东台市安丰中学2016届高三数学周末练习二

证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．
因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．…………………………………………2分
因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…………………………………………4分
因为PC 平面BDE，OE平面BDE，所以PC//平面BDE．………………………6分
（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．…………………………………8分
故椭圆的方程为 ＋y2＝1．……………………………………4分
⑵解法一设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，–y1)．
因为kAP＝ ＝ ，所以直线AP的方程为y＝ x＋1．
令y= 0，解得m＝－ .……………………………………8分
因为kAQ＝ ＝－ ，所以直线AQ的方程为y＝－ x＋1．
令y＝0，解得n＝ ．……………………………………12分
2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，
所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，……………………………11分
即Tn＝n·2n＋1，n∈N*．………………………………14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*．………………………………………5分
由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组 解得
所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*．………………………………7分
（2）由题意知，cn＝(n＋1)×2n．
记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．
则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，
所以mn为常数，常数为2．………………………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）当 时， ， 在 处的切线斜率 ，
由 ， 在 处的切线斜率 ， ， .……………4分
（2）易知函数 的定义域为 ，
又 ，
由题意，得 的最小值为负， （注：结合函数 图象同样可以得到）， ， ， （注：结合消元利用基本不等式也可）.………………………….….…………….……………………………………………9分
（3）令 ，其中
则 ，设
在 单调递减， 在区间 必存在实根，不妨设
即 ，可得 （*）
在区间 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
，代入（*）式得
根据题意 恒成立.
又根据基本不等式, ,当且仅当 时,等式成立
所以 , .代入（*）式得, ,即 .………………16分
(以下解法供参考，请酌情给分)
解法2： ，其中
因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．
因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE＝E，
所以PA⊥平面BDE．………………………………12分
因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．………………………………3分
（2）方法一依题意x＝0.2a．…………………………………………6分
所以P＝ ＝ ＝ ＝ ………………………………10分
≤ ＝ ≤ ＝ ＜ ．…………………………15分
答：P不可能大于 ．…………………………………………16分
方法二依题意x＝0.2a．…………………………………………6分
所以P＝ ＝ ＝ ＝ ．………………………………10分
7．已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程
为y＝± x，则该双曲线的离心率为．
8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，
则这个圆锥的高是．
9．若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围为．
10．对于直线l，m，平面α，mα，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．
20.(本题满分16分)
设函数 ， .
（1）当 时，函数 与 在 处的切线互相垂直，求 的值；
（2）若函数 在定义域内不单调，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ,使得 对任意正实数 恒成立？若存在，求出满足条件的实数 ；若不存在，请说明理由.
数学附加题参考答案及评分标准
21解：依题意得 ＝ ＝ ，……………………………………2分
所以 解得
所以A＝ ．…………………………………………6分
因为det(A)＝ ＝1×(－1)－0×2＝－1，……………………………………8分
所以A ＝ ．………………………………………10分
22.解：圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝4．…………………………………………2分
根据条件 对任意正数 恒成立
即 对任意正数 恒成立
且 ，解得 且 ，
即 时上述条件成立此时 .
解法3： ，其中
要使得 对任意正数 恒成立，
等价于 对任意正数 恒成立，即 对任意正数 恒成立，
设函数 ，则 的函数图像为开口向上，与 正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，根据题意，抛物线只能与 轴有一个交点，即 ，所以 .
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取名学生．
4．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，
则两球颜色不同的概率是．
5．曲线 在点 处的切线方程为．
6．右图是一个算法流程图，则最后输出的k值为．
东台市安丰中学2016届高三数学周末练习二
数学附加题（理科）
（满分40分，考试时间30分钟）
选题人：崔志荣审核人：杨志青2015.9.18
21.B（本小题满分10分）
已知点P(3，1)在矩阵A＝ 变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵A ．
21.C（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－ )= ．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．
联立程组
消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP=－ ，…………8分
所以yP＝k×xP＋1＝ ，
则Q点的坐标为(－ ，－ )．…………………………………10分
所以kAQ＝ ＝ ，故直线AQ的方程为y＝ x＋1．
令y＝0，得n＝－2k，………………………………14分
所以mn＝(－ )(－2k)＝2．
S4＋b4＝30．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
18.(本题满分16分)
某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．
14．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置上．
15.(本题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA．
所以mn＝ ＝ ．……………………………………14分
又因为(x1，y1)在椭圆 +y2= 1上，所以 +y = 1，即1－y = ，
所以 ＝2，即mn＝2．
所以mn为常数，且常数为2．……………………………16分
解法二设直线AP的斜率为k(k≠0)，则AP的方程为y=kx+1，
令y= 0，得m＝－ ．………………………………6分
直线l的极坐标方程化为ρ( cosθ＋ sinθ)＝ ，
即 x＋ y＝ ，化简得x＋y－2＝0．…………………………………………4分
因为圆C的圆心为C(m，0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝ ，
所以d＝ ＜2，…………………………………………8分
解得2－2 ＜m＜2＋2 ．………………………………………10分
（1）求 的值；
（2）若sinA＝ ，求sin(C－ )的值．
16.(本题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．
（1）求证：PC //平面BDE；
（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．
17.(本题满分14分)
已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，
东台市安丰中学2016届高三数学周末练习三
数学试题
（满分160分，考试时间120分钟）
选题人：崔志荣审核人：杨志青2015.9.18
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
1．已知集合 ，则 =．
2．已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．
（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；
（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3．问：P能否大于 ，说明理由．
19．(本题满分16分)
已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，一条准线方程为x= 2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．