2006年广东省梅州市初中毕业生学业考试数学试卷

梅州市2006年初中毕业生学业考试数学试卷
一、选择题：每小题3分，共15分；每小题给出四个答案，其中有一个是正确的，把所选答案的编号填写在题目后面的括号内． 1．1
2
-
等于（ ） Ａ．2
Ｂ．2-
Ｃ．12
-
Ｄ．
1
2
2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）
3．我市大部分地区今年5月中、下旬的天气情况是：前5天小雨，后5天暴雨．那么能反映我市主要河流水位变化情况的图象大致是（ ）
4．如图1，把矩形ABCD 沿EF 对折，若150∠=，则AEF ∠等于（ ） Ａ．115 Ｂ．130
Ｃ．120
Ｄ．65
5．在同一平面直角坐标系中，直线3y x =+与双曲线1
y x
=-
的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．无法确定 二、填空题：每小题3分，共30分；答案填写在该题的横线上．
6．我市约有495万人口，用科学记数法表示为 人．
7．如果一个几何体的主视图是等腰三角形，那么这个几何体可以是 ．（填上满足条件的一个几何体即可）
A ．
B ．
C ．
D ． A ． B ． C ． D ． A B
C
D E
F
1 图1
8．一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出 球的可能性最大．
9．计算：1
01(sin 601)2-⎛⎫
---= ⎪⎝⎭
．
10．计算：23
22
2
()()a b a b ab -÷= ．
11．将抛物2
(1)y x =--向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 ．
12．当x = 时，分式223
3
x x x ---的值为零．
13．能使平行四边形ABCD 为正方形的条件是 ．（填上一个符合题目要求的条件即可）
14．如图2，两个半圆中，小圆的圆心O '在大O 的直径CD 上， 长为4的弦AB 与直径CD 平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部
分面积等于 ．
15．如图3，已知ABC △的周长为m ，分别连接AB BC CA ，， 的中点111A B C ，，得111A B C △，再连接111111A B B C C A ，，的中点
222A B C ，，得222A B C △，再连接222222A B B C C A ，，的中点
333A B C ，，得333A B C △，这样延续下去，最后得n n n A B C △．
设111A B C △的周长为1l ，222A B C △的周长为2l ，333A B C △的周长为3l ， n n n
A B C △的周长为n l ，则n l = ． 三、解答题：本大题有10小题，共75分． 16．本小题满分6分．
因式分解：2
2
2
2
(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-．
17．本小题满分6分．
C
图2
C
图3
解不等式组：53(4)223 1.
x x >-+⎧⎨
-⎩，
≥
18．本小题满分6分．
如图4是某文具店在2005年卖出供学生使用的甲、乙、丙三种品牌科学计算器个数的条形统计图，试解答下面问题：
（1）求卖出甲、乙、丙三种科学计算器的个数的频率；
（2）根据以上统计结果，请你为该文具店进货提出一条合理化建议．
19．本小题满分6分．
如图5，已知ABC △的顶点A B C ，，的坐标分别是(11)(43)(41)A B C ------，，，，，． （1）作出ABC △关于原点O 中心对称的图形；
（2）将ABC △绕原点O 按顺时针方向旋转90后得到111A B C △，画出111A B C △，并写出点1A 的坐标．
20．本小题满分7分．
图5
图4
小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图6-甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）． （1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．
（2）请你在图6-乙中，设计一个不同于图6-甲的方案，使游戏双方公平．
21．本小题满分7分．
梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB 的高度．如图7，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的坪地
C 处，测得影长2420CE m
DE m BD m DE ===，，，与地面的夹角30α=．在同一时刻，测得一根长为1m 的直立竹竿的影长恰为4m ．根据这些数据求旗杆AB 的高度．（可能
1.414 1.732≈≈，结果保留两个有效数字）
D
22．本小题满分8分．
图6-甲
图6-乙
图7
某公司开发生产的1200件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
23．本小题满分8分．
用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转． （1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE EF ，相交于点G H ，时，如图8-甲，通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． （2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G H ，时（如8-图乙）
，你在图8-甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
24．本小题满分10分．
A B
G C E
H
F D
图8-甲
A B
G
C
E
H
F D
图8-乙
如图9，直线l 的解析式为4
43
y x l =
+，与x 轴，y 轴分别交于点A
B ，． （1）求原点O 到直线l 的距离； （2）有一个半径为1的
C 从坐标原点出发，
以每秒1个单位长的速度沿y 轴正方向运动，设运动时间为t （秒）．当C 与直线l 相切时，求t 的值．
25．本小题满分11分．
如图10，点A 在抛物线2
14y x =上，过点A 作与x 轴平行的直线交抛物线于点B ，延长AO BO ，分别与抛物线21
8
y x =-相交于点C D ，，连接AD BC ，，
设点A 的横坐标为m ，且0m >．
（1）当1m =时，求点A B D ，，的坐标；
（2）当m 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直； （3）猜想线段AB 与CD 之间的数量关系，并证明你的结论．
梅州市2006年初中毕业生学业考试
数学试卷参考答案及评分意见
一、选择题：每小题3分，共15分 1．D 2．B 3．B 4．A 5．C
二、填空题：每小题3分，共30分
6．6
4.9510⨯； 7．圆锥或正三棱锥或正四棱锥；
8．红； 9．3
10．1b -；
图
9
图10
11．2
y x =-； 12．1x =-； 13．AC BD =且AC BD ⊥或AB BC =且AB BC ⊥等；
14．2π；
15．12n
m ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
三、解答下列各题：共75分
16．解：原式2
2
(1)(21)y x x =-++ ·································································· 2分 2
2
(1)(1)y x =-+ ·········································································· 4分 2
(1)(1)(1)y y x =+-+ ·································································· 6分 17．解：由53(4)2x >-+，得5x <， ····························································· 2分 由231x -≥，得2x ≥， ··································································· 4分 ∴原不等式组的解集是：25x <≤． ···················································· 6分
18．解：（1）卖出甲计算器个数的频率：
36
0.2365490
=++ ·
·································· 2分 卖出乙计算器个数的频率：54
0.3365490
=++ ·
·································· 3分 卖出丙计算器个数的频率：90
0.5365490
=++． ·
······························· 4分 （2）0.2:0.3:0.52:3:5=， ··································································· 5分 ∴该文具店进甲、乙、丙三种科学计算器时，按2:3:5的比例进货． ··········· 6分
（或该文具店进货时，丙科学计算器进多一些，而甲、乙科学计算器进少一些．类
似这样的合理答案5分）
19．（1）正确画出图形 ······························································· 3分 （2）正确画出图形 ······························································· 5分
1(11)A -， ············································································ 6分 20．解：（1）这个游戏公平． ······················································ 2分 根据图6-甲的对称性，阴影部分的面积等于圆面积的一半， ∴这个游戏公平． ···················································································· 4分 （2）把图6-乙中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．（图略） ············································································································· 7分 21．解：如图，过点C E ，分别作CF AB ⊥于点F EH BD ，⊥的延长线于H ． ······ 1分 在Rt DEH △中，
4m 30D E E D H =∠=，，
2m EH ∴=， ·························································· 2分
DH ==···································· 3分 又
1
4
AF CF = ·
·························································································· 5分
11
()44AF CF EF CE ∴=
=+ 1
() 6.44
BD DH CE =++≈． ··························································· 6分
8.4(m )A B E H A F ∴=+≈． ···································································· 7分 22．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品， ························································· 1分 则乙工厂每天能加工(20)x +件新产品． ······················································· 2分
依题意得方程
12001200
1020
x x -=+．
···························································· 4分 解得40x =或60x =-（不合题意舍去）， ····················································· 6分 经检验40x =是所列方程的解， 2060x ∴+=． ······················································································· 7分
答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品． ··············· 8分 23．解：（1）BG EH =． ··············································································· 2分 四边形ABCD 和CDFE 都是正方形，
90DC DF DCG DFH FDC ∴=∠=∠=∠=，，
90CDG CDH CDH FDH CDG FDH ∠+∠=∠+∠=∴∠=∠，， ··············· 3分
C D G F D H ∴△≌△，
C G F H ∴=， ························································································ 4分 B C E F B G E H =∴=，． ······································································· 5分 （2）结论BG EH =仍然成立． ······································································· 6分 同理可证CDG FDH △≌△， C G F H B C E F B G E
∴==∴=，，． ······················································ 8分 24．解：（1）在4
43
y x =+中，令0x =，得4y =，得4BO =．
令0y =，得3x =-，得3AO =，
5AB ∴=． ·
············································ 2分 设点O 到直线AB 的距离为h ，
11
22AOB S AO BO AB h ==△，
2.4A O B O
h AB
∴==． ·························································
（其它解法参照给分）
（2）如图，设C 与直线l 相切于点D ，连CD ，则CD AB ⊥， ·························· 5分 90AO BO BDC BOA ∴∠=∠=，⊥，
A B O C B D
∠=∠ x
B C C D
A B O C B D A B A O
∴∴=，，
△∽△ ····························································· 6分 由（1）得345AO BO AB ===，，，
1557453333
BC BC OC ∴=∴=∴=-=，，，
7
3
t C O ∴==（秒）． ··············································································· 8分
根据对称性得5
3
BC BC '==，
517174333
O C t O C ''∴=+=∴==，（秒）
． ················································· 9分 ∴当C 与直线l 相切时，73t =秒或17
3
秒． ··············································· 10分
25．解：（1）
点A 在抛物线214y x =
上，且1x m ==，11
4A ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，， ···················· 1分
点B 与点A 关于y 轴对称，114B ⎛
⎫∴- ⎪⎝
⎭
，．················································· 2分
设直线BD 的解析式为y kx =， 1
1
44
k y x ∴=-∴=-
，． ··········································································· 3分 解方程组2
14
18y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得122D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ························································ 4分
（2）当四边形ABCD 的两对角线互相垂直时，由对称性得直线AO 与x 轴的夹角等于45
所以点A 的纵、横坐标相等， ··································································· 5分
这时，设()A a a ，，代入2
14
y x =，得4a =，(44)4A m ∴∴=，，
． 即当4m =时，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直． ··································· 7分 （3）线段2CD AB =． ·················································································· 8分
点A 在抛物线214y x =
，且214x m A m m ⎛⎫
=∴ ⎪⎝⎭
，
，， 得直线AO 的解析式为4
m
y x =
， 解方程组2
4
18m y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得点2122C m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ··············································· 9分
由对称性得点2
21122B m m D m m ⎛
⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，，，
4
，·········································· 10分 24AB m CD m ∴==，，
2C D A B ∴=． ····················································································· 11分。