三角函数的值域与最值

三角函数的值域与最值
一、主要方法及注意点：
1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。

2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。

二、基本练习：
1．求下列函数的最大、最小值： （1）x x y
cos sin 3
2⋅=
（2）x
y
sin 4
1-=
解：1sin 23
y x =
∴y ∈[13-,13
]
解：50,4y ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣
⎦
（3）1)21(sin 22
++
-=x y
（4）16
15)4
5(sin 2
+
-
=x y
解：7[,1]2
y ∈-
解：y ∈[1,6]
2．若|x|≤
4
π
，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ）
A ．
2
12- B ．2
2
1+-
C ．－1
D ．
2
2
1-
3．求函数的值域：
（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2
π
-≤x ≤
2
π
)
解：y ∈[－5,5]
解：()2sin()3
f x x π
=+
又2
π
-
≤x ≤
2
π
∴y ∈[－1,2]
4．（1）求函数x
x y sin cos 2-=
（0<x<π）最小值。

（2）求函数
2
sin 1sin 3)(+-=
x x x f 的最大值和最小值。

解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图 而y 的值就是经过AB 两点的斜率，
所以y （2）21sin 3y x y
+=
-，而sinx ∈[-1,1]
于是－1≤
213y y
+-≤1 所以 －4≤y ≤
23
即y 的最大值为
23
，最小值为－4.
三、典例精析：
例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。

解：设4
π
)∈]，则sin x ·cosx=
2
12
t -
∴2
112
2
y t t =+-
＝12
(t+1)2
时，函数y 的最大值为
12
+
例2．已知cosx+cosy=3
1
，求cos x －sin 2y 的最大值和最小值。

解：cos x －sin 2y ＝cosx-(1-cos 2y)=cos 2y-cosy-23
=(cosy-
12
)2-
1112
∵-1≤cosx =31
-cosy ≤1 又-1≤cosy ≤1
∴2cos 13
y -
≤≤
∴cos x －sin 2y 的最大值为49
，最小值为－
1112
例3．已知函数
)0( cos sin 32sin
2)(2
≠++-=a b a x x a x a x f 的定义域为[0，2
π
]，值域为
[－5，1]，求常数a 、b 的值。

解：6π
)+2a+b
∵x ∈[0，
2
π
] 则
726
6
6
x π
π
π≤+
≤
，于是1sin(2)12
6
x π
-
≤+
≤
当a>0时，315
a b b +=⎧⎨
=-⎩，即2
5a b =⎧⎨
=-⎩
当a<0时，351
a b b +=-⎧⎨
=⎩，即2
1a b =-⎧⎨
=⎩
例4．求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。

解：f(x)=2-4asinx-(1-2sin 2x)=2sin 2x-4asinx+1 =2(sinx-a)2
+1-2a 2
设sinx=t,-1≤t ≤1,f(x)=g(t)=2(t-a)2+1-2a 2
当a<-1时，f(x)的最大值为g(1)＝3-4a, f(x)的最小值为g(－1)＝3＋4a.
当-1≤a ≤1时，f(x)的最小值为g(a)＝1-2a 2
, f(x)的最大值为g(－1)或g(1)(其中之一). 当a>1时，f(x)的最大值为g(-1)＝3+4a, f(x)的最小值为g(1)＝3-4a. *例5．已知0<α，β<2
π
，且sin βcsc α=cos(α+β),α+β≠
2
π
,求tan β的最大值。

解：sin sin βα
＝cos α·cos β－sin α·sin β
(
1sin α
+sin α)sin β= cos α·cos β
tan β=2
sin cos 1sin ααα
⋅+=
2
2
sin cos 2sin cos αααα
⋅+=
2
tan 2tan 1
αα+=
1
12tan tan αα
+
4
≤
此时tan α
=
2
即tan β
的最大值为4
四、巩固练习：
A 组
1．函数y=sinx+cosx+2的最小值是（ A ） A ．2-2
B ．2+
2
C ．0
D ．1
2．当-2
π
≤x ≤2
π
时，函数sinx+3cosx 的（D ）
A ．最大值是1，最小值是-1
B ．最大值是1，最小值是-2
1
C ．最大值是2，最小值是-2
D ．最大值是2，最小值是-1 3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为（A ）
A ．1+2
B ．
2
-1 C ．
2
D ．2
4．函数x
x y
cos sin 21
++=
的最大值是（B ）
A ．
2
2-1 B ．1+
2
2 C ．1-
2
2 D ．-1-
2
2
5．函数f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在x=2时取得最大值，则θ的一个值为（ B ）
A ．4
5π-
B ．4
3π-
C ．
4
7π D ．
2
π
6．函数
x
x y cos 3sin +=在区间[0，2
π
]上的最小值为12
,在区间[-2
π
，π]上的值域为
7.函数sin 21x y =+的最大值是 3 ，最小值是
32。

8．函数2tan 2tan 3y x x =-+的值域是 [2,+∞）。

9．已知函数R
x x x x y
∈++
= , 1cos sin 2
32cos
21
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）求函数y 的单调增区间。

解：（1）11cos 2sin 212222
x x
y +=⋅++＝15sin(2)264x π++
当2x+
6
π
=
2
π
+2k π，即x=
6
π
+k π(k ∈Z)时，y 取最大值。

∴|,6x x k k Z π
π⎧⎫
=+
∈⎨⎬⎩
⎭
（2）－2
π
＋2k π≤2x+
6
π
≤
2
π
＋2k π，,
3
6x k k ππ
ππ⎡⎤
∈-
+⎢⎥⎣
⎦
(k ∈Z) B 组
10．函数()sin() (0,0)f x M x M ωϕω=+>>在区间[a ,b ]上是增函数，且f (a )=－M ，f (b )＝M ，则()cos()g x M x ωϕ=+在[a ,b ]上 （ C ）
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．可取得最大值M
D ．可取得最小值－M 11．关于函数
2
1)32(2
sin
)(+
-=x x x f ，有下面四个结论，
①f (x )是奇函数； ②当x >2003时，f (x )>2
1恒成立； ③f (x )的最大值是
2
3； ④f (x )的最
小值是2
1-
； 其中正确结论的个数为（ A ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．若2cos 2sin 220m m θθ+--<对θ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围。

解：1-sin 2θ＋2msinθ-2m-2<0 ∴m(2sin θ -2)< sin 2θ＋1 若sin θ＝1，0＜2恒成立。

若sin θ≠1，2sin θ-2<0 ∴2
sin 12sin 2
m θθ+>
-
右边＝
2
(sin 1)2(sin 1)2
2(sin 1)
θθθ-+-+-
＝－12(1sin 2)2
1sin θθ
-+
--≤1
∴m>1C 组 13．设
2
14sin 2
cos
)(--
+=a x a x x f （0≤x ≤
2
π
）.
(1)用a 表示f (x )的最大值M (a )； （2）当M (a )=2时，求a 的值。

解：（1）f(x)=-sin 2x+asin x －
4
a +
12
=2
2
1(sin )2
4
4
2
a a
a x --
+
-
+
∵0≤x ≤
2
π
∴0≤sinx ≤1
①0≤
2
a ≤1 0≤a ≤2, M(a)=
2
14
4
2
a
a -
+
②2a >1 a>2 , M(a)=M(1)= 3142
a -
③2
a <0,a<0, M(a)=M(0)= 142
a -
+
2
14
4
2
a
a -
+
0≤a ≤2
∴M(a)=
3142a - a>2 142
a -
+
a<0
(2) 当
2
14
4
2
a
a -
+
＝2时，则a=3或-2（舍）
当314
2a -＝2时，则a=103
当142
a -+
＝2时，则a =－6 综上：a=
103
或a =－6。