2020届高考数学复习方案 第2单元第8讲 指数与指数函数

第8讲 │ 要点探究
► 探究点2 指数函数的图像与应用
例2 已知函数y＝13|x＋1|. (1)作出图像； (2)由图像指出其单调区间； (3)由图像指出当x取什么值时y有最值，并写出值域； (4)若关于x的方程13|x＋1|＝m有正根，求m的取值范围
[思路] 函数解析式转化为分段函数，作出图像，利用图像求解
第8讲 │ 要点探究
[点评] 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的 关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算． 对指数幂的运算：①要熟练掌握根式与分数指数幂的转换 关系；②要熟练掌握指数幂的运算法则和乘法公式；③运 算程序化，即先把根式化为分数指数幂并尽量化简，再应 用指数幂的运算法则和乘法公式．
第8讲 │ 要点探究
[解答] (1)方法一：由函数解析式可得y＝13|x＋1|＝313x＋x1＋，1，x<x－≥1－，1，
其图
像由两部分组成：一部分是由指数函数y＝
1 3
x
(x≥0)
向左平移1个单位而得；
另一部分是由y＝3x(x<0)向左平移一个单位而得．如图
方法二：函数y＝
1 3
|x|
为偶函数，关于y轴对称，做出y＝
③(ab)r＝_a_r_b_r__(a＞0，b＞0，r∈Q)．
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要点探究
► 探究点1 指数幂的化简与求值
例1 化简：(1)(0.027)－13－－16－2＋2560.75－|－3|－1＋(－5.55)0－10(2－ 3)－1
[思路] 将负指数化为正指数
[解答] (0.027)－31－－16－2＋2560.75－|－3|－1＋(－5.55)0－10(2－ 3)－1 ＝[(0.3)3]－13－(－1)－2(6－1)－2＋(44)34－3－1＋1－2－10 3 ＝130－1－36＋43－13＋1－1042－＋3 3 ＝130－31＋29－20－10 3＝12－10 3
>0，故当x2>x1时，f(x2)－f(x1)>0，即
f(x2)>f(x1)，∴函数f(x)为R上增函数；
(3)f(x)＝
10x－10－x 10x＋10－x
＝1－
2 102x＋1
，∵102x>0，∴102x＋1>1，∴
0<
1 102x＋1
<1，∴0<
2 102x＋1
<2，∴－2<－
2 102x＋1
<0，∴－1<1－
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[点评] (1)与指数函数有关的函数的图像问题的研究，往 往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其 图像；(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相 应的指数型函数图像利用数形结合求解．
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► 探究点3 指数函数的性质
例3 已知f(x)＝1100xx＋－1100－－xx. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求证：f(x)是定义域内的增函数； (3)求f(x)的值域．
1 3
x
(x≥0)
的图
像，当x<0时，将图像关于y轴的对称图像得到y＝
1 3
|x|
的图像，将y＝
Hale Waihona Puke 1 3|x|的图
像向左平移1个单位，即可知y＝13|x＋1|的图像．
(2)由图像可知函数的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞).
(3)当x＝－1时，ymax＝130＝1，值域为(0,1]．
(4)由图像，令x＝0，得y＝31，则m的取值范围是0，13.
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3 计算：(1)
a92·
a－3÷
3 a－7·3 a13
[解答]原式＝a92·a－2331÷a－37·a13312 ＝(a3)13÷(a2)12 ＝a÷a＝1
第8讲 │ 要点探究
计算：(2)(6
32·
3＋6
243·
3 2)(
4－3
6＋3
9)
[解答] 原式＝256·312＋356·212223－213·313＋323 ＝312·221231＋313223－213·313＋323 ＝312·2212313＋3133＝5 6.
an ④0 的正指数幂是 0,0 的负指数幂无意义． (①②2)xn根n＝a式n＝a及(n_性∈_|a_a质|N_nn_为，为_奇_n偶_＞数_数_1.，)⇔x＝__±n_n_a_an_n为_为_奇偶_数_数_，_ .
③(n a)n＝__a__. (3)有理指数幂的运算性质 ①aras＝_a_r_＋__s_(a＞0，r、s∈Q)． ②(ar)s＝__a_r_s__(a＞0，r、s∈Q)．
1022x＋1<1，即函数的值域为(－1,1)．
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► 探究点4 指数函数的性质的综合应用
令x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝ 1－102x22＋1 － 1－102x21＋1 ＝
2×
102x2－102x1 102x2＋1102x1＋1
，∵函数y＝10x为增函数，x2>x1，∴
102x2>102x1，∴102x2－102x1>0，又∵102x1＋1>0,102x2＋1>0，∴
2×
102x2－102x1 102x2＋1102x1＋1
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(2)4b23a＋34－238aab13＋b a23÷1－2 3 ab·3 a.
[思路] 把根式化为分数指数幂进行运算
[解答] 原式＝a23＋a1323a－ab8＋b4b23÷a13－a132b31·a13 ＝a23＋a1323a－ab8＋b4b23·a13－a132b31·a13 ＝aaa－－88bb＝a.
[思路] 利用定义法判断函数的奇偶性和单调性，并结合单调性 求函数的值域
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[解答]
(1)函数的定义域是R，关于原点对称，又f(－x)＝
1100－ －xx－ ＋1100xx＝－1100－x－x＋1100－xx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；
(2)证明：f(x)＝1100xx＋－1100－－xx＝110022xx－＋11＝1－1022x＋1，
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第8讲 指数与指数函数
第8讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．指数幂 (1)指数幂的推广 ①零指数幂：a0＝_1___1(a≠0)． ②负指数幂：a－n＝___an___(a≠0，n∈N*)．
③分数指数幂：1amn ＝_n__a_m__(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)． a－mn ＝ 1m＝_n__a_m____(a＞0，m、n∈N*，n＞1)．