电磁理论与电路理论

关于电磁场理论与电路理论的关系
摘要
电磁场理论和电路理论是大学物理非常重要的内容，对与应用物理专业学生来说，应该掌握电磁场理论和电路理论知识。

由于人们对经典电路理论的实用性印象极深,而电磁场理论却相对比较抽象,以至人们有时不知不觉将电路理论和电磁场理论割裂开来,认识不到两者的内在联系。

本文的目的是建立电磁场理论和电路理论之间的统一关系,强调场论的普遍性,我们从“路”理论与“场”理论各自的理论基础出发,逐步分析清楚了两种理论基础间的关系。

这样,可以更深刻地认识电路中所发生的各种电磁现象的本质,加深对电路及电路概念的理解,并在适当地情形下,更有效地利用“路”理论简化对复杂电磁场问题地分析。

关键词：电磁场，电路，安培环路定理，麦克斯韦方程，基尔霍夫定律
人们把电磁场与导体的相互作用而产生电的现象称为电磁感应。

1820年，奥斯特在发现电流的磁效应，揭示了电与磁联系的电生磁一个方面。

1831年，法拉第发现通电线圈在接通和断开的瞬间，能在邻近线圈中产生感应电流的现象。

揭示了电与磁联系的磁生电另一个方面。

根据奥斯特的实验的原理制造出电动机，根据法拉第电磁感应的规律制造出了发电机。

电磁感应现象的发现在理论上有重大意义，使人们对电和磁之间的联系有更进一步的认识，从而激发人们探索电和磁之间的普遍联系的理论。

在解决电磁场问题或电路问题时，电磁理论和电路理论是紧密联系的,但许多情况下人们对这两种理论间地认识不全面,导致不能很好地理解两者之间的关系,从而在很大程度上影响了应用电路理论简化电磁场问题地分析,为此文中将从安培环路定理、麦克斯韦方程、基尔霍夫定律来分析这两种理论的联系。

1,安培环路定理
安培环路定理是表明电磁场与电路相联系的重要定理之
一，下面试安培环路定理[1]的推到。

磁场B由无限长直导线激发，而且闭曲线L躺在与直导线垂直的平面内（如图1），我们I dφ
B
Ө
dl
来计算B 沿L 的环流，由 可知任一线元dl 对环流的贡献为：
（1-1）
其中I 是导线的电流，a 是dl 与导线的距离，t e 是B 的方向的单位矢，θ是t e 与dl 的夹角（见图），以导线与片面的交点为圆心，a 为半径作园，则dl 对应于一个圆心角βd 及一段弧ds ,由图易见βθad ds dl ==cos 故:
（1-2） 恒定磁场B 对任意的闭合曲线L 的环流满足式（1-2）称为安培环路定理。

安培环路定理说明了磁场强度B 与电流的联系。

2，麦克斯韦方程
人类对电磁理论的认识经历一个由浅入深，由片面到全面的过程，对静电和静磁现象的早期研究建立了关于静电场和静磁场的如下方程[2]：
静电场：
（2-1）
(2-2)
（2-3）
静磁场： （2-4） 对任意给定的闭曲线L 而言，以L 为边线的任意一曲面都有相同的J （传导电流）通量，麦克斯韦引入电流密度是 ，其中P E D +=0ε是点位移矢量，P 为介质中的极化强度，
位移电流密度和传导电流密度是平等的，根据安培环路定理：
(2-5) 上式表明一个物理规律：变化的电场激发着涡旋磁场。

那么电磁场量E 和B 必须满足麦克斯韦方程组[3]：
00==⎰⎰⎰dl E q
EdS L s
εdS J u Bdl S Bd s s S ⎰⎰⎰⎰⎰==00dS B dS t
B dl E dV q
dS E s L V
S
=⋅⋅∂∂-=⋅-
==
⋅⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰0
,0,
,
1
ρεεI
u d I u Bdl L 02002==⎰⎰π
βπ图2，以L 为边线的s1和s2
t
D
∂∂dS j t D dl H s L ⋅⎪
⎭
⎫
⎝⎛+∂∂=⋅⎰⎰⎰θππcos 2200dl a
I
u dl e a I u dl B t
=⋅=⋅I u B 0=
它反映在场源（电荷密度ρ及电流密度J ）给定的前提下电场E 和磁场B 随时间的演化所遵循的规律，电磁场反过来又会按洛仑磁力公式对场源（带电粒子）施加作用。

体现了电磁场与电场的相互作用，也表明电磁理论与电路理论存在着密切的联系。

3，基尔霍夫定律
对基尔霍夫定律路论与场论之间的关系进行探讨。

用电磁场理论推导出电路理论中的基尔霍夫定律，得出基尔霍夫定律的实质是电磁场基本规律的简化,是“场”的特殊情形。

进一步证明了场论是路论的理论基础。

在电路理论中,讨论的是路的元件及其施加于元件上的端电压u 和流经元件的电流i 。

在电磁场理论中,讨论的是场矢量E 、D 、B 、H 、δ和它们的位置函数的值。

电路参数的推求要用“场”的方法, 电路基本定律也可以从麦克斯韦电磁场基本方程组导出,“路”与“场”是相互关联的。

基尔霍夫定律[4]是集总电路的基本定律,它包括电压定律和电流定律。

3.1 基尔霍夫电压定律
在集总电路中, 任何时刻, 沿任一回路, 所有支路（如图3-1）的电压的代数和恒等于零， 即Σu = 0 在图3-1 所示电路中,根据基尔霍夫电压定律有：
(3-1)
3.2 基尔霍夫电流定律
在集总电路中, 任何时刻, 对任一结点, 所有流出 结点的支路电流的代数和恒等于零,即Σi = 0 在图3所示电路中,根据基尔霍夫电流定律有：
0=++c L R i i i (3-2) 3.3 用场论导出路论中的基尔霍夫电压定律
如图3-1 所示电路,设R 、L 、C 三个串联元件和电源组成的电路符合简化条件。

图中S U 表示电源的电压,是由电源中的局外电场强度e E 产生的。

电路中的电场强度为
d E ,总的电场强度E 为电路中的电场强度d E 和局外电场强度
e E 之和,即：
e d E E E += (3-3)
0=-++S c U dt di
L u iR 图3-1，说明KVL 的电路
图3-2，说明KCL 的电路
t
D
c ∂∂+=δδt
D
∂∂ 电路中的电场强度d E 包括由于在电源两极、电容器两极以及导线表面堆积的电荷所造成的库仑场的电场强度。

对式(3-3) 两边求回路积分为：
dI E dI E dI E e
d
⎰⎰⎰+=∙ (3-4)
因局外场只存在于电源中,故有：
S b
a
e e U dI E dI E ==⎰⎰ (3-5)
因库仑场的电场强度回路积分等于零, 根据麦可斯韦方程：
(3-6) 所以电路中的电场强度Ed 的积分为：
(3-7) 因电路中有电流流动, 传导电流密度δ和总电场强度有关系E γδ=故有：
(3-8) 电路中各段的传导电流i 是相等的,且均匀地分布于导线的横截面上, 故上式等号右边第一项可写为：
(3-9) 上式中的 包括电路各段的电阻以及电源的内阻。

电容中无局外场强, 如果
电容器是理想的平行板电容器,极板间距离为d,板面积为c S ,极板上电荷面
密度为σ,则有： (3-10) 上式中 为电容器的电容,将式(3-5) (3-7) (3-9) （3-10）代入式(3-4) 中,得：
(3-11)
可见,式(3-11)与式(3-1)一样,即为从场理论出发导得了路理论的基尔霍夫电压定律。

3.4 用场论导出路论中的基尔霍夫电流定律
如图3-2所示电路,作一封闭面S,且设封闭面有一部分穿过电容器的极板间,截面积为S3,封闭面与电阻支路、电感支路的导线相截的截面积分别为S1,S2根据麦克斯韦电磁
场方程式的全电流定律:
(3-12) 电流密度:其中:c δ为传导电流密度,为位移电流密度。

在式(3-12) 等号两边取散
度,并根据向量分析,任意向量的旋度进行散度运算后恒等于零,得:
dt
di
L dt d dt B dt d dl E s d
-=-=⋅-=∙⎰⎰)(φdl E dl dI E d
c
dabc ∙+∙=∙⎰⎰⎰γδ
iR s l
i dl s i dl dabc
dabc =∙=∙=∙⎰⎰γγγδc c d
c
c c
d c
e d c d c u C q
S d q dl S S dl dl D Edl ======⎰⎰⎰⎰εεσεσεS c U dt
di
L u iR +-=+t D H c ∂∂+==⨯∇δδdS
t B
dl E s ⋅∂∂-=⋅⎰⎰d S
C c ε=s
l
R γ=
()0
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+⋅∇=⨯∇⋅∇t D H c δ (3-13)
那么, 在图2的封闭面S 所围体积的体积分应为零,即: 根据高斯定理[5]
:
(3-14)
现在来看式(3-14) ,即 在封闭面S 上的积分。

在封闭面和导线相截的截面1S 和2S 上的电流密度是只有传导电流密度1c δ(截面S1的电流面密度)和 2c δ(截面S2
的电流面密度),而无位移电流密度,即 , 因此,在这两个截面上面积分为传导电流R i 和L i ,即:
(3-15)
(3-16)
如图（3-3），封闭面在电容器极板间部分上的电流密度是位移电流密度 ,而无传
导电流密度,即：0=c δ。

下面求位移电流密度 在穿过电容器的极板间截面积S3的积
分。

设在图示的电路中, 围绕导线取一闭合曲线l 和一以l 为边界且与导线相截的面'
3S ,
由安培环路定律有:
(3-17) 由于传导电流密度只存在于导线中,因此,如果另取一个同样以l 为边界但不与导线
相截却包括电容器的一个极板的面S3 ,则显然上式中传导电流密度在'3S 上的面积分即传
导电流c i 流到电容器的一个极板,而在电容器极板间则以位移电流的形式使电流保持连续,即有:
(3-18)
根据上述的推导, 由式(14)、(15)、(16)和式(18)得到 在封闭面S 上的积分为:
(3-19)
可见,式(3-19)与式(3-2) 一样,即为从场理论出发导得了路理论的基尔霍夫电流定律。

图3-3，电容器及导线电路图 0=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇⎰⎰ds t D dV t D S c V c δδdS t D s c ⋅⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂+⎰δ0
=∂∂t
D
R c S c S c i S dS dS t D ===⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+⎰⎰1111δδδL c S c S c i S dS dS t D ===⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+⎰⎰2222δδδc S c i dS t D dS t D =∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂+⎰⎰3
δ0=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎰c L R S c i i i dS t D δdS t D c ⎰⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+δi dS dl H c s
c ==⋅=⋅⎰⎰
3'3
33δδt
D
∂∂t
D
∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇t D c δ0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇⎰dV t D V
c δ
综上所述，从电磁场理论出发,分别导出了电路理论中著名的基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律,表明电路基尔霍夫定律是电磁场的特殊情形,也可以从场方程导出。

因而在电路理论论和电磁理论两套体系下,电磁场的理论更为普遍,电磁场理论是电路理论的基础。

电路中的基尔霍夫定律的实质是电磁场基本规律的简化，电路理论和电磁理论的规律是相互关联的。

电路理论只研究由理想化电路元件组成的电路模型,而电路的参数如电阻、电感、电容及电路基本定律是电磁现象和过程在特定条件下得到的,也就是说只能运用电磁场的知识才能深刻理解。

因此,彻底、深刻地了解电磁理论和电路理论的关系,对培育学生的创新能力和理论联系实际具有深远意义。

参考文献
1.梁灿彬，秦光武，梁竹建著，《电磁学》第二版，高等教育出版社，2004.5.2
2.秦曾煌编，《电工学》第六版，高等教育出版社，200
3.12.6
3.艾武，李承编《电路与磁路》，华中科技出版社，2002
4.叶齐政，孙敏编《电磁场》，华中科技出版社，2008.1
5.王蔷编《电磁场理论基础》,清华大学出版社,2001。