2019年北大清华数学金秋营完整试题及解析
北大金秋营试题-10份,正反精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 2016年北大金秋营试题1、在ABC ∆内部有一点P 满足4C A P CB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ∆的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠.2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=11112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中，),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值.3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立.4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(m od 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价：（1）p 为模q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解.5、记函数∑==40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值.6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值.7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方.8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.。
2020年北京大学金秋营试题
年北京大学金秋营试题（考生回忆版）
第一天
1.对于非负实数，，，，考虑如下个实数
其中，记为这个数中所有正数之和，的条件下，求的
最小值
2.中，为的中点，，分别为，中点，
外接圆与射线，交于点，，交于点，证明：
若、、共点，则、交点在上
3.数列满足：，，已知求证：
4.求的最小值，使得将方格挖去个格后，剩余图形不存在字形（字形指一个方
格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）
第二天
，直线，，分别交对边于，，，若四边形，
，都有内切圆，求证：
6.若自然数可以写成若干个自己的不同的因数的和，其中有个为，就称为好数，证明：对任意大于，存在无穷个的正倍数为好数，且最小的倍数不大于，其中是最大的奇素因数（若为二的幂，则为）
7.为素奇数，
8.求所有的，使得平面上有个完全相同的凸多边形，且满足对任意个凸多边形，所有在他们之中且不在其余多边形中的点的集合为凸多边形（非退化）。
2019北京清华附中高三(下)开学考试数学(理)含答案
2019北京清华附中高三（下）开学考试数学(理)一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）1.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A.B.C.D.2.已知圆的极坐标方程为，则其圆心坐标为（）A.B.C.D.3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A.4B.3C.D.4.设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上概率不小于，则的最小值为（）A.4B.5C.6D.76.自点A（﹣3，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则A到切点的距离为（）A.B.3C.D.57.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）A B.C.D.8.已知点是平面区域内的动点,点为坐标原点,设的最小值为,若恒成立,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（共6小题；共6×5＝30分）9.在等差数列中，若,则该数列的通项公式=_____10.展开式中的常数项为，则_________．11.若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．12.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．13.已知非零向量，满足||＝1，与的夹角为30°，则||的最小值是_____．14.在平面直角坐标系x O y中，对于⊙O：x2+y2＝1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P＝r；若P不与O重合，射线O P与⊙O的交点为A，S P＝A P的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1＝0在圆内部分点到⊙O的最长距离为_____；（2）若线段M N上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段M N，都有S T≥S P成立．则线段M N的最大长度为_____．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知函数，（其中），其部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）已知横坐标分别为、、的三点都在函数的图像上，求的值．16.某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：编号项目收案（件）结案（件）判决（件）1刑事案件2400240024002婚姻家庭、继承纠纷案件3000290012003权属、侵权纠纷案件4100400020004合同纠纷案件1400013000n其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．17.如图，四边形A B C D与B D E F均为菱形，∠D A B=∠D B F=60°，且F A=F C．（Ⅰ）求证：A C⊥平面B D E F；（Ⅱ）求证：F C∥平面E A D；（Ⅲ）求二面角A﹣F C﹣B的余弦值．18.已知椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线A A0垂直于直线x＝4，垂足为A0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．19.设f（x）＝x e x﹣a x2﹣2a x．（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在x＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．20.如果无穷数列{a n}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a n}具有性质P．（Ⅰ）若a n（k∈N*），判断数列{a n}是否具有性质P，并说明理由，（Ⅱ）若数列{a n}具有性质P，求证：{a n}中一定存在三项a i，a j，a k（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；（Ⅲ）若数列{a n}具有性质P，则{a n}中是否一定存在四项a i，a j，a k，a l，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．2019北京清华附中高三（下）开学考试数学(理)参考答案一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）1.【答案】A【解析】因为，所以应选答案A．2.【答案】B【解析】【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意知，圆的极坐标方程为，即，即，所以，所以圆心坐标为，又由，可得圆心的极坐标为，故选B.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.【答案】A【解析】执行程序框图，，第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第五次循环，结束循环，输出故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.【详解】由（a﹣b）a2＜0得到：，则a＜b成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题. 5.【答案】A【解析】由题意得,选A.6.【答案】D【解析】【分析】求出圆心和半径，求出A C的值，可得切线的长度.【详解】圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1表示以C(2,3)为圆心，1为半径的圆，由于且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，故切线长为：故选：D【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.7.【答案】B【解析】【分析】由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解.【详解】A B C D E底面可以看成直角梯形A D E B和直角三角形B E C构成，则：故选：B【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.8.【答案】C【解析】试题分析：直线恒过定点，当时，约束条件对应的可行域如图，则的最小值为，满足，当时，直线与轴重合，平面区域为图中轴右侧的阴影区域，则的最小值为，满足，当时，由约束条件表示的可行域如图，点与点重合时，的最小值为，联立，解得，所以，由，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题（共6小题；共6×5＝30分）9.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式.【详解】解：设等差数列的公差为d，由①，可得②，可得②-①，，可得，把代入①，可得，可得，可得数列的通项公式，故答案：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.10.【答案】或【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a的值．【详解】（+）10展开式中的通项公式为T r+1=•a r•，令5﹣=0，求得r=2，可得它的常数项为a2•=180，故a=±2，故答案为或【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.11.【答案】(或)【解析】函数的图象过点，则，，，.,,,有于在为减函数，所以，解得.【点睛】根据函数图象过已知点，求出，借助的范围求出的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据的范围研究的范围，有时还要关注的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.12.【答案】【解析】由题意设所求双曲线的方程为，∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即．答案：13.【答案】．【解析】【分析】构造满足题意的三角形，根据几何意义求出||的最小值.【详解】根据题意：作过C作，垂直为D，则C D的长度即为||的最小值，，故||的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14.【答案】(1).1(2).4【解析】【分析】（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，即得解；（2）分析可得S P≤1，因此当线段M N过原点时，当线段M N过原点时，M N的最大长度为4，即得解.【详解】作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，取得最小值，此时P到⊙O的距离最长，此时O P，则A P＝1﹣O P＝1．（2）∵点T⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S P成立，∴S P≤1，∀点P∈线段M N，若P在圆内，都满足S P≤1；若P在圆外，P必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界）∴当线段M N过原点时，M N的最大长度为1+2+1＝4，【点睛】本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题（共6小题；共80分）15.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力.第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到，再利用特殊点（1,1）解出的值，从而得到解析式；第二问，先利用、、的三点都在函数的图像上，得到点坐标，从而利用两点间距离公式得到边M N、M P、P N的长，利用余弦定理得到的值，最后利用平方关系得到，法二：还可以利用向量的数量积来计算.试题解析：（1）由图可知，，最小正周期∴又∵，且∴，∴．（2）解法一:∵，∴，，从而，∵，∴.考点：三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.16.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）；【解析】【分析】（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解;（Ⅲ）设4类案件的均值为，则,代入运算，得解.【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100＝9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法，设“在该结案案件中取1件判决案件”事件B，则P（B）；（Ⅲ）；设4类案件的均值为，则[][][][]．【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 17.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，由，知，由此能够证明平面；（Ⅱ）因为四边形与均为菱形，所以，平面平面，由此能够证明平面；（Ⅲ）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为为中点，所以，故平面，由两两垂直，建立空间直角坐标系，设，因为四边形为菱形，，则，所以，，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由此能求出二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：设A C与B D相交于点O，连接F O．因为四边形A B C D为菱形，所以A C⊥B D，且O为A C中点．又F A=F C，所以A C⊥F O．因为F O∩B D=O，所以A C⊥平面B D E F．（Ⅱ）证明：因为四边形A B C D与B D E F均为菱形，所以A D∥B C，D E∥B F，所以平面F B C∥平面E A D．又F C⊂平面F B C，所以F C∥平面E A D．（Ⅲ）解：因为四边形B D E F为菱形，且∠D B F=60°，所以△D B F为等边三角形．因为O为B D中点，所以F O⊥B D，故F O⊥平面A B C D．由O A，O B，O F两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣x y z．…（9分）设A B=2．因为四边形A B C D为菱形，∠D A B=60°，则B D=2，所以O B=1，．所以．所以，．设平面B F C的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面A F C的法向量为=（0，1，0）．由二面角A﹣F C﹣B是锐角，得|c o s＜，＞|==．所以二面角A﹣F C﹣B的余弦值为．18.【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用即可得解；（Ⅱ）设A B方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点.【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，∴⇒m＝4，（Ⅱ）当直线A B与x轴不重合时，设其方程为x＝m y+1．A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．∴，．因为A0（4，y1），，所以直线A0B的方程为：y﹣y1，⇒y．∵，∴，∴直线A0B的方程为：y，当直线A B与x轴重合时，直线A0B与x轴重合，综上，直线A0B恒过定点（，0）【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.19.【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．【解析】【分析】（Ⅱ）分a≤0，a＞0两种情况分析导数极值，得到f（l n2a）是极大值，由极大值小于0，求a的取值范围.【详解】（Ⅰ）f'（x）＝e x+x e x﹣2a x﹣2a＝（x+1）（e x﹣2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，所以由题意得：0，∴a；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a≤0时，即a≤0时，e x﹣2a≥0，∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）有极小值，无极大值；当a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝l n2a，当l n2a＞﹣1时，即a，∴x∈（﹣∞，﹣1）和（l n2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣1＜x＜l n2a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（﹣1）为极大值，且f（﹣1）a，由题意得：f（﹣1）＜0，∴；当l n2a＜﹣1时，即0＜a，∴x∈（﹣∞，l n2a）和（﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（l n2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（l n2a）极大值，且f（l n2a）＝2a l n2a﹣a l n22a﹣2a l n2a＝﹣a l n22a＜0恒成立；当l n2a＝﹣1时，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）单调递增，无极值，舍去；综上所述：符合条件的a的取值范围：（0，）∪（，）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.20.【答案】（Ⅰ）数列{a n}具有性质P．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分n为奇数，n为偶数讨论，研究a n包含的数的情况，即得解;（Ⅱ）考虑，令，从开始寻找第一个大于M的项，记为：,分为奇数，偶数讨论，分别构造，为公差为奇数的等差数列，即得证.（Ⅲ）构造反例：为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反证法，即得证,【详解】（Ⅰ）解：∵a n（k∈N*），∴数列{a n}具有性质P．理由如下：当n为奇数，n∈N*时，a n＝n+1包含所有的正偶数，当n为偶数，n∈N*时，a n＝n﹣1包含所有的正奇数，∴无穷数列{a n}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，∴数列{a n}具有性质P．（Ⅱ）证明：不妨设考虑，令，从开始寻找第一个大于M的项，记为：，则中含有1，2，且为前j项中的最大项()(i)若为奇数，，所以在之后，记为，则，为公差为奇数的等差数列;(i i)若为偶数，令，则，为公差为奇数的等差数列.故结论成立.（Ⅲ）不一定存在例如为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,即每三项构成一组，第k组的通项公式为：2k-1,4k-2,4k，假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差，由于中，任意一项奇数后面的偶数都大于等于2，因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差.故假设不成立.【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.。
2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)
清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x =，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离B ．||AB 的最小值为4C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误．5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ）A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅．6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π， 类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】由于x z y x 311121≤++=，故63≤≤x ．若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ；若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ． 10．集合},,,{21n a a a A =，任取Aa a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ． 3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβα D ． 3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zx zx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx x z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyz zy x zx yz xy ．答案BD ．12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0B ．xyz 的最大值为274-C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ） A ．nn n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数 D ．781-+n n a a 为完全平方数【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误． 说明：若数列}{n a 满足nn n a pa a -=++12，则nn n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+z z ，则z 可以取到的值有（ ）A ．21B ．21-C ．215-D ． 215+【答案】CD【解析】因为11||1||=+≤-z z z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A ．6552B ．4536C ．3528D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=b a（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b ab a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则k b a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有nI 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n n n n n C n n C n A C I ．答案：AB ．关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯． 21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23．22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ．【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322-【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ． 【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ．27．已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z ．【答案】12i - 【解析】根据题意，有i z z z z z z 35sin 35cos 122223+=-=+=+++ππ28．已知z 为非零复数，z z 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .【答案】2003003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29．若334tan =x ，则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ．【解析】根据题意，有x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<< 21．若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
2019-2020北京大学和清华大学强基计划数学笔试试题
2019年北京大学博雅计划笔试试题1.金字塔的底座为边长是200米的正方形。
如果一个游客处于距离底座中心200米的圆周上，则游客可以同时看到金字塔两个塔面的概率为________。
A. 13B. 12C. √32D.以上答案都不对2. 已知f (x )=a sin x ,x ∈[0,π2]. 其中a >0. 若f(x)与其反函数y =f −1(x)有两个交点，则实数a 的取值范围是_________。
A.0<a <1 B. 1<a <π2C. 2π<a <π2D.以上答案都不对3.f (x )=√1+x 2+1−x 21+x 2的取值范围是___________。
A.(−2,1]B.(−2,98]C.(−2,98)D.以上答案都不对4.四面体P −ABC 的底面是边长为2的正三角形ABC ，PC 垂直于面ABC ，PC =1. M,N 分别为AB,BC 的中点，则异面直线PN,CM 的夹角的正弦值为__________。
A. 14B. √54C.√104D.以上答案都不对5.已知函数f(x)满足对任意的x ≠0或1，均有f (x )+f (11−x )=x . 求f (2). 6. 已知点A (12,√32)关于直线y =kx 的对称点A′落在圆(x −2)2+y 2=1上，则k的值为_________。
A. 12B. √33C.1D.以上答案都不对7.已知x,y,z 均为正实数。
则f (x,y,z )=xyz(1+4x)(9x+y)(4y+z)(9z+1)的最大值为_____。
A. 1576B. 11024 C. 11296D.以上答案都不对8.已知a,b,z 均为复数，对任意的|z |=1，均有|z 4+az 2+b |=1. 则ab 的值为_________。
A.i B.−i C.1 D.以上答案都不对9.从6名男员工和4名女员工中各抽取2人，组成羽毛球混合双比赛。
关于金秋营面试、北大数学营考试难度等的讨论
关于金秋营面试、北大数学营考试难度等的讨论闽+16信数-米苏“清华还看重平时综合成绩，北大更不拘小节”这点在信息科上没有体现出来。
我记得申请清北信息夏令营时,填的报名表让我有相反的看法，清华只要求我们填历次竞赛的成绩与名次，北大除了这些之外,还要各科综合成绩,还要年段排名,还有兴趣爱好,得奖的要求也不限于信息,允许有数学\音乐等等，我记得当时填表时,对北大的申请表非常头痛，折腾好久，但是我老公因此看上北大,让孩子选了北大夏令营，当时两所都通过了资格审查。
粤+15数学-大王清华会关注孩子的平时综合成绩，有时单凭综合成绩而签约。
北大的表让人头痛，让人反感，但感觉北大没看表内容，最后签约很爽快。
闽+16信数-米苏还有一点，两校夏令营差别也很大,我只说信息，信息夏令营上,我儿同学有去清华的,两天考两场,一场机试,一场面试,还参观学校等等,感觉比较轻松。
北大是两天考六场，四场机试,一场数学,一场面试,面试还要面两次.时间安排非常紧，但是签约时两校基本都是根据考试成绩签的。
粤+16数学-酸橙信息金牌多去清华，数理化金牌多去北大。
牛孩多选择去最强的学校，但最强的学校并不见得是最适合孩子的学校，不见得是让孩子有最多机会的学校。
能签最强的当然好，退一步有时可能更好。
工科就业较理科容易，就算是做研究性的工作，在大学任教，工科教授的薪酬也是高过理科的。
孩子如果不是一心只想学理科，建议签专业时考虑签工科类的。
理科越往后学，出路越窄，不是真心热爱很难坚持的。
鄂+16化学-玛丽@粤+16数学-酸橙你孩子签的是北大还是清华？粤+16数学-酸橙选择的是清华。
也许本科阶段的竞争不会那样激烈，孩子的压力不会那么大。
最合适的才是最好的。
闽+16信数-米苏我前段看到高中群发了一个博客中有一段话,觉得蛮受用的，在本科阶段，学生不一定需要获得多么艰深的专业知识，更重要的在于，他们能够通过系统性的学术训练，为未来发展打下坚实的基础，掌握正确的思维方法，养成良好的阅读和思考习惯，在面对复杂资讯和局面时知道从哪个方向入手去解决问题，获得终身学习的能力。
北京市清华大学附属中学2019届高三下学期入学检测数学(理)试题 Word版含解析
高三第二学期入学检测试卷数学(理)一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）1.已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A. 1i -B. 1i +C.1122i - D.1122i + 【答案】A 【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 2.已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B. 32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B . 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 4B. 3C. 2-D. 3-【答案】A 【解析】执行程序框图，2i = ，第一次循环，2;s = 3i = ，第二次循环，1;s =-4i = ，第三次循环，3;s =5i = ，第四次循环，2;s =-6i = ，第五次循环，4;s =7i = 结束循环，输出4,s =故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4.设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.【详解】由（a ﹣b ）a 2＜0得到：0,0a a b ≠-<，则a ＜b 成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.5.将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】由题意得1151()4216nn -=⇒= ,选A. 6.自点 A （﹣3，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1的切线，则A 到切点的距离为（ ）B. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出AC 的值，可得切线的长度.【详解】圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1表示以C (2,3)为圆心，1为半径的圆，由于AC =且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，5= 故选：D【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.7.某几何体三视图如图所示，在该几何体的体积是（ ）A.103B.203C.25D.45【答案】B 【解析】 【分析】由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥，其中PA ⊥平面ABCD ，作BE CD ⊥，垂足为E 底面可以看成直角梯形ADEB 和直角三角形BEC 构成， 则：1121204(222)3223V +=⨯⨯⨯+⨯⨯= 故选：B【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.8.已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A. 11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：直线()4x m y=-恒过定点(0,4)，当0m>时，约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m=时，直线()4x m y=-与y轴重合，平面区域()4{04yx yx m y≤-≤≥-为图中y轴右侧的阴影区域，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m<时，由约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-表示的可行域如图，点P与点B重合时，()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB=u u u r，联立{(4)y xx m y==-，解得44(,)11m mBm m--，所以421mOBm=-u u u r，由4221mm≤-，解得1135m-≤≤，所以13m-≤≤，综上所述，实数m的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题（共6小题；共6×5＝30分） 9.在等差数列{}n a 中，若()246n n a a n n N *++=+∈,则该数列的通项公式na=_____【答案】21n + 【解析】 【分析】由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由246n n a a n ++=+ ①， 可得24414n n a a n +++=+ ② ，可得②-①，48n n a a +-=，可得2d =， 把1n =代入①，可得12410a +=，可得13a =， 可得数列的通项公式32(1)21n a n n =+-=+， 故答案：21n +.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.10.102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a =_________．【答案】2或2- 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a 的值．【详解】2a x ）10展开式中的通项公式为 T r+1=10r C •a r •552r x -， 令5﹣52r =0，求得r=2，可得它的常数项为a 2•210C =180，故a=±2， 故答案为2或2-【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是____． 【答案】π7π(,)1212(或π7π[,]1212) 【解析】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(，则2sin ϕ=sin ϕ= ，0,23Q ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤Q ,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤.【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.12.经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -=【解析】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=13.已知非零向量a r ，b r 满足|b r |＝1，b r 与b a r r -的夹角为30°，则|a r|的最小值是_____．【答案】12． 【解析】 【分析】构造满足题意的三角形，根据几何意义求出|a r|的最小值.【详解】根据题意：作,,30o CB a CA b b a BA A ==∴-=∠=u u u r r u u u r r r r u u u r过C 作CD AB ⊥，垂直为D ，则CD 的长度即为|a r|的最小值，1=sin 302o CD CA =，故|a r|的最小值为12故答案为：12【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙O ：x 2+y 2＝1来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S P 的定义如下：若P 与O 重合，S P ＝r ；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙O 的交点为A ，S P ＝AP 的长度（如图）．（1）直线2x +2y +1＝0在圆内部分的点到⊙O 的最长距离为_____； （2）若线段MN 上存在点T ，使得： ①点T 在⊙O 内；②∀点P ∈线段MN ，都有S T ≥S P 成立．则线段MN 的最大长度为_____．【答案】 (1). 124- (2). 4 【解析】 【分析】（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，此时P 到⊙O 的距离最长，即得解；（2）分析可得S P ≤1，因此当线段MN 过原点时，当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为4，即得解.【详解】作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，|OP|取得最小值，此时P 到⊙O 的距离最长， 此时OP 22124822===+，则AP ＝1﹣OP ＝124-． （2）∵点T⊙O 内，∴S T ≤1，∵S T ≥S P 成立，∴S P ≤1，∀点P ∈线段MN ，若P 在圆内，都满足S P ≤1；若P 在圆外，P 必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界） ∴当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为1+2+1＝4，【点睛】本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题（共6小题；共80分）15.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．【答案】（1）()sin()44f x x ππ=+；（2）45. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到ω，再利用特殊点（1,1）解出ϕ的值，从而得到()f x 解析式；第二问，先利用1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，得到,,M N P 点坐标，从而利用两点间距离公式得到边MN 、MP 、PN 的长，利用余弦定理得到cos MNP ∠的值，最后利用平方关系得到sin MNP ∠，法二：还可以利用向量的数量积来计算.试题解析：（1）由图可知，1A =， 最小正周期428,T =⨯=∴2ππ8,.4T ωω===又∵π(1)sin()14f ϕ=+=，且ππ22ϕ-<< ∴ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==∴()sin()44f x x ππ=+．（2） 解法一: ∵ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin(51)14f =+=-， ∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，MN MP PN ==从而3cos 5MNP ∠==-，∵()0,MNP π∠∈，∴4sin 5MNP ∠==. 考点：三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.16.某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题． （Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ，方差为S 12，如果表中n x =，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S 22，试判断S 12与S 22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）． 【答案】（Ⅰ）9395；（Ⅱ）1229；（Ⅲ）2212S S ＞； 【解析】 【分析】（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解; （Ⅲ）设4类案件的均值为x ，则34x xX x +==,代入运算，得解. 【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件， 共有2400+3000+4100＝9500种取法， 其中取到的是结案案件方法数为 2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ， 则P （A ）9395=； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法， 其中是判决案件有1200种取法， 设“在该结案案件中取1件判决案件”事件B ，则P （B ）1229=； （Ⅲ）2212S S ＞；设4类案件的均值为x ，则34x xX x +== 2214S =[22221234()()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[()2222123()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[222123()()()x x x x x x -+-+-] 13＜[222123()()()x x x x x x -+-+-]21S =． 【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.17.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）155【解析】试题分析：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点，由FA FC =，知AC FO ⊥，由此能够证明AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以//,//AD BC DE BF ，平面//FBC 平面EAD ，由此能够证明//FC 平面EAD ；（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=o ，所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点，所以FO BD ⊥，故FO ⊥平面ABCD ，由,,OA OB OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=o，则2BD =，所以3,0,3CF =u u u v，)3,1,0CB =u u u v，求得平面BFC 的法向量为()1,3,1n =--r ，平面AFC 的法向量为()0,1,0v =v，由此能求出二面角A FCB --的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC⊥BD，且O 为AC 中点． 又 FA=FC ，所以 AC⊥FO． 因为 FO∩BD=O， 所以 AC⊥平面BDEF ．（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD∥BC，DE∥BF，所以平面FBC∥平面EAD．又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD．（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（9分）设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．18.已知椭圆E：2xmy2＝1（m＞1）3过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用221c b a a=-即可得解；（Ⅱ）设AB方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：2xm+y2＝1（m＞1）的离心率为3，∴2213112c ba a m=-=-=⇒m＝4，（Ⅱ）当直线AB与x轴不重合时，设其方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），由22144x myx y=+⎧⎨+=⎩⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．∴12224my ym-+=+，12234y ym-=+．因为A0（4，y1），2124A By ykx-=-，所以直线A0B的方程为：y﹣y1()21244y yxx-=--，⇒y21221212122122144444y y x y y x y yx y xx y y x y y⎛⎫⎛⎫----=-+⋅=+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21122122144y y my y y yxx y y⎛⎫--+=+⎪--⎝⎭．∵()121232my y y y =+，∴()121221212154522y y my y y y y y y y --+==---， ∴直线A 0B 的方程为：y 212542y y x x -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，当直线AB 与x 轴重合时，直线A 0B 与x 轴重合， 综上，直线A 0B 恒过定点（52，0） 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.19.设f （x ）＝xe x ﹣ax 2﹣2ax ．（Ⅰ）若y ＝f （x ）的图象在x ＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a 的值； （Ⅱ）若f （x ）存在极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）a 1e =；（Ⅱ）（0，12e ）∪（12e ，1e）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）求f '（x ）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;（Ⅱ）分a ≤0，a ＞0两种情况分析导数极值，得到f （ln 2a ）是极大值，由极大值小于0，求a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）f '（x ）＝e x +xe x ﹣2ax ﹣2a ＝（x +1）（e x ﹣2a ），f '（﹣1）＝0，f （﹣1）1e=-+a ， 所以由题意得：011ae -+=-，∴a 1e=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a ≤0时，即a ≤0时，e x ﹣2a ≥0， ∴x ＜﹣1，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， x ＞﹣1，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）有极小值，无极大值； 当a ＞0，f '（x ）＝0，x ＝﹣1或x ＝ln 2a ， 当ln 2a ＞﹣1时，即a 12e＞， ∴x ∈（﹣∞，﹣1）和 （ln 2a ，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜ln 2a 时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （﹣1）为极大值，且f （﹣1）1e =-+a ，由题意得：f （﹣1）＜0，∴112a e e＜＜； 当ln 2a ＜﹣1时，即0＜a 12e＜， ∴x ∈（﹣∞，ln 2a ）和 （﹣1，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， x ∈（ln 2a ，﹣1），f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （ln 2a ）是极大值，且f （ln 2a ）＝2aln 2a ﹣aln 22a ﹣2aln 2a ＝﹣aln 22a ＜0恒成立；当ln 2a ＝﹣1时，即a 12e=，f '（x ）＝（x +1）2≥0恒成立，f （x ）单调递增，无极值，舍去； 综上所述：符合条件的a 的取值范围：（0，12e ）∪（12e ，1e）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.20.如果无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a n }具有性质P ．（Ⅰ）若a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N *），判断数列{a n }是否具有性质P ，并说明理由， （Ⅱ）若数列{a n }具有性质P ，求证：{a n }中一定存在三项a i ，a j ，a k （i ＜j ＜k ）构成公差为奇数的等差数列；（Ⅲ）若数列{a n }具有性质P ，则{a n }中是否一定存在四项a i ，a j ，a k ，a l ，（i ＜j ＜k ＜l ）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）数列{a n }具有性质P ．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）分n 为奇数，n 为偶数讨论，研究a n 包含的数的情况，即得解;（Ⅱ）考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a +开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ,分j a 为奇数，偶数讨论，分别构造,,t j k a a a ，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列，即得证.（Ⅲ）构造反例：{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…,利用反证法，即得证,【详解】（Ⅰ）解：∵a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N *），∴数列{a n }具有性质P ． 理由如下：当n 为奇数，n ∈N *时，a n ＝n +1包含所有的正偶数， 当n 为偶数，n ∈N *时，a n ＝n ﹣1包含所有的正奇数， ∴无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列， ∴数列{a n }具有性质P ．（Ⅱ）证明：不妨设1,2,max{,}s t a a m s t === 考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a +开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ，则12,,...,j a a a 中含有1，2，且j a 为前j 项中的最大项(3j a ≥)(i )若j a 为奇数，22j j a a ->，所以22j a -在j a 之后，记为22k j a a =-，则k j t >>，,,t j k a a a 为公差为奇数的等差数列;(ii ) 若j a 为偶数，令21k j a a =-，则k j s >>，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列. 故结论成立. （Ⅲ）不一定存在例如{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…, 即每三项构成一组，第k 组的通项公式为：2k -1,4k -2,4k ，假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差， 由于{}n a 中，任意一项奇数j a 后面的偶数都大于等于2j a ， 因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差. 故假设不成立.【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.。
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
2022年清北金秋营试题及答案
2022年清北金秋营试题及答案一、以下每题中都列出了一种现象和5个可能引起这种现象的原因，请找出最合理的原因。
例题：进入公司工作三年的李立工作努力，但同事们却不信赖他。
不过，他比同期的人更早获得晋升。
原因：A.这家公司的考核制度以才能为主。
B.李立懂得要领。
C.上司的考评才能较差。
D.李立毕业于名牌大学。
E.与李立同期的人才能较低。
例题解答说明：答案为"A"。
其他四个原因都有可能引起所述现象的出现，但只有"A.公司的考核制度以才能为主"最合理。
晋升以考评为根据，但考评不是单纯靠上司来完成的，一般还会有同事、下属等参与，所以"C.上司的考评才能较差"不是最正确解释；同样，晋升是对员工才能的一种绝对评价，而非相对评价，因此不会出现有李立相对于其他同事才能要高些就一定得到晋升的事发生，这样就排除了答案E。
B、D所述原因与陈述相差太远。
1、黑色在白色的背景上最为醒目。
原因：(A)A.这两种颜色有强烈的比照性B.两种颜色都非常强烈C.这样甚至色盲的人也能分辨出来D.黑白结合会减少视觉上的错觉E.人们长久以来相信黑白是最醒目的结合2、太阳能虽然已被广泛讨论并深化研究，但还不能广泛应用。
原因：(B)A.太阳能的利用还缺乏足够的平安保障B.太阳光还不能被有效地集中搜集C.风能技术更加成熟D.还没有制成一种能有效地搜集和储存太阳能的系统E.太阳能的应用本钱太高3、邻居家的母鸡生蛋。
原因：(D)A.与公鸡养在一起B.吃了特别有营养的饲料C.邻居准备用鸡蛋换取钞票D.一种本能E.养着它就是为了生蛋4、有一段严重损坏的城市街道未能在冬季降临时修复。
原因：(D)A这条路不是城市的主干道B.某一方终止了修路合同C.修路期间扰民厉害D.出现了意料之外的材料短缺E.破损的路面更容易吸收雨雪5、与前几年相比，去年的加薪率很低。
原因：(D)A.经济持续不景气B.前年的出口大幅度增长C.今年的进口增加D.前年的消费需要锐减E.招聘人才难6、与其他国家相比，新加坡的犯罪率有逐年减少的趋势。
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析全文
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共12小题，共36分）1. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？( )A. 500B. 516C. 517D. 6002. 如图，矩形ABCD 中，M 、E 、F 三点在AD .上，N 是矩形两对角线的交点．若AB .=24，AD .=32，MD .=16，ED .=8，FD .=7，则下列哪一条直线是A 、C 两点的对称轴？( )A. 直线MNB. 直线ENC. 直线FND. 直线DN3. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，∠EFD =60°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为( )A. 1B. √2C. √3D. 24. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是x =1，下列结论：①abc >0；②b 2−4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0， 正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？()A. 113B. 124C. 129D. 1346.如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A<∠B<∠C，则下列叙述何者正确？()#JYA. IC和I′A′平行，II′和L平行B. IC和I′A′平行，II′和L不平行C. IC和I′A′不平行，II′和L平行D. IC和I′A′不平行，II′和L不平行7.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE//BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN=BM；②EM//FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()A. √2+1B. √2+12C. 2√2+1D. 2√2−129.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A. 24√3−4πB. 12√3+4πC. 24√3+8πD. 24√3+4π10.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？()A. 215B. 425C. 247D. 48711.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A. (0,92)B. (0,272)C. (0,9)D. (0,19)12.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B. 2C. 2√3−2D. 4−2√3二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.14.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．图象上的任意四点，现有以下结论：15.设A，B，C，D是反比例函数y=kx①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)16.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．17.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①a>0；②当x=−2时，函数最小值为−6；③若点(−8,y1)，点(8,y2)在二次函数图象上，则y1<y2；④方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是______.(把所有正确结论的序号都填上)18.如图，在矩形ABCD中，AB=√3+2，AD=√3.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G，连接AA′.有如下结论：①A′F 的长度是√6−2；②弧D′D″的长度是5√312π；③△A′AF ≌△A′EG ；④△AA′F ∽△EGF.上述结论中，所有正确的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共46分）19. 某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35． (1)求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？(2)该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．20. 如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ． (1)求∠BDE 的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且∠CDF =∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：EPPF =PCCF ．21.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．23.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．24.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．26.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点MAM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH 为圆心，大于12于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段PA与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．27.小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？______.(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：(3)若AB=6，CE=9，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．由已知得：24x+15000>27400，解得：x>51623，即x至少为517．故选C．由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．2.【答案】C【解析】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，∵AB=24，AD=32，∴AC=√242+322=40，∴AN=20，∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，∴△ANP∽△ADC，∴ANAD =APAC，即2032=AP40，解得，AP=25，∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，∴AF=AD−FD=32−7=25，∴点P与点F重合．故选C．根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN 的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP的长，从而可以得到P与哪一个点重合，本题得以解决．本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，∴B′E=2AE，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，∴2(3−x)=x，解得x=2．故选：D．由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；=1，可得b=−2a，∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5.【答案】D【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故选：D．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．6.【答案】C【解析】解：作ID⊥BA′于D，IE⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，如图所示：则ID//I′F，∵△ABC的内心为I，△A′B′C的内心为I′，∴ID=IE=IF，∠ICD−12∠ACB，∠I′A′C=12∠B′A′C，∴四边形IDFI′是矩形，∴II′//L，∵∠A<∠B<∠C，∴∠A′<∠B′<∠C，∴∠ICD>∠I′A′C，∴IC和I′A′不平行，故选：C．作ID ⊥BA′于D ，IE ⊥AC 于E ，I′F ⊥BA′于F ，由内心的性质得出ID =IE =IF ，∠ICD =12∠ACB ，∠I′A′C =12∠B′A′C ，证出四边形IDFI′是矩形，得出II′//L ，证出∠ICD >∠I′A′C ，得出IC 和I′A′不平行，即可得出结论． 本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AB//CD ，∠DAE =∠BCF =90°，OD =OB =OA =OC ，AD =BC ，AD//BC ，∴∠DAN =∠BCM ，∵BF ⊥AC ，DE//BF ，∴DE ⊥AC ，∴∠DNA =∠BMC =90°，在△DNA 和△BMC 中，{∠DAN =∠BCM∠DNA =∠BMC AD =BC，∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN =BM ，∠ADE =∠CBF ，故①正确；在△ADE 和△CBF 中，{∠ADE =∠CBFAD =BC ∠DAE =∠BCF，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE =FC ，DE =BF ，故③正确；∴DE −DN =BF −BM ，即NE =MF ，∵DE//BF ，∴四边形NEMF 是平行四边形，∴EM//FN ，故②正确；∵AB =CD ，AE =CF ，∴BE =DF ，∵BE//DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵AO =AD ，∴AO =AD =OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO =∠DAN =60°，∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．证△DNA≌△BMC(AAS)，得出DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF(ASA)，得出AE= FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴CD=2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值是点C的位置是关键，也是难点．9.【答案】A【解析】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA=OB=AB=4，∴S弓形AmB =S扇形OAB−S△AOB=60⋅π⋅42360−√34×42=83π−4√3，∴S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)=6⋅(12⋅π⋅22−83π+4√3)=24√3−4π，故选：A．设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)求解即可．本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10.【答案】D【解析】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH=S3，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，DE=3，BC=7，∴S1S△ABC =949，∴S1=949×14，∴S△BDH：S=(12×4)：3=2：3，∴S△BDH=23S，∴23S+S=14−949×14，∴S=487．故选：D．如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，利用面积比等于相似比的平方可求．本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大．11.【答案】B【解析】解：设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)∵A点坐标为(−3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√3 3∴C(−3+23√3,2)设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√33+3)2=2，∴a=32，∴y=32(x+3)2，当x=0时，y=272；故选：B．设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C(−3+23√3,2)，设抛物线解析式y=a(x+3)2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：如图，连接PF，QF，PC，QC，∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=12∠AFC=30°，∠QFC=12∠CFE=30°，∴∠PFC=∠QFC=30°，同理，∠PCF=∠QCF∴PQ⊥CF，∴△PQF是等边三角形，∴PQ=2PG；易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，∴S△ACF=12AF×AC=12×2×2√3=2√3，过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，∵点P是△ACF的内心，∴PM=PN=PG，∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF=12AF×PM+12AC×PN+12CF×PG=12×2×PG+12×2√3×PG+12×4×PG=(1+√3+2)PG=(3+√3)PG =2√3，∴PG=√33+√3=√3−1∴PQ=2PG=2(√3−1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．13.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：120π×1180，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr=120π×1180，解得，r=13，故答案为：13．求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．14.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，∴BE=1MN=2，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE =30°时，AE =AB ×tan30°=4√33； ②当∠AEB =30°时，AE =AB tan30∘=√33=4√3；③∠ABE =15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD 于F ，如下图所示，设AE =x ，则EA′=x ，EF =xsin60∘=2√3x 3， ∵AF =AE +EF =ABtan30°=4√33， ∴x +2√3x 3=4√33， ∴x =8−4√3，∴AE =8−4√3． 故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE =∠A′BE ，分3种情况讨论：当∠ABE =30°时或当∠AEB =30°时或当∠ABA′=30°时求AE 的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．17.【答案】①③④【解析】解：将(−4,0)(0,−4)(2,6)代入y =ax 2+bx +c 得，{16a −4b +c =0c =−44a +2b +c =6，解得，{a =1b =3c =−4，∴抛物线的关系式为y =x 2+3x −4，a =1>0，因此①正确； 对称轴为x =−32，即当x =−32时，函数的值最小，因此②不正确；把(−8,y 1)(8,y 2)代入关系式得，y 1=64−24−4=36，y 2=64+24−4=84，因此③正确；方程ax 2+bx +c =−5，也就是x 2+3x −4=−5，即方x 2+3x +1=0，由b 2−4ac =9−4=5>0可得x 2+3x +1=0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④．任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．18.【答案】①②④【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，∴四边形ADED′是矩形，又∵AD=AD′=√3，∴四边形ADED′是正方形，∴AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，∴D′B=AB−AD′=2，∵点F是BD′中点，∴D′F=1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，∴A′F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED′=D′FD′E =√3=√33，∴∠FED′=30°∴α=30°+45°=75°，∴弧D′D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE=A′E，∠AEA′=75°，∴∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∴∠A′AF=7.5°，∵∠AA′F≠∠EA′G，∠AA′E≠∠EA′G，∠AFA′=120°≠∠EA′G，∴△AA′F与△A′GE不全等，故③错误；∵D′E=D′′E，EG=EG，∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，∴∠D′GE=∠D′′GE，∵∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，又∵∠AFA′=∠EFG，∴△AFA′∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE= A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED′= 30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∠A′AF= 7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∴∠D′GE=∠D′′GE=52.5°，可证△AFA′∽△EFG，可判断④，即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．19.【答案】解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：60x+2=60x⋅35，解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，所以3+2=5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，由题意得：90−a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×(90−22)×3=10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．20.【答案】解：(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EPPF =DHHF，∴EPPF =PCCF．【解析】(1)由旋转的性质得出AB =AD ，∠BAD =90°，△ABC≌△ADE ，得出∠ADE =∠B =45°，可求出∠BDE 的度数；(2)①由旋转的性质得出AC =AE ，∠CAE =90°，证得∠FPD =∠FDP ，由等腰三角形的判定得出结论； ②过点P 作PH//ED 交DF 于点H ，得出∠HPF =∠DEP ，EP PF =DH HF ，证明△HPF≌△CDF(ASA)，由全等三角形的性质得出HF =CF ，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】解：(1)如图1中，△A′B′C′即为所求．(2)如图2中，△AB′C′即为所求．【解析】(1)分别作出A ，B ，C 的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据AB =2√5，BC =√5，AC =5，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】上 直线x =1 A 1A 2=A 3A 4【解析】解：(1)根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x =1；故答案为：上，直线x =1；(2)把(−1,0)，(0,−3)，(2,−3)代入y =ax 2+bx +c ，得：{a −b +c =0c =−34a +2b +c =−3，解得：{a =1b =−2c =−3，∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3，当x =−2时，m =4+4−3=5；当x =1时，n =1−2−3=−4；(3)画出抛物线图象，如图1所示，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如备用图中的红线所示，(4)根据题意及(3)中图象可得：A 1A 2=A 3A 4．故答案为：A 1A 2=A 3A 4．(1)观察表格中的数据，得到x =0和x =2时，y 值相等都为−3，且其他y 的值比−3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；(2)把三点坐标代入抛物线解析式求出a ，b ，c 的值确定出解析式，进而求出m 与n 的值即可；(3)画出抛物线图象，确定出点P′运动的轨迹即可；(4)根据(3)中图象可得答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵直线l 1：y =−2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC =4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，当x 1>x 2≥5时，总有y 1>y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x <7时，y 随x 的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x >3时，y 随x 的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −5)，过点A(0,10)，∴10=5a ，∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −5)=2x 2−12x +10；(2)当m =−2时，直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)，∴直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)与直线l 1：y =−2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P(x P ,y P )，∴{y P =−2x P +n y P =−2x P +10解得：n =10，∵n=10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2//l1；(3)如图，、∵直线l3：y=−2x+q过点C，∴0=−2×1+q，∴q=2，∴直线l3，解析式为L：y=−2x+2，∴l3//l1，∴CF//AB，∴∠ECF=∠ABE，∠CFE=∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =(CEBE)2，设BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，∴S△ABE=12×t×10=5t，∴S△CEF=(CEBE )2×S△ABE=(4−tt)2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF=5t+5(4−t)2t =10t+80t−40=10(√t√2√t)2+40√2−40，∴当t=2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．【解析】(1)先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；(3)通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE =(CEBE)2，BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，可求S△ABE=12×t×10=5t，S△CEF=5(4−t)2，利用二次函数的性质可求解．t本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°=∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，又∵PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，∴∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，∴∠APC =∠ACP =30°，∴AP =AC ，∴AP =AC =PB =BC ，∴四边形APBC 是菱形；(3)∵⊙O 的半径为r ，∴OA =r ，OP =2r ，∴AP =√3r ，PD =r ，∵∠AOP =90°−∠APO =60°，∴AD ⏜=60°π⋅r 180∘=π3r ， ∴阴影部分的周长=PA +PD +AD ⏜=√3r +r +π3r =(√3+1+π3)r ．【解析】(1)连接OA ，OB ，由切线的性质可求∠PAO =∠PBO =90°，由四边形内角和可求解；(2)当∠APB =60°时，四边形APBC 是菱形，连接OA ，OB ，由切线长定理可得PA =PB ，∠APC =∠BPC =30°，由“SAS ”可证△APC≌△BPC ，可得∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，可证AP =AC =PB =BC ，可得四边形APBC 是菱形；(3)分别求出AP ，PD 的长，由弧长公式可求AD⏜，即可求解． 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】S 1+S 2=S 3【解析】解：类比探究(1)∵∠1=∠3，∠D =∠F =90°，∴△ADB∽△BFC ，∴S △ADBS △BFC =(AB BC )2，同理可得：S △AECS △BFC =(AC BC )2， ∵AB 2+AC 2=BC 2，∴S 1S 3+S 2S 3=(AB BC )2+(AC BC )2=AB 2+AC 2BC 2=1，∴S 1+S 2=S 3，故答案为：S 1+S 2=S 3．。
2019年清北铭师精英大联考试题高三数学(文)试题
清北铭师精英大联考试题高三数学(文)试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合(){}{}2ln 1,2150A x y x B x x x ==-=--≤， A B ⋂=则A ．(1，5]B ．[1,5]C ．(1，+∞)D ．[－3,5] 2．若命题()2:1,ln 1p x x x ∀>-<，则p ⌝为A ．()21,ln 1x x x ∃>-<B ．()21,ln 1x x x ∀≤-≥C ．()21,ln 1x x x ∃<-≥D ．()21,ln 1x x x ∀>-≥ 3．若复数()()123i ai +-(i 为虚数单位)在复平面上对应的点落在实轴上，则实数a 等于A ．32-B ．32C ．6-D ．64．将函数sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，则所得函数图象的解析式为 A ．5sin 412y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．5sin 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．5sin 44y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D ．sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．执行如图所示的程序框图，输出n 的值为A ．2B ．3C ．4D ．56．己知单位向量12,e e 的夹角为θ，且tan 2θ=，若1232a e e a =-=，则A ．13-B ．5 CD 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．1123πB ．36πC ．34πD ．32π8．某校学生甲一学期内参加考试的数学成绩(满分150分)绘制成茎叶图，如图所示．己知这些成绩的中位数等于平均数，则实数a 的值为A ．2B ．3C ．4D ．59．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等差数列，则cosB 的最小值为A ．4B ．12C ．2D ．110．2002：在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．如图所示的弦图中，四个相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼接成一个大正方形，己知小正方形的面积为4，大正方形的面积为34，直角三角形中较大的锐角为α，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．717 BC ．1534 D11．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左右顶点分别为12,A A ，过其左焦点F 作垂直于x 轴的直线分别交椭圆于M ，N 两点，连结2MA 交y 轴于点E ，连结1A E 交MN 于点D ，若2DM FD =，则椭圆Γ的离心率为A ．15B ．12 CD12．函数()()22log ,0,24,0,x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩若关于x 的方程()0f x m +=有4个不同的实数根，1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是A ．9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(),2-∞第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．己知实数,x y 满足210,10,30,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最小值为__________．14．若抛物线2y mx =的准线方程为x =2，则实数m 的值为__________．15．在圆224x y +=的内部任意取一点，则该点到直线20x y -=的距离小于1的概率为___________.16．有一个可伸缩的圆锥型物体，在伸缩的过程中始终保持为圆锥型．己知此物体的高度原为60cm ，且以每秒5cm 的速度增长，而底面半径以每秒1cm 的速度缩短，此圆锥型物体的高只能从60cm 增长到100cm ，在伸缩过程中，当高度为70cm 时其体积达到最大，则此圆锥型物体体积最小时其底面半径为____________cm ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且满足113,23n n a S a +==-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3111log ,n n n n n b a c b b ++==，若数列{}n c 的前n 项和n T 满足,n n N T *∀∈< ()8n λ+，求实数λ的取值范围．18．(本小题满分12分)如图所示，平面ACMN ⊥平面ABC ，四边形ACMN 为直角梯形，AN//CM，,2,AN AC CM AN AB AC ⊥==⊥，点E 为边BC 的中点．(1)证明：AE//平面BMN ；(2)证明：平面BCN ⊥平面ABM ．19．(本小题满分12分)某农科所在研究小麦发芽率的过程中，将A 和B 两个品种的小麦种子中每粒种子的发芽情况分成优秀、一般、不合格三个等级，从中随机抽取了200粒种子进行研究，如下条形图给出了研究结果．(1)若将一般和不合格等级称为不优秀，根据条形图填充下面2×2列联表，并依此判断能否有90％的把握认为发芽情况是否优秀与小麦品种有关；(2)若共研究了40000粒小麦，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的小麦粒数；(3)按分层抽样的方法在优秀等级的小麦中选取5粒，再从这5粒中任选两粒进行重点研究，求这两粒中恰有一粒为A 品种小麦的概率．参考公式及参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，20．(本小题满分12分)己知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为2.点P 为椭圆E 上的动点，12PF F ∆面积的最大值为1．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若过点()2,0Q -且斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，是否存在x 轴上的定点M ，使得MA ，MB 的斜率的倒数之和为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数()()2ln 1f x x ax x a R =--∈． (1)当a e =时，求曲线()()()11y f x f =在，处的切线方程；(2)若对任意的()()1,,0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1cos ,sin ,2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．(1)若曲线C 上一点M 的极坐标为0,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线l 经过点M ，求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)己知点P ⎛ ⎝⎭，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求11PA PB +的最大值． 23．(本小题满分10分)已知函数()()23f x x a x a R =++-∈．(1)当1a =时，解不等式()11f x ≥；(2)若不等式()236f x x --≤的解集为M ．且[]1,2M -⊆，求实数a 的取值范围。
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1 ≤ 2018At(a + 1) |b1 + b2 + · · · + bt|
1 =
2018t(a + 1)
1
≤
.
2018n
. 题
IMO 金
解题
ai 大
.
题 5. n
数
数
b1 = 0, b2, . . . , bn
1 ≤ u, v ≤ n
1
1
u (b1 + b2 + · · · + bu) < v (b1 + b2 + · · · + bv + 1) .
大
.
.
2 解题
+1 题
2019 数 2019
大
−1 大
0.
大
解
.
. .
.
解题
1
题 3. f
f
f
.
.
f.
1. f
.
f
.
.
2.
A, B, C
f (A)f (B) = f (A)f (C) AB = AC.
ABC
I IBC
J f (A)f (B) = f (A)f (C)
f (A), f (I), f (J)
x2 − 1 x2 + 1
数,
(
数
).
2
a2 − b2 = c2 + d2 ab = cd
数解.
2
数 a, b, c, d
a2 − b2 = c2 + d2, ab = cd(,
) 数解 (a, b, c, d) a
.
数 p | (a, b), p | cd, p | c2 + d2,
p | c, p | d,
f
(y
)β
.
0
f
.
y0,
数
d,
yn
=
y0
+
d
−
d 2n
,
f (yn+1)
≤
C
2(n+1)α dα
f
(yn)β
.
f (yn)
≤
f (y0 2xn
)
(n
≥
0),
n=0
.
x. n(≥ 0) ,
f (yn+1)
≤
Cf (y0)β−1 dα
f (y0) . 2xnβ−(n+1)α
,
2xnβ−(n+1)α > 2x(n+1),
b2
ab + < ca
bc
+ ca = ca +(b(c + b2 < ca < c + a
)a)2 ≡
ca
−
b2 (mod b2
x=
(a + − ca
b
+ c)) <0
2
c + a − 2b
a + b + c | 2(b2 − ca). .
b2 > ca
c + a > 2b
2(b2 − ca) ≥ a + b + c
pα1 | n2 + 1.
1 pα1 (pα1 − 1) = pα2 + · · · + pαn , 2
pα2 | pα1 .
pα1 + pα2 ≥ 1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1),
pα1
|
n2
+ 1,
n2 + 1 pα1
≤
2n2 + 2 n(n + 1)
<
2,
n2 + 1 = pα1 ,
(b1, b2, . . . , bn)
数.
解
Su = b1 + b2 + · · · + bu,
v = 1, Sv + 1
v
Su < u. v=w
S1 = 0 {Si} ,
数 ,
Su
<
Sw
+1
≤
Su
+1 ,
u
w
u
4
Su
<
Sv
+1 .
u
v
w.
Su
u Sw + 1
数,
, Sw + 1 u
.
w
w
大 数 (Sw + 1, w) = d > 1, Sw/d = (Sw + 1)/d − 1, w
b2 − ca 1 a + b + c 1
x=
≥·
>.
c + a − 2b 2 c + a − 2b 2
2b2 − b − 1 a = 1, c =
3
b ≡ 1 (mod 3)
lim
b2 − ca 1 =,
b→+∞ c + a − 2b 2
1
数.
2
解题
题 2.
2019
.
.
+1
l
2 2019
大2
.
.
−1 0l
21+α1 | n2 21+α1 | n2 + 1, 21+α1 ≥ n(n + 1) > max{n2, n2 + 1},
.
,
(p, n) = (p, 1), (5, 2).
解题
5
题 7.
数 f : R≥0 → R≥0 f
.
数 C > 0, α > 0, β > 1
f (x)
≤
(x
C − y)α
x2 + ax + b, Q(x)
deg P ,
数
.
,
数 β, γ
(x + 1)β(x2 + ax + b) 数 , (x + 1)γQ(x)
数,
(x + 1)β+γ P (x)
数.
deg P = 2
,
P (x) = (x − a)2 + b,
b + a2 > 0, (x + 1)k(x − a)2 + b xn 数 An.
0,
f (y0 + d) = 0.
数学 析 题 , 4.1
. De Giorgi ,
x>y≥0 解题
题 8.
x4 − 20200y2 = 1 Z2+
解.
:
1
x4 − 2y2 = 1
数解.
1
x4 − 2y2 = 1, (x2 − 1)(x2 + 1) = 2y2, (x2 − 1, x2 + 1) = 2,
数n≤k
数m≤l
数k
∑k ai = 1,
i=1
数 a1, a2, · · · , ak
∑n
1
aj sin(jθm)
≤
. 2018n
j=1
数
数.
ai 数
大
.
P (x), P
数,
数 α,
(x + 1)αP (x)
deg P = 1 .
deg P = 2
,
deg P > 2 ,
,
P (x) = (x2 + ax + b)Q(x),
pα2 ≥ n2 + n > pα1 ,
pα1 + pα2 ≥ 1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1),
,
Si
,
解题 n数
.
pα2 ≥ n2 + n − 1,
pα2 | n2(n2 + 1), p=2 ,
1 n2(n2 + 1) − pα1 = 1 (n2 − 2)(n2 + 1) = pα2 + · · · + pαn ,
J IBC
AI J
f (ABC)
.
6.
.
7.
f
.
8. A, B, C
B A, C
B
D CD = CA
E AE = AC.
D, E
f (A), f (B), f (C)
f (B) f (A), f (C) .
.
9.
.
数
数
.
10.
.
.
.
.
.
f
.
1. f
. A, B, C
D, E DE
D, E, X
X
.
f (A), f (B), f (C)
+
a 1
+
b
+
(k
−
n
n(n − 1) + 1)(k −
n
+
2)
=
(a
−
k
n −n
+
)2 1
+
b
−
(k
−
n
n(k + 1) + 1)2(k −
n
+
2)
>
0 · · · · · · (1)
n−1
n−1
2a <
, (1)
2aБайду номын сангаас≥