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第三部分 动 力 学
第10章 动量矩定理
2019年8月3日
1
动力学/动量矩定理
首先分析以下两个刚体的动量：
2
动力学/动量矩定理
动量是描述质点系随质心平移的一个动力学量， 它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。
相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心 或某一固定点的运动规律。
本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对 于某一定点（定轴）或质心（质心轴）的运动状态与 外力矩之间的关系——动量矩定理。
y Fx
x y Fy Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
13
静力学/第四章 空间力系来自◆ 力矩关系定理 空间力对点的矩的解析式为：
Mo(F) = (yFz- zFy) i + ( zFx- xFz) j + ( xFy- yFx) k
= [Mo(F)]x i + [Mo (F )]y j + [Mo (F )]z k 空间力对轴的矩的解析式为：
解：让三线摆作微小扭转振动， 设圆盘绕 z 轴转过微小角度为
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
分析圆盘受力：
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
51
动力学/动量矩定理
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
让三线摆作微小扭转振动，建立振动周期与转动惯 量之间的关系，通过测量振动周期，就可以测量出圆盘 的转动惯量。
• 计算转动惯量
在机械工程手册中，可以查阅到简单几何形状或几 何形状已标准化的零件的回转半径。
45
动力学/动量矩定理
3. 平行移轴定理 定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心 且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴 间距离的平方之乘积。即
证明：设刚体质量为m，
46
动力学/动量矩定理
z
mv
r
19
●平面运动刚体
y
x
20
动力学/动量矩定理
1. 平移刚体
LO
2. 定轴转动刚体
3. 平面运动刚体
刚体对转轴的转动惯量
21
动力学/动量矩定理
例10-1 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2( R1=2R2)，J2 物块C：m3 , v3
求：系统对O轴的动量矩。
解:
逆转为正
22
6
动力学/动量矩定理
芭蕾舞演员如何调整旋转速度？
7
动力学/动量矩定理
跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动?
8
静力学/第四章 空间力系
复习：空间力对点的矩和对 轴的矩
◆空间力对点的矩
(1) 定义
力对点的矩等于矩心到 该力作用点的矢径与该 力的矢量积
矢量
F
rA Oh
代数量
MO(F) O
BF
rA
9
静力学/第四章 空间力系
动力学/动量矩定理
动量矩定理
一、质点的动量矩定理 1.对于定点的动量矩定理
定点
两边对时间求导，得
23
动力学/动量矩定理
——质点对定点的 动量矩定理
即：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作 用于质点上的力对同一点之矩。
2.投影式 ——质点对于定轴的动量矩定理
定点
24
动力学/动量矩定理
3. 守恒式
——质点系对定轴的动量矩定理
28
动力学/动量矩定理
注意： （1）动量矩定理中的点或轴应为惯性参考系中的定
点或定轴； （2）所有运动量（如速度、角速度等）均为相对于
惯性参考系的绝对量； （3）质点系动量矩的变化仅取决于外力系的主矩，
而内力不能改变质点系的动量矩； （4）在计算动量矩和外力矩时，符号规定应一致；
例如：均质细杆 刚体对各平行轴的转动惯量，其中以通过质心轴 的转动惯量为最小。
47
动力学/动量矩定理
4. 组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计
算每一部分（物体）的转动惯量， 然后再加起来。 例10-5 钟摆 求：摆对水平轴O的转动惯量 JO 解：
注意：当物体有空心部分时，要把此部分质量视为负值。
——质点系相对于质心的动量矩定理 57
动力学/动量矩定理
讨 论：
（1） 质点系对于质心的动量矩定理在形式上与对于定点 的动量矩定理完全一致。
（2） 即使质心有加速度时，质点系对于质心的动量矩定 理也是成立的，即适用于非惯性系。
（3） 当外力系相对质心的主矩为零时，质点系对于质心 的动量矩守恒。即
求：物体D的加速度。
37
动力学/动量矩定理
§10-2 刚体绕定轴转动的微分方程
一、动量矩
其中 为刚体对z轴的转动惯量，且 F2
Fi
二、转动微分方程
由质点系对转轴z的动量矩定理
F1
Fn
将动量矩代入，并因轴承约束力对z轴之矩为零，故有
38
动力学/动量矩定理
F2
Fi
Fn F1
即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作 用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。
43
动力学/动量矩定理
二、转动惯量的计算 1. 积分法 （具有规则几何形状的均质刚体） • 均质细直杆（l ，m ）
求：对z轴的转动惯量； 对z'轴的转动惯量。
• 均质细圆环（R，m ）
• 均质薄圆板（R，m ）
44
动力学/动量矩定理
2. 回转半径（惯性半径） • 定义
对于均质刚体， 仅与几何形状有关，而与密度无 关。即对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均 质刚体，其回转半径是相同的。
解： 取整个系统为研究对象
即：
恒量
32
动力学/动量矩定理
因
，故有
即两人向上爬的绝对速度相等，所 以两人同时到达顶点。
设绳子移动速度为v，且右段向 上移动，由点的速度合成定理有
解得：
思 考 如果考虑定滑轮的质量，并设
质量为m，则比赛结果又如何？
33
动力学/动量矩定理
34
动力学/动量矩定理
35
动力学/动量矩定理
恒矢量 恒量 即：若作用于质点的力对于某定点（或定轴）的矩恒等 于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩保持不变，或 称动量矩守恒。 ——质点动量矩守恒定律
25
动力学/动量矩定理
二、质点系的动量矩定理 1. 对于定点的动量矩定理 设质点系有n个质点组成。 考察任意质点i， 根据质点对于
定点的动量矩定理，有
（2）受力分析，计算
（设以逆时针转向为正）
30
动力学/动量矩定理
（3）运动分析，计算
（4）由质点系对定轴O的动量矩 定理，有
由运动学关系： 解得：
（）
31
动力学/动量矩定理
例10-3 如图所示，两人分别抓住缠 绕在定滑轮上的细绳两端，进行爬 绳比赛，开始时两人静止在同一高 度。已知两人爬绳的速度分别为 vA 和 vB ，且 vA > vB，mA= mB。设绳 子和滑轮的质量以及轴 O 的摩擦均 不计。试问：谁先到达顶点？
26
动力学/动量矩定理
将n个方程矢量求和，得
交换等式左端的求导和求和运算次序，且因内力系 对点O的主矩等于零，故有
即：质点系对于某定点的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力系对于同一点的主矩。
——质点系对定点的动量矩定理
27
动力学/动量矩定理
2. 投影式
即：质点系对于某定轴的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力系对于同一轴的矩的代数和。
三、求解动力学的两类基本问题
第一类：已知刚体的转动规律，求作用于刚体的主动力； 轴承处的约束力由刚体绕定轴的转动微分方程 无法求出，需用质心运动定理求解。
第二类：已知作用于刚体的主动力，求刚体的转动规律。
41
动力学/动量矩定理
例10-4 滑轮半径为R、质量为m， 转动惯量为J。带动滑轮的皮带拉 力分别为F1和F2。 求：滑轮的角加速度。 解：选滑轮为研究对象
◆ 空间力对轴的矩 (1) 定义
F
力对轴之矩是该力在垂直于轴的平面上 的投影对这个平面与该轴交点之矩
代数量 正负号规定
讨论 什么情况下 Mz( F )=0 ?
F 与 z 轴共面
请自己思考！ 12
静力学/第四章 空间力系
(2)空间力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
z
F
A
类似地，有：
z
O
x
—— 刚体绕定轴的转动微分方程
39
动力学/动量矩定理
讨论： (1) 作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态
发生变化。
(2) 若
，则
恒量，
即刚体作匀速转动或保持静止；
若
恒量，则 恒量，
即刚体作匀变速转动。
(3) 与质点的运动微分方程作比较
形式相似
转动惯量是刚体转动时惯性的度量。
40
动力学/动量矩定理
52
动力学/动量矩定理
53
动力学/动量矩定理
例10-7 提升装置中，轮A、B的 重量分别为P1 、P2 ，半径为 r1 、 r2 ，可视为均质圆盘；物体C 的重 量为P3 ；轮A上作用常力矩M1 。 求： 物体C上升的加速度。 解: 取轮A为研究对象
由定轴转动微分方程，有
取轮B及物体C为研究对象
29
动力学/动量矩定理
例10-2 如图所示，半径为R质量为
m的均质圆轮绕定轴O转动，转动惯 量为JO ，两个质量分别为mA和mB的 物块系在跨过圆轮的绳子两端，其中 物块B因水平绳子的牵引在光滑水平 面上运动。若不计绳子的质量和轴承 O的摩擦，并设绳子与圆轮之间无相 对滑动，试求圆轮的角加速度。
解：（1）取整个系统为研究对象
受力分析：
运动分析：设滑轮的角加速度为
由刚体绕定轴的转动微分方程，有
[思考] 什么情况下皮带拉力相等？
42
动力学/动量矩定理
§10-2(2) 刚体对轴的转动惯量
一、定义
——刚体内各质点的质量与质点到轴的 垂直距离平方的乘积之和。 • 若刚体的质量是连续分布，则 • 转动惯量恒为正值 • 单位：
刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它的 大小体现了刚体转动状态改变的难易程度。
48
动力学/动量矩定理
5. 实验方法 对于几何形状复杂的刚体，工程中常用实验的方法
测定其转动惯量。
常用的方法：
扭转振动法； 复摆法.
下面以复摆法为例加以说明。
49
动力学/动量矩定理
50
动力学/动量矩定理
例10-6 用于测量圆盘转动惯量的 三线摆中，三根长度相等 ( l ) 的弹性 线，等间距悬挂被测量的圆盘。已知 圆盘半径为 R 、重量为W。 怎样才能测量出圆盘的转动惯量？
54
动力学/动量矩定理
由质点系动量矩定理，有
补充运动学条件：
55
动力学/动量矩定理
§10-3 质点系相对于质心的动量矩定理
一、质点系的动量矩
二、质点系相对于质心的动量矩定理 由质点系对于定点O的动量矩定理：
56
动力学/动量矩定理
即：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等 于作用于质点系的外力对质心的主矩。
3
动力学/动量矩定理
本章内容
§10–1 质点系对定点的动量矩定理 §10–2 刚体绕定轴转动的微分方程 §10–3 质点系相对于质心的动量矩定理 §10–4 刚体的平面运动微分方程 §10–5 本章讨论与小结
4
动力学/动量矩定理
几个有意义的实际问题：
谁先到达顶点?
5
动力学/动量矩定理
直升机如果没有尾翼将发生什么现象?
大小
B
F
MO(F)
方向 按右手法则确定, 垂直于r和F所决定 的平面。
O
rA
h
作用点 在矩心O点
Mo(F) 是定位矢量
10
静力学/第四章 空间力系
(2)空间力对点的矩的解析表达式
y
j Oi
F
A (x,y) x
z B
F
MO(F)
k O
jr
A(x,y,z) y
i
x
11
静力学/第四章 空间力系
16
动力学/动量矩定理
二、质点系的动量矩 1.对点O的动量矩 ——质点系各质点对同一点O的动量矩的矢量和。
LO
2.对轴的动量矩 ——质点系各质点对同一轴的动量矩的代数和。
17
A
思考：
质点系对质心的绝对动量矩 =质点系对质心平移动系的相对动量矩
18
三、刚体的动量矩 ●平移刚体
●定轴转动刚体
为什么？
解题步骤： （1）选取研究对象； （2）分析质点系所受的外力（画受力图），
计算外力矩； （3）分析质点系的运动，计算动量矩； （4）应用质点系动量矩定理（守恒定律）建立方程，
求解未知量。
36
动力学/动量矩定理
[练习]
已知：鼓轮半径为r、质量为m1，可看作均质圆柱体； 物体D的质量为m2，与水平面间的动滑动摩擦系 数为f；手柄受矩为M的力偶作用，质量不计。
1.对点O的动量矩 ——质点的动量对于点O的矩
• 瞬时矢量 方向： 垂直于矢径r与动量mv所形成的平面 指向： 按右手法则确定 大小：
• 与力对点之矩相似
• 单位：
15
动力学/动量矩定理
2.对轴的动量矩 ——质点动量在Oxy平面内 的投影对于点O的矩
• 代数量 • 与力对轴之矩相似 对点O的动量矩和对轴的动量矩之间的关系 ：
比较两式，有：
[Mo ( F )] x = Mx ( F ) [Mo ( F )]y = My ( F ) [Mo ( F )]z = Mz ( F )
结论: 空间力对点的矩在
过该点的任一轴上的投影
,等于这力对该轴的矩。
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动力学/动量矩定理
§10-1 质点系对定点的动量矩定理
一、质点的动量矩
第10章 动量矩定理
2019年8月3日
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动力学/动量矩定理
首先分析以下两个刚体的动量：
2
动力学/动量矩定理
动量是描述质点系随质心平移的一个动力学量， 它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。
相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心 或某一固定点的运动规律。
本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对 于某一定点（定轴）或质心（质心轴）的运动状态与 外力矩之间的关系——动量矩定理。
y Fx
x y Fy Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
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静力学/第四章 空间力系来自◆ 力矩关系定理 空间力对点的矩的解析式为：
Mo(F) = (yFz- zFy) i + ( zFx- xFz) j + ( xFy- yFx) k
= [Mo(F)]x i + [Mo (F )]y j + [Mo (F )]z k 空间力对轴的矩的解析式为：
解：让三线摆作微小扭转振动， 设圆盘绕 z 轴转过微小角度为
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
分析圆盘受力：
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
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动力学/动量矩定理
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
让三线摆作微小扭转振动，建立振动周期与转动惯 量之间的关系，通过测量振动周期，就可以测量出圆盘 的转动惯量。
• 计算转动惯量
在机械工程手册中，可以查阅到简单几何形状或几 何形状已标准化的零件的回转半径。
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动力学/动量矩定理
3. 平行移轴定理 定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心 且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴 间距离的平方之乘积。即
证明：设刚体质量为m，
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动力学/动量矩定理
z
mv
r
19
●平面运动刚体
y
x
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动力学/动量矩定理
1. 平移刚体
LO
2. 定轴转动刚体
3. 平面运动刚体
刚体对转轴的转动惯量
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动力学/动量矩定理
例10-1 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2( R1=2R2)，J2 物块C：m3 , v3
求：系统对O轴的动量矩。
解:
逆转为正
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动力学/动量矩定理
芭蕾舞演员如何调整旋转速度？
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动力学/动量矩定理
跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动?
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静力学/第四章 空间力系
复习：空间力对点的矩和对 轴的矩
◆空间力对点的矩
(1) 定义
力对点的矩等于矩心到 该力作用点的矢径与该 力的矢量积
矢量
F
rA Oh
代数量
MO(F) O
BF
rA
9
静力学/第四章 空间力系
动力学/动量矩定理
动量矩定理
一、质点的动量矩定理 1.对于定点的动量矩定理
定点
两边对时间求导，得
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动力学/动量矩定理
——质点对定点的 动量矩定理
即：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作 用于质点上的力对同一点之矩。
2.投影式 ——质点对于定轴的动量矩定理
定点
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动力学/动量矩定理
3. 守恒式
——质点系对定轴的动量矩定理
28
动力学/动量矩定理
注意： （1）动量矩定理中的点或轴应为惯性参考系中的定
点或定轴； （2）所有运动量（如速度、角速度等）均为相对于
惯性参考系的绝对量； （3）质点系动量矩的变化仅取决于外力系的主矩，
而内力不能改变质点系的动量矩； （4）在计算动量矩和外力矩时，符号规定应一致；
例如：均质细杆 刚体对各平行轴的转动惯量，其中以通过质心轴 的转动惯量为最小。
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动力学/动量矩定理
4. 组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计
算每一部分（物体）的转动惯量， 然后再加起来。 例10-5 钟摆 求：摆对水平轴O的转动惯量 JO 解：
注意：当物体有空心部分时，要把此部分质量视为负值。
——质点系相对于质心的动量矩定理 57
动力学/动量矩定理
讨 论：
（1） 质点系对于质心的动量矩定理在形式上与对于定点 的动量矩定理完全一致。
（2） 即使质心有加速度时，质点系对于质心的动量矩定 理也是成立的，即适用于非惯性系。
（3） 当外力系相对质心的主矩为零时，质点系对于质心 的动量矩守恒。即
求：物体D的加速度。
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动力学/动量矩定理
§10-2 刚体绕定轴转动的微分方程
一、动量矩
其中 为刚体对z轴的转动惯量，且 F2
Fi
二、转动微分方程
由质点系对转轴z的动量矩定理
F1
Fn
将动量矩代入，并因轴承约束力对z轴之矩为零，故有
38
动力学/动量矩定理
F2
Fi
Fn F1
即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作 用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。
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动力学/动量矩定理
二、转动惯量的计算 1. 积分法 （具有规则几何形状的均质刚体） • 均质细直杆（l ，m ）
求：对z轴的转动惯量； 对z'轴的转动惯量。
• 均质细圆环（R，m ）
• 均质薄圆板（R，m ）
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动力学/动量矩定理
2. 回转半径（惯性半径） • 定义
对于均质刚体， 仅与几何形状有关，而与密度无 关。即对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均 质刚体，其回转半径是相同的。
解： 取整个系统为研究对象
即：
恒量
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动力学/动量矩定理
因
，故有
即两人向上爬的绝对速度相等，所 以两人同时到达顶点。
设绳子移动速度为v，且右段向 上移动，由点的速度合成定理有
解得：
思 考 如果考虑定滑轮的质量，并设
质量为m，则比赛结果又如何？
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动力学/动量矩定理
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动力学/动量矩定理
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动力学/动量矩定理
恒矢量 恒量 即：若作用于质点的力对于某定点（或定轴）的矩恒等 于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩保持不变，或 称动量矩守恒。 ——质点动量矩守恒定律
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动力学/动量矩定理
二、质点系的动量矩定理 1. 对于定点的动量矩定理 设质点系有n个质点组成。 考察任意质点i， 根据质点对于
定点的动量矩定理，有
（2）受力分析，计算
（设以逆时针转向为正）
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动力学/动量矩定理
（3）运动分析，计算
（4）由质点系对定轴O的动量矩 定理，有
由运动学关系： 解得：
（）
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动力学/动量矩定理
例10-3 如图所示，两人分别抓住缠 绕在定滑轮上的细绳两端，进行爬 绳比赛，开始时两人静止在同一高 度。已知两人爬绳的速度分别为 vA 和 vB ，且 vA > vB，mA= mB。设绳 子和滑轮的质量以及轴 O 的摩擦均 不计。试问：谁先到达顶点？
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动力学/动量矩定理
将n个方程矢量求和，得
交换等式左端的求导和求和运算次序，且因内力系 对点O的主矩等于零，故有
即：质点系对于某定点的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力系对于同一点的主矩。
——质点系对定点的动量矩定理
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动力学/动量矩定理
2. 投影式
即：质点系对于某定轴的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力系对于同一轴的矩的代数和。
三、求解动力学的两类基本问题
第一类：已知刚体的转动规律，求作用于刚体的主动力； 轴承处的约束力由刚体绕定轴的转动微分方程 无法求出，需用质心运动定理求解。
第二类：已知作用于刚体的主动力，求刚体的转动规律。
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动力学/动量矩定理
例10-4 滑轮半径为R、质量为m， 转动惯量为J。带动滑轮的皮带拉 力分别为F1和F2。 求：滑轮的角加速度。 解：选滑轮为研究对象
◆ 空间力对轴的矩 (1) 定义
F
力对轴之矩是该力在垂直于轴的平面上 的投影对这个平面与该轴交点之矩
代数量 正负号规定
讨论 什么情况下 Mz( F )=0 ?
F 与 z 轴共面
请自己思考！ 12
静力学/第四章 空间力系
(2)空间力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
z
F
A
类似地，有：
z
O
x
—— 刚体绕定轴的转动微分方程
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动力学/动量矩定理
讨论： (1) 作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态
发生变化。
(2) 若
，则
恒量，
即刚体作匀速转动或保持静止；
若
恒量，则 恒量，
即刚体作匀变速转动。
(3) 与质点的运动微分方程作比较
形式相似
转动惯量是刚体转动时惯性的度量。
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动力学/动量矩定理
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动力学/动量矩定理
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动力学/动量矩定理
例10-7 提升装置中，轮A、B的 重量分别为P1 、P2 ，半径为 r1 、 r2 ，可视为均质圆盘；物体C 的重 量为P3 ；轮A上作用常力矩M1 。 求： 物体C上升的加速度。 解: 取轮A为研究对象
由定轴转动微分方程，有
取轮B及物体C为研究对象
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动力学/动量矩定理
例10-2 如图所示，半径为R质量为
m的均质圆轮绕定轴O转动，转动惯 量为JO ，两个质量分别为mA和mB的 物块系在跨过圆轮的绳子两端，其中 物块B因水平绳子的牵引在光滑水平 面上运动。若不计绳子的质量和轴承 O的摩擦，并设绳子与圆轮之间无相 对滑动，试求圆轮的角加速度。
解：（1）取整个系统为研究对象
受力分析：
运动分析：设滑轮的角加速度为
由刚体绕定轴的转动微分方程，有
[思考] 什么情况下皮带拉力相等？
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动力学/动量矩定理
§10-2(2) 刚体对轴的转动惯量
一、定义
——刚体内各质点的质量与质点到轴的 垂直距离平方的乘积之和。 • 若刚体的质量是连续分布，则 • 转动惯量恒为正值 • 单位：
刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它的 大小体现了刚体转动状态改变的难易程度。
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动力学/动量矩定理
5. 实验方法 对于几何形状复杂的刚体，工程中常用实验的方法
测定其转动惯量。
常用的方法：
扭转振动法； 复摆法.
下面以复摆法为例加以说明。
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动力学/动量矩定理
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动力学/动量矩定理
例10-6 用于测量圆盘转动惯量的 三线摆中，三根长度相等 ( l ) 的弹性 线，等间距悬挂被测量的圆盘。已知 圆盘半径为 R 、重量为W。 怎样才能测量出圆盘的转动惯量？
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动力学/动量矩定理
由质点系动量矩定理，有
补充运动学条件：
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动力学/动量矩定理
§10-3 质点系相对于质心的动量矩定理
一、质点系的动量矩
二、质点系相对于质心的动量矩定理 由质点系对于定点O的动量矩定理：
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动力学/动量矩定理
即：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等 于作用于质点系的外力对质心的主矩。
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动力学/动量矩定理
本章内容
§10–1 质点系对定点的动量矩定理 §10–2 刚体绕定轴转动的微分方程 §10–3 质点系相对于质心的动量矩定理 §10–4 刚体的平面运动微分方程 §10–5 本章讨论与小结
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动力学/动量矩定理
几个有意义的实际问题：
谁先到达顶点?
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动力学/动量矩定理
直升机如果没有尾翼将发生什么现象?
大小
B
F
MO(F)
方向 按右手法则确定, 垂直于r和F所决定 的平面。
O
rA
h
作用点 在矩心O点
Mo(F) 是定位矢量
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静力学/第四章 空间力系
(2)空间力对点的矩的解析表达式
y
j Oi
F
A (x,y) x
z B
F
MO(F)
k O
jr
A(x,y,z) y
i
x
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静力学/第四章 空间力系
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动力学/动量矩定理
二、质点系的动量矩 1.对点O的动量矩 ——质点系各质点对同一点O的动量矩的矢量和。
LO
2.对轴的动量矩 ——质点系各质点对同一轴的动量矩的代数和。
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A
思考：
质点系对质心的绝对动量矩 =质点系对质心平移动系的相对动量矩
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三、刚体的动量矩 ●平移刚体
●定轴转动刚体
为什么？
解题步骤： （1）选取研究对象； （2）分析质点系所受的外力（画受力图），
计算外力矩； （3）分析质点系的运动，计算动量矩； （4）应用质点系动量矩定理（守恒定律）建立方程，
求解未知量。
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动力学/动量矩定理
[练习]
已知：鼓轮半径为r、质量为m1，可看作均质圆柱体； 物体D的质量为m2，与水平面间的动滑动摩擦系 数为f；手柄受矩为M的力偶作用，质量不计。
1.对点O的动量矩 ——质点的动量对于点O的矩
• 瞬时矢量 方向： 垂直于矢径r与动量mv所形成的平面 指向： 按右手法则确定 大小：
• 与力对点之矩相似
• 单位：
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动力学/动量矩定理
2.对轴的动量矩 ——质点动量在Oxy平面内 的投影对于点O的矩
• 代数量 • 与力对轴之矩相似 对点O的动量矩和对轴的动量矩之间的关系 ：
比较两式，有：
[Mo ( F )] x = Mx ( F ) [Mo ( F )]y = My ( F ) [Mo ( F )]z = Mz ( F )
结论: 空间力对点的矩在
过该点的任一轴上的投影
,等于这力对该轴的矩。
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动力学/动量矩定理
§10-1 质点系对定点的动量矩定理
一、质点的动量矩