘−2∠3−∠A−2∠1=360∘−2(∠1+∠3)−∠A−−−−②，把①代入②得：2∠D=∠A．【答案】略．2．如图，△ABC中，∠ACB=90∘，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22∘，则∠BDC等于（）A. 44°；B. 60°；C. 67°；D. 77°．【答案】C3．如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时针旋转60∘到△CBP′，已知∠AP′B=150∘，P′A:P′C=2:3，求PB:P′A．图一图二第7页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第8页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第9页 共25页 自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞 非学科培训【解答】、（1）证明：在△ABC 和△BAD 中，{AC =BD∠CAB =∠DBA AB =BA，∴△ABC ≌△BAD （SAS ），∴∠C =∠D ，在△ACE 和△BDE 中，{∠AEC =∠BED∠C =∠D AC =BD，∴△ACE ≌△BDE （AAS ），∴AE =BE ；（2）解：①四边形ACBF 为平行四边形，理由如下：由（1）得AE =BE ，∴∠EAB =∠EBA ，∵△ABF 与△ABD 关于直线AB 对称，∴∠EAB =∠BAF 且AD =AF ，∴∠EBA =∠BAF ，又∵△ABC ≌△BAD ，∴BC =AD ，∴BC =AF ，∴四边形ACBF 为平行四边形；②由题意得∠DAB =∠FAB =30∘，∴∠DAF =60∘，过E 作EG ⊥AF 于G ，∵AE =5，DE =3，∴AD =8，∴AF =8，AG =52，GE =5√32，∴GF =112， ∴EF =√EG 2+BF 2=7．【答案】（1）略；（2）平行四边形；7．例2．如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，AB交OP于点Q，且PA=PB，则下列结论：①OP平分∠AOB；②AB是OP的中垂线；③OP平分∠APB；④OP是AB的中垂线；⑤OQ=PQ；其中全部正确的序号是（）A. ①②③；B. ①②④；C. ①③④；D. ③④⑤．【答案】C例3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE=AF，∠EAF=90∘．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB=45∘，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘∴∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中第10页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训{AB =AC∠BAE =∠CAF AE =AF∴△ABE ≌△ACF （SAS ）（2）证明： ∵∠BAC =90∘∴∠ABE +∠BDA =90∘，由（1）得△ABE ≌△ACF∴∠ABE =∠ACF∴∠BDA +∠ACF =90∘又∵∠BDA =∠CDF∴∠CDF +∠ACF =90∘∴∠BFC =90∘∴CF ⊥BD（3）解：∠AFB =45∘不变化，理由如下:点A 作AF 的垂线交BM 于点E ，∵CF ⊥BD∴∠BAC =90∘∴∠ABD +∠BDA =90∘同理∠ACF +∠CDF =90∘∵∠CDF =∠ADB∴∠ABD =∠ACF同（1）理得∠BAE =∠CAF在△ABE 和△ACF 中{∠BAE =∠CAFAB =AC ∠ABD =ACF∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴AE =AF∴△AEF 是等腰直角三角形∴∠AFB =45∘．【答案】（1）略；（2）略；（3）∠AFB =45∘不变化，理由：略．【举一反三】1．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，点D 为AC 上一动点．（1）如图1，点E 、点F 均是射线BD 上的点并且满足AE =AF ，∠EAF =90∘．求证：△ABE ≌△ACF ；（2）在（1）的条件下，求证：CF ⊥BD ；（3）由（1）我们知道∠AFB =45∘，如图2，当点D 的位置发生变化时，过点C 作CF ⊥BD 于F ，连接AF ．那么∠AFB 的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）证明：∵∠BAC=90∘，∴∠ABE+∠BDA=90∘，由（1）得△ABE≌△ACF，∴∠ABE=∠ACF，∴∠BDA+∠ACF=90∘，又∵∠BDA=∠CDF，∴∠CDF+∠ACF=90∘，∴∠BFC=90∘，∴CF⊥BD；（3）解：∠AFB=45∘不变化，理由如下：过点A作AF的垂线交BM于点E，∵CF⊥BD，∴∠BAC=90∘，∴∠ABD+∠BDA=90∘，同理：∠ACF+∠CDF=90∘，∵∠CDF=∠ADB，∴∠ABD=∠ACF，同（1）理得：∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{∠BAE=∠CAF AB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFB=45∘．【答案】略．2．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90∘，∠ADB=90∘，又∵E为AB的中点，∴CE=12AB，DE=12AB，∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）解：∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知EF=3，DE=4，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90∘，EH⊥DF，∴EH=EF⋅EDDF =125，∴DH=√DE2−EH2=165，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=225．【答案】（1）略；（2）225．3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AE=AF；（2）若AB+AC=16，S△ABC=24，∠EDF=120∘，求AD的长．【解答】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED=∠AFD=90∘，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∴S△ABC=12⋅AB⋅DE+12⋅AC⋅DF=12⋅DE(AB+AC)=24，∵AB+AC=16，∴DE=3，∵∠ADE=∠ADF=60∘，∴∠DAE=30∘，∴AD=2DE=6．【答案】（1）略；（2）6．4．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：BD=CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45∘，∴∠ACE+∠DBC=45∘，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90∘，则BD⊥CE．【答案】（1）略；（2）BD=CE，BD⊥CE．5．如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．（1）在图1中，你发现线段AC，BD的数量关系是，直线AC，BD相交成度角．（2）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90∘角，这时（1）中的两个结论是否成立？请做出判断并说明理由．（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．【解答】（1）解：在图1中，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成90度角；（2）解：（1）中结论仍成立；证明如下：如图延长CA交BD于点E，∵等腰直角三角形OAB和OCD，∴OA=OB，OC=OD．∵AC2=AO2+CO2，BD2=OD2+OB2，∴AC=BD．∴△DOB≌△COA(SSS)．∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO．∵∠ACO+∠CAO=90∘，∴∠ACO+∠DBO=90∘，则∠AEB=90∘，即直线AC，BD相交成90∘角．（3）解：结论仍成立；如图延长CA交OD于E，交BD于F，∵∠COD=∠AOB=90∘，∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，即：∠COA=∠DOB．∵CO=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB(SAS)．∴AC=BD，∠ACO=∠ODB．∵∠CEO=∠DEF，∴∠COE=∠EFD=90∘．∴AC⊥BD，即直线AC，BD相交成90∘角．【答案】见解答．四、全等三角形综合复习【错题精练】例1．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．【解答】解：BM=BN，BM⊥BN．理由：在△ABE和△DBC中，{AB=DB∠ABD=∠DBCEB=CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴∠BAE=∠BDC．∴AE=CD．∵M，N分别是AE，CD的中点，∴AM=DN．在△ABM和△DBN中，{AB=DB∠BAM=∠BDNAM=BN，∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180∘，∴∠ABD=∠ABM+∠MBE=90∘．∴∠MBE+∠DBN=90∘．即BM⊥BN．∴BM=BN，BM⊥BN．【答案】BM=BN，BM⊥BN．例2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=10，∠C=30∘，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）DF=；（用含t的代数式表示）（2）求证：△AED≌△FDE；（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）【解答】（1）解：∵DF⊥BC，∴∠CFD=90∘，在Rt△CDF中，∠CFD=90∘，∠C=30∘，CD=2t，∴DF=12CD=t．（2）证明：∵∠CFD=90∘，∠B=90∘，∴DF∥AB．∴∠AED=∠FDE．在△AED和△FDE中，{AE=FD=t∠AED=∠FDEED=DE，∴△AED≌△FDE（SAS）．（3）解：∵△AED≌△FDE，∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．∵∠A=90∘−∠C=60∘，∴AD=AE．∵AE=t，AD=AC−CD=10−2t，∴t =10−2t ．∴t =103． ∴当t 为103时，△DEF 是等边三角形．（4）解：∵△AED ≌△FDE ，∴当△DEF 为直角三角形时，△EDA 是直角三角形．当∠AED =90∘时，AD =2AE ，即10−2t =2t ．解得：t =52；当∠ADE =90∘时，AE =2AD ，即t =2(10−2t )．解得：t =4．综上所述：当t 为52或4时，△DEF 为直角三角形．【答案】（1）t ；（2）略；（3）103；（4）52或4．【举一反三】1．如图，△ABC 中，∠ABC =45∘，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与AD 相交于点G ，DF ⊥AB 于F ，交BE 于H ．下列结论：①AD =BD ；②CE =BH ；③AE =12BG ；④CD +AG =BD ．其中正确的序号是_________．【答案】①③④2．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90∘，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．∵BM=BE．∴∠BME=45∘，∴∠AME=135∘．∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45∘，∴∠ECF=135∘．∴∠AME=∠ECF．∵∠AEB+∠BAE=90∘，∠AEB+∠CEF=90∘，∴∠BAE=∠CEF∴△AME≌△BCF(ASA)．∴AE=EF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE．∴∠N=∠PCE=45∘．四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE．∴∠DAE=∠BEA．∴∠NAE=∠CEF．∴△ANE≌△ECF(ASA)．∴AE=EF．3．如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【解答】（1）解：如图，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB=60∘，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形CF，BF=PB∴DF=CD=12∵P是AB的中点，即PB=1AB=3，2∴BF=3∴；（2）解：分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）证得△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形∴FD=12FC，EF=12BF∴ED=FD+EF=12FC+12BF=12BC=3∴ED为定值同理，如图，若P在BA的延长线上，作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=60∘，∴∠B=∠PMC=60∘，∴PM=PB，且PE⊥BC∴BE=EM=12BM，△PBM是等边三角形∴PM=PB=CQ∵PM∥AC∴∠PMB=∠QCM，∠MPD=∠CQD且PM=CQ ∴△PMD≌△QCD（ASA），∴CD=DM=12CM，∴DE=EM−DM=12BM−12CM=12(BM−CM)=12BC=3综上所述，线段ED的长度保持不变．【答案】（1）；（2）线段ED的长度保持不变．1．已知（a-）＜0，若b=2-a，则b的取值范围是__________．【解答】根据被开方数大于等于0以及不等式的基本性质求出a的取值范围，然后再求出2-a的范围即可得解．2．有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是__________．【解答】由①+②比③+④重可知③与④中至少有一个轻球，由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．3．若a，b均为整数，a+b=﹣2，且a≥2b，则有最大值是__________ .【解答】【答案】14．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（）A. AD=CD；B. BE>CD；C. ∠BEC=∠BDC；D. BE平分∠CBD．【答案】D．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）;A. 35；B. 45；C. 23．D. √32【答案】B．6．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC＝60°，BC＝6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B运动运动至点C，△B′C′D 面积的大小变化情况是（）A. 一直减小；B. 一直不变；C. 先减小后增大；D. 先增大后减小．【答案】D7．如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，E、F分别在边AC和AB上，∠BFE和∠BCD的平分线相交于点P，若∠B=80∘，∠FEC=70∘，则∠1−∠2=°；∠P=°．【答案】15，95．。
不等式练习题(带答案)
不等式基赋本量训练之阳早格格创做一、采用题（原大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0,b >0,则)11)((b a b a ++ 的最小值是 （ ）A ．2B ．22C ．24D ．42．分解法道明不等式中所道的“执果索果”是指觅供使不等式创制的（ ）A ．需要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．需要或者充分条件3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中精确的一个是（ ）A ．111<+b aB ．111≥+b aC ．211<+b aD ．211≥+b a4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定精确的是（ ）A ．a c ≥bB ．a b ≥cC ．bc ≥aD ．a b ≤c5．设a =2，b=37-，26-=c ，则a 、b 、c 间的大小闭系是（ ）A ．a >b>cB ．b>a >cC ．b>c>aD ．a >c>b6．已知a 、b 、m 为正真数，则不等式b a m b m a >++（）A．当a< b时创制B．当a> b时创制C．是可创制与m无闭D．一定创制7．设x为真数，P=e x+e-x，Q=(sin x+cos x)2，则P、Q之间的大小闭系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P<Q8．已知a> b且a+ b <0，则下列不等式创制的是（）A．1>baB．1≥baC．1<baD．1≤ba9．设a、b为正真数，P=a a b b，Ｑ=a b b a，则P、Q的大小闭系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不克不迭决定10．甲、乙二人共时共天沿共一门路走到共一天面，甲有一半时间以速度m止走，另一半时间以速度n止走；乙有一半路途以速度m止走，另一半路途以速度n止走，若m≠n，则甲、乙二人到达指定天面的情况是（）A．甲先到B．乙先到C．甲乙共时到D．不克不迭决定二、挖空题（原大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若正数a、b谦脚a b=a+b+3，则a b的与值范畴是．12．已知a >1，a lgb =100，则lg(a b)的最小值是． 13．使不等式a 2>b 2，1>b a ，lg(a －b )>0，2a >2b-1共时创制的a 、b 、1的大小闭系是．14．修制一个容积为8m 3，深为2m 的少圆体无盖火池，如果池底战池壁的制价每仄圆米分别为120元战80元，则火池的最矮总制价为元．三、解问题（原大题共6题，共76分）15．若a 、b 、c 皆是正数，且a +b+c=1，供证： (1–a )(1–b)(1–c)≥8a bc ．（12分） 16．设21log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分）17．已知a ，b ，c 皆是正数，且a ，b ，c 成等比数列，供证：2222)(c b a c b a +->++（12分）18．已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 = c 2 + d 2，且所有字母均为正，供证：xy ≥ac + bd ．（12分）19．安排一幅传播绘，央供绘里里积为4840cm 2，绘里的宽与下的比为λ（λ<1），绘里的上下各留8cm 空黑，左、左各留5cm 空黑，何如决定绘里的下与宽尺寸，能使传播绘所用纸弛里积最小？（14分） 20．数列{x n }由下列条件决定：N n x ax x a x nn n ∈+=>=+),(21,011．（Ⅰ）道明：对于n ≥2，总有x n ≥a ；（Ⅱ）道明：对于n ≥2，总有x n ≥1+n x ． （14分）参照问案一．采用题（原大题共10小题，每小题5分，共50分）二．挖空题（原大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．x ≥9 12．22 13．a >b>1 14．1760 三、解问题（原大题共6题，共76分） 15．（12分）[道明]：果为a 、b 、c 皆是正数，且a +b+c=1，所以(1–a )(1–b)(1–c)=(b+c)( a +c)( a +b)≥2bc ·2ac ·2ab =8a bc ．16．（12分）[剖析 ]：t t t t a a a21log log 21log +=-+t t t 21,0≥+> （当且仅当t=1常常等号创制）121≥+∴tt（1） 当t=1时，t t a alog 21log =+ （2） 当1≠t 时，121>+tt ，若t t tt a a aalog 2121log ,021log ,1>+>+>则若t t tt a a aalog 2121log ,021log ,10<+<+<<则17．（12分）[道明]：左－左=2（ab +bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列，ac b =2又∵a ，b ，c 皆是正数，所以ac b =<0≤c a ca +<+2∴b c a >+∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab∴2222)(c b a c b a+->++18．（12分）[证法一]：（分解法）∵a , b , c , d , x , y 皆是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )2 即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd展启得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基原不等式，隐然创制 ∴xy ≥ac + bd[证法二]：（概括法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++≥bdac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2[证法三]：（三角代换法） ∵x 2 = a 2 + b 2，∴无妨设a = x sin, b = x cosy 2 = c 2 + d 2 c = y sin, d = y cos∴ac + bd = xy sin sin+ xy coscos= xy cos()≤xy19．（14分）[剖析]：设绘里下为x cm ，宽为λx cm 则λx 2=4840．设纸弛里积为S ，有 S=（x +16）(λx +10) =λ x 2+(16λ+10) x +160,S=5000+44).5(10λλ+当8.)185(85,5取得最小值时即S <==λλλ此时，下：,884840cm x ==λ宽：,558885cm x =⨯=λ问：绘里下为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸弛里积最小．20．（14分）（I ）道明：由,01>=a x 及),(211nn n x ax x +=+可归纳道明0>n x （不道明历程不扣分）进而有).()(211N a a x a x x a x x nn n n n ∈=⋅≥+=+ 所以，当ax n ≥≥,2时创制.（II ）证法一：当)(21,0,21n n n n x ax x a x n +=>≥≥+因为时所以,021)(2121≤-⋅=-+=-+n nn n n n n x x a x x a x x x 故当.,21成立时+≥≥n n x x n证法二：当)(21,0,21n n n x a x x a x n +=>≥≥+因为时所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n nn x x x a x x x ax x x 故当成立时1,2+≥≥n nx xn .。
单招不等式复习题
单招不等式复习题一、选择题1. 若a > 0，b < 0，则不等式ax + b > 0的解集是（）A. x > -b/aB. x < -b/aC. x > 0D. x < 02. 对于任意实数x，下列不等式中正确的是（）A. x^2 ≥ 0B. x^3 ≥ 0C. x^4 ≥ 0D. x ≥ 03. 若不等式|x - 1| < 2的解集是（）A. -1 < x < 3B. -2 < x < 2C. -1 ≤ x ≤ 3D. -2 ≤ x ≤ 2二、填空题4. 已知a < 0，b > 0，且|a| < |b|，则不等式a + b _______ 0。
5. 若不等式组\{x > 2, x < 4\}的解集是_______。
三、解答题6. 证明不等式：对于任意正数a和b，有a + b ≥ 2√(ab)。
7. 解不等式：3x^2 - 6x + 2 > 0，并写出其解集。
8. 解绝对值不等式：|x + 1| + |x - 3| ≥ 4，并讨论其解集。
四、综合题9. 已知不等式组\{x > a, x < b\}，若a和b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，求不等式组的解集。
10. 给定函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若对于所有x ∈ R，都有f(x) ≥ 0，说明理由。
五、开放性问题11. 假设你有一个不等式：|x - 2| ≤ k，其中k > 0，请讨论k的不同取值对解集的影响。
12. 考虑一个实际问题，例如：一个房间的长和宽的比值有限制，如何利用不等式来解决这类问题？本试题旨在帮助考生复习不等式的基本性质、不等式的解法以及不等式在实际问题中的应用。
希望考生通过练习这些题目，能够加深对不等式相关知识点的理解和掌握。
【完】。
2023年自主招生数学专题讲义不等式
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式旳证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数波及到不等式旳证明；交大试题中，不等式部分一般占10%-15%，其中波及到某些考纲之外旳特殊不等式 常用不等式及其推广：需要合适补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、 2121212,,2((112111n n n n na b R a b a bn a a a a na a a n n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥柯西不等式旳证明分析：，a a a A n 22221+++= 设证明：柯西不等式旳推论一柯西不等式旳推论二nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则柯西不等式旳应用柯西不等式练习1、2.已知21x y +=,求22x y +旳最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+旳最小值．第三部分 真题精析：例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例22sin cos ,sin cos 2sin cos 1sin cos ,sin cos ,22x x y y x x x xt x x t x x t ==++-⎡+==∈⎣令令则且（，复旦）（，同济）关键环节提醒：2(1)2(1)121k k k k k k k k k k +=<=<=-+++-。
初升高自主招生——方程与不等式(含答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、一元一次方程、一元二次方程（1）含字母讨论（特别注意：一切实数解与无解的应用）（2）判别式与配方法（3）韦达定理（判别式前提、变形）（4）构造求参2、其他方程（分式方程、无理方程、高次方程、方程组等）（1）思想：降次、消元（2）换元法（整体思想、换元检验）（3）因式分解（猜、凑、待、除、添、拆）（4）技巧：对称换元、主元转换、特殊赋值3、绝对值相关（1）分类讨论（2）公式展开（3）平方法4、不等式问题（1）一元二次不等式（2）均值不等式5、其他（1）整数根问题（韦达定理、初等数论、区间长度等）（2）新定义问题【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+ 【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________． 【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______. 【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p +-=的根12,x x 满足44122x x +≤，则p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
不等式经典题型专题练习(含答案)-
26．解：（1）原不等式组的解集是x＜2；（2）a=1.
27．（1）答案见解析；（2） 型住房 套， 型住房 套获得利润最大；（3）答案见解析．
19．6
20．（1）参赛学生人数在155≤x＜200范围内；
（2）参赛学生人数是180人．
21．（1）40,50（2）当m=15时，总费用最低
22．（1）共有8种购买方案，
方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；
方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；
（3）在（2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元（a＞0），市政府如何确定方案才能使费用最少？
25．如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次 ．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，求a的取值范围．
16．某宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，如果全住一楼，若按每间4人安排，则房间不够；若按每间5人安排，则有的房间住不满5人．如果全住在二楼，若按每间3人安排，则房间不够；若按每间4人安排，则有的房间住不满4人，试求该宾馆一楼有多少间客房?
17．3个小组计划在10天内生产500件产品（计划生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产一件产品，就能提前完成任务。每个小组原先每天生产多少件产品？
方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；
不等式练习题及答案
不等式练习题及答案不等式是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系，通常用于解决实际问题中的最值问题。
下面我将提供一些不等式的练习题，以及相应的答案，帮助大家更好地理解和掌握不等式的解法。
练习题1：解不等式：\[ x^2 - 5x + 6 < 0 \]答案：首先，将不等式因式分解为：\[ (x-2)(x-3) < 0 \]因此，不等式成立的条件是两个因子的乘积为负数，即一个因子为正，另一个为负。
这发生在\[ 2 < x < 3 \]的区间内。
练习题2：解绝对值不等式：\[ |x - 4| > 3 \]答案：绝对值不等式可以分成两个不等式来解：1. 当\[ x - 4 > 3 \]时，解得\[ x > 7 \]。
2. 当\[ -(x - 4) > 3 \]，即\[ x - 4 < -3 \]时，解得\[ x < 1 \]。
因此，不等式的解集为\[ x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty) \]。
练习题3：解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 0 \\x - 3 < 0\end{cases}\]答案：第一个不等式\[ x + 2 > 0 \]解得\[ x > -2 \]。
第二个不等式\[ x - 3 < 0 \]解得\[ x < 3 \]。
因此，不等式组的解集是两个解集的交集，即\[ -2 < x < 3 \]。
练习题4：解不等式：\[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} \geq 0 \]答案：首先，将分子因式分解为\[ (x+1)(x-1) \]，然后考虑分母不能为零，即\[ x \neq 1 \]。
接下来，我们分析分子和分母的符号：- 当\[ x < -1 \]时，分子和分母都是负数，因此整个表达式是正数。
- 当\[ -1 < x < 1 \]时，分子是正数，分母是负数，因此整个表达式是负数。
不等式专题训练有详解答案
不等式专题训练一、单项选择1．不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)(2,)-∞⋃+∞ 2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．a 2＞b 2C ．2a ＞2bD ．3．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A . 22a b < B.22a b ab < C.220a b -< D.11a b> 4．在直角坐标系中，满足不等式y x ≥的点(,)x y 的集合（用阴影表示）是( )5．若,0<<b a 下列不等式成立的是 （ ） A ．22b a < B ．ab a <2 C ．1<a b D ．ba 11< 6．若0,10ab <-<<，则下列不等关系正确的是（ ）A ．2ab ab a >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2a ab ab >> 7．不等式x x >2的解集是（ ）)0,.(-∞A )1,0.(B +∞,1.(C ) ),1()0,.(+∞-∞ D8．下列不等式结论成立的是（ ） A ．a b c d a c +>+⇒>且b d >B ．22ac bc a b >⇒>C ．c bab cd a d>⇒< D a b >⇔> 9．若b> a >0, d>c>0,则 （ ）A. a －c>b －dB.dbc a > C.a +c>b+d D. a c<bd10．设22,1t a b s a b =+=++,则s 与t 的大小关系是( ) A. s t ≥ B. s t > C. s t ≤ D. s t <11．已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是（ ）A.22a b am bm >⇒>33a b >110ab a b >⇒<12．设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的最大值为A.-3 B ．3 C ．4 D.-213．已知点 M （x ，y ）满足，点N 为（1，﹣3），则的最小值（ ）A ． 12B ． 5C ．﹣6D ． ﹣2114．若,x y 满足约束条件0,4,0,x y x y y k -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且3z x y =+的最小值为8-，则k =（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2- 15．设a<－1，则关于x 的不等式0)1)((<--ax a x a 的解集是 （ ） A. }1{a x a x x ><或 B ．{x|x>a} C. }1{a x a x x <>或 D.}1{ax x < 16．设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则 （ ） A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>a D ．c>a>b17．设不等式组0x y x y y ⎧+≤⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎩M，函数y =x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为（ ） A.4π B. 8π C. 16π D. 2π18．已知变量x 、y 满足约束条件00220x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ． 4 19．若11<<0a b，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b <＋ D ．a b a b >+＋ 20．若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负数解，则a 的取值范围是（ ）A ．1334a -<<B ．131344a -<<C ．33a -<<D ．1334a -<< 21.若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点()1,1，则3ba b a++的最小值等于（ ）A. 6B. 3C. 7D. 4 22．已知正数x 、y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩,则11()()42x y z =的最小值为（ ）A ． 1 B. C. D.23. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥>+-≤-+10103y y x y x ，则x y x z 2+=的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 24．设a >1，0<b <1，则a b b a log log +的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,2B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．(]2,-∞- 25.在R 上定义运算：x y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)(x ＋a)＜1对任意实数x 都成立，则（ ）A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2 C.2321-<<a D. 2123-<<a26.设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为（ ） A．．8 C．．4+27.若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ） A .73 B. 37 C.43 D. 3428.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（ ）Ａ.2- B ．1- C ．0 D ．129.已知0,0>>b a ，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则m 的最大值等于（ ） A.10 B.9 C.8 D.730．若实数,x y 满足不等式组2010220x y y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪--≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是（ ） A.-2 B.0 C.1 D.2二．填空题31．设yyx x B y x y x A y x +++=+++=>>11,1,0,0，则A 、B 的大小关系是 。
不等式补充练习题及答案.doc
不等式补充练习题及答案x + y = a + — + Ja2 +^- > 2 + V2 (当°=1 时取“=") a v a兀一y = ——< --------- -- = 2 — V2，艮卩y _ V2 n 兀_ 2兀+y 2+J2・・・原不等式成立2、已知a>b>c,a+b+c= l,a^+b^+c^—3,求证:一—< b + c < —3 2证明：由(a+b+c)2 = 1,討+b^+c^—3,得ab+bc+ca= — 1.由a>b>c知至少有c<0.a +方 + c = 1, a+b>l,a> —，贝ij b+c= 1 — a V 丄.2 2又-{ab + ac) = —a(b+c) = l+bcVl+ ^±fE_(TbHc),、丄ci丿r—a(l — a)<l + - ,即3Q —2Q —5<0— IV a V —---- < 1 —Q<2,即一一vb + c<2,又b + c < —3 3 3 2. 2 , 13 23、已矢口°〉0且°工1,关于兀的不等式Q" >啲解集是(-oo,0),求关于x的不等式log fl(x-—) > 0x 的解集。
解：•.•不等式/ > 1的解集是(-oo,0), :.0<a<lx-丄〉0XJ<1 X-1 + V521 + V52A = m2 -4(2m -2) < 0或<—<0/(0) = 2m-2>0或v/(I)m -—>12=l-m + 2m-原不等式的解集是｛X丨—1 < X < -1 严或1 < X <匕三近｝4、设X B = {xlk -11 < a,a > 0).若At B = B ,求实数a 的取[I x + 兀 + 4值范围.解：••• A=[l,2], B = (l~a,l + a\ A\J B = B,:. ] °, :.a>l1 + a >2jr5、奇函数/'(x)的定义域为R,且在［0, + oo)±是增函数，当0 <0<|时，是否存在实数_ JIm,使 / (cos26* - 3) + f(4m - 2m cos3) > f(0)对所有的0 e [0,—]均成立？若存在，求岀适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。
2016年广东自主招生数学模拟试题：不等式的性质
2016年自主招生数学模拟试题:不等式的性质【试题容来自于相关和学校提供】1：设.则下列不等式一定成立的是( )A、B、C、D、2：已知，则下列不等式正确的是A、B、C、D、3：若，则下列不等式成立的是（）A、B、C、D、4：（2009•）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+ ＞2中，正确的不等式有（）A、0个B、1个C、2个D、3个5：若，有下面四个不等式：（1）;（2）a<b （3）a+b<ab; （4）,不正确的不等式的个数是（）A、0B、1C、2D、36：若，，则、的大小关系是 .7：[2014•期末]若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________。
8：已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋<2 ，＋<2 ，＋<2 ，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________。
9：已知，则不等式的解集为 10：设，，则AB（用不等号连接）。
11：2014年8月，第2届青年奥林匹克运动会在市举行，下表为奥运会官方票务公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用2000元预订15下表中球类比赛的门票:比赛项目票价(元/场)篮球160足球110乒乓球90若在准备资金允许的围和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过篮球比赛门票的费用，求可以预订的篮球比赛门票数. 12：已知a=(1,x),b=(x 2+x,-x),m为常数且m≤-2,求使不等式a•b+2＞m 成立的x的围.13：已知定义在上的函数(其中). (I)求的值；(II)解关于的不等式.14：已知不等式的解集是。
（1）若，求的取值围；（2）若，求不等式的解集。
15：（选做题）选修4－5：不等式选讲用数学归纳法证明：答案部分1、D试题分析：由得不到，故A错误.利用基本不等式得，故B错误；令a=-1,b=-1得，即，故C错误；，，故选D. 考点：不等式的基本性质；基本不等式。
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自主招生数学专题一：不等式
不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件.
近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢.
面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉.
【知识梳理】
1证明均值不等式
2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式
3证明排序不等式
【重要例题】
1(2015北大体验营)1=++c b a 求)
1)(1)(1(c b a abc
---的最大值
21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3
1
222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311
1
≥+
+
c
b
a
6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab
3(2016清华自主招生)12
==∑∑x
x 求xyz 最值(原题为不定项选择题)
4设0,,>c b a ,求证2≥+++c
b c b a a c
5(2008南开)5262
+=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值
6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3
≥++z c
y b x a
7求2
211x y y x -+-的最大值
8(2010浙大),,11
+=∈=∑R x x i n
i i 求证41
3
>-∑
i i x x
9(2014北方数学奥林匹克)1432=+++w z y x ,求22
)(∑∑+x x
的最小值
10设0,,>c b a ,求c
b a c
c b a b c b a c a 382423++-++++++的最小值
11(2000国际数学奥林匹克)设0,,>z y x ,1=xyz ,求证)
1)(1)(1(1
11x z y z y x +-+-+-
【思考提升】这几年联赛重新开始考不等式，是最简单的一道难题，大家可以尝试从不等式开始，或许还能拿个奖，当然也要防备多项式之类的，下面是一些可以选用的题 12(2014巴尔干地区数学奥林匹克)xyz yz xz xy 3=++,求证:32
2
2
2
-≥++∑x x z z y y x
13求证Shapiro 和Nesbitt 不等式的三元形式: 设0,,>c b a ,求证:2
3
≥+++++b a c a c b c b a 14(2013北大数学金秋营)3=++z y x ,求证:12323
23≤+
+++++++y
x z z
z
z y y z
y x x
151)设R y i +∈,11=∏=n i y i ,求证:11111-<<∑=+n y n
i i
2),,),1,0(120151
a a A a i
n
i i a a i i ==
∈∏=证明:∑∑
==<<+2014
1
log 12014
1
log 11
1i A i a a i
A i i i a
16(2015北大数学夏令营)43214321,,,b b b b a a a a ≤≤≤≤,求证
)
)1())(1()()1())(1(()1())(1(4232124232124423322112b p b b p p b p a p a a p p a p b a p b a b a p p b a p -++-+-++-+≥-++-+17(2015北大数学夏令营)111=∑=n i i
a ,求证1
221},...,max{-≤n n a a a n
18(2015北大体验营)求证:3
5222...21<+++---n 19∑≥≥≥≥125,7,6,52
x z y x ,求x+y+z 的最小值
20设0,,,>k c b a ,当)
)(())()((c a
b c a b a c c b b a a c c b b a k k k ++++≤+++时,求k 的最大值 21n a a a ,...,21是互不相等的正整数,证明:
∑∑==≥+n
i n
i i
i
a a a
1
21
375
)()(
220122
3
4
=++++bx x ax x 有实根，求证82
2
≥+b a 233
2
4
3
,0,y x y x y x +≤+>，求证23
3
≤+y x
241,,,=++∈+c b a R c b a ，求证：)1)(1)(1(8)1)(1)(1(c b a c b a ---≥+++
25(景山初二贯通班期末考试复习题)122
2
=+-y xy x ，求2
2
2y x +最大值与最小值的和。